有序表征：认知从“呈现”走向“发现”

丁洪 顾刘兵

[摘 要]列举策略的表征一般经历两个阶段，即“呈现过程”和“发现联系”。其中，“呈现过程”侧重信息的初步加工，使关键事件“看得见”、过程经历“走得稳”和经验对接“理得顺”，在解决显性问题中提炼策略;“发现联系”侧重信息的精细加工，能灵活迁移“用得上”、模型建构“想得透”和思想沉淀“带得走”，在探究隐性规律中内化策略。策略学习需要两个阶段互为补充、循环往复和辩证统一。

[关键词]列举策略;呈现过程;发现联系

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）11-0010-03

“用列举的策略解决实际问题”是苏教版教材五年级上册编排的“策略学习”的专题活动，它是运用策略解决实际问题的种子课。从表征需求看，问题过程复杂，阶段结果多样，一一呈现可以消除误解，策略意识的激发由内而外;从表征要点看，旨在引领学生经历策略的生长过程，感悟“不重复和不遗漏”的操作关键，策略思考的提炼由粗变精;从表征价值看，可以解决显性问题，还可以探究隐性规律，策略认知的发展由近及远。问题是，“如何做到呈现过程有条不紊，有针对性地解决问题？”“如何做到发现规律丝丝入扣，有系统性地探究联系？”“如何处理好呈现和发现的关系，使得策略认知螺旋上升和有序建构？”，弄清楚这些核心问题才有助于有效开展列举策略的教学。

一、有序呈现过程，解决显性问题

策略是指导数学活动的计划、方案和技巧，是对具体数学认知的调控、修正和优化。对小学生而言，策略学习离不开具体问题情境、过程充分经历和经验合理对接。

1.关键事件“看得见”

策略学习需要情境，在具体情境中，某些环节、片段或案例发挥的价值较大，这样的对象可称为策略学习的关键事件。

以A教学为例，它是围绕南通洲际绿博园设计情境。首先，用视频形式带领学生欣赏典型景点，如“梯田花海”“热带名花雨林馆”和“木化石风情园”等;公布“今日行程”，即“种植基地”“时光隧道”“美食区”和“娱乐区”，将学习内容分别嵌于活动板块，整体勾勒出关键事件的节点和流程。B教学是改造苏教版教材中的例题，将“怎样围面积最大？”的线性思考变成“要围一个面积为20平方米的长方形花圃，如果22根1米长的木条全部用完，且不能折断，这个任务能完成吗？”的多元思辨，展示过程中紧扣“周长一定时，面积能否符合要求？”和“面积一定时，周长是否滿足需求？”这两个关键事件，同样架构了整个教学时空。

显然，以上两个教学设计的关键事件的角色定位和演绎方式明显不同：A教学侧重生活情境的系统性，关键事件先预设再展开;B教学侧重数学问题的思辨性，关键事件先生动再深刻，但这两个教学的可视化诉求又有一致性。

2.过程经历“走得稳”

认知是人最基本的心理过程，它特别强调通过必要的信息加工获取知识。因此，为了增强心理体验的强度，同时提高信息加工的效度，过程经历需要考量“是否充分、是否完备和是否稳妥”，这是策略认知发展的要求。

以A教学为例，先在“种植基地”中出示“王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？”的问题，驱动学生分析已知条件和问题，得到“周长是22米，可以围成大小不同的长方形”和“围成的长方形的长和宽都是整米数”的结论，这里主要将生活信息加工成数学信息。接着，通过问题“你打算怎样解决上面的问题？”引导学生提出“用22根小棒摆出不同的长方形，再分别求出它们的面积”和“先求出长方形长与宽的和，再通过列举求出面积各是多少”的方案，这里主要是将数学信息转换成数学思维。然后，创设自主探究活动，引导学生先在活动单上记录过程，再在小组内交流、互动和点评，直至全班展示汇报。由汇报结果知，从方法层面上看，有画出过程和计算过程之别;从思维层面上看，有推进有序和推进杂乱无章之分;从结果层面上看，有解决问题和阻碍结论之态。对于学生充满生机和活力的原创作品，教师应当尽可能地展示和对比，还要回溯到问题原点，考量“长方形面积大小”的决定因素，顺势锁定长和宽的乘法组合，有机渗透二维平面观念，这里主要将数学思维加工成数学结构。最后，鼓励学生紧扣问题的本源性结构，在表格中快速、有序地列举所有可能，对应计算各自面积后，获得“长6米、宽5米时，长方形面积最大”的终极结论，这里主要将数学结构加工成数学路径。

以B教学为例，教师将教材中的例题改编成研学单，让学生课前先尝试探究问题“王大伯想用22根1米长的木条围一个面积为20平方米的长方形花圃。如果22根木条要全部用完，而且不能折断，你觉得他能完成这一任务吗？”。这种前测设计，从学的角度看，能为学生的自我挑战提供平台，而且时间充裕，学生可以更好地思考和表征，尽己所能，不留遗憾;从教的角度看，教师可以了解和捕捉学生的思维过程，感受他们的认知倾向、表达习惯和思维质量，有效弥补了解不全、交流仓促和即时评价有局限的不足，真正做到知己知彼，有的放矢。回到课堂上，教师首先组织学生在小组内交流各自的方法和结论，并展示典型作品：第一种是“尾巴型”，先设计长5米、宽4米的长方形，再将剩下的4米长的木条接在图形尾部;第二种是“靠墙型”，设计长20米、宽1米的长方形，这个长方形的一条长边是靠墙的;第三种是“支架型”，先设计长5米、宽4米的长方形，再将剩下的4根木条分别放在图形四个角的下方，这样就将原来设计的长方形支撑起来了。学生的评价头头是道：有学生认为“尾巴型”没有考虑“22根木条要全部用完”这个条件，可谓“一针见血”;有学生认为“靠墙型”虽然用完了所有木条，但是否靠墙值得商榷，而且既然可以一面靠墙，那么是否可以两面、三面靠墙呢？可谓“面面俱到”;有学生认为“支架型”虽然有意思，但是在长方形面积不变的情况下，除了四个角可以放置木条，其他很多地方都可以，结论不唯一和不明确，可谓“丝丝入扣”。另外，有学生认为不能完成任务：一是通过周长是22米，分别列举不同长方形的长和宽，计算后得出面积都不等于20平方米;二是通过面积是20平方米，分别列举不同长方形的长和宽，计算后得出周长都不等于22米。

显然，通过以上两个案例可以发现策略学习的共性，那就是策略推进过程要想走得稳，既要有机结合问题的精神和实质，也要适时凸显策略的特质和魅力，两者不可偏废，否则策略学习犹如空中楼阁，看似有结论，实则无过程。

3.经验对接“理得顺”

经验可以分为两个层面。一是感性层面的即时经验，它可以是本节课内的，也可以是本单元内的，经验产生的时间比较近，经验载体相对集中;二是潜意识层面的过往经验，它可能是跨学期的，或者是跨学段的，经验产生的时间比较长，经验载体相对分散。

在A教学中，首先让学生通过思考“回顾解决问题的过程，你有什么体会？”，梳理出“有些实际问题可以通过列举来解决”“按一定的顺序列举，做到不重复、不遗漏”和“要对列举出的结果进行比较，做出选择”的即时经验，助推经验的沉淀。接着，在“时光隧道”环节，通过 “在以前的学习中，我们曾经运用列举的策略解决过哪些问题？”驱动学生自主回忆和小组内碰撞，梳理出“一组一组地写出10可以分成几和几”“用12个边长为1厘米的正方形拼成不同的长方形”和“有序地写出3张数字卡片能组成的所有三位数”等策略，虽然整数的分成、图形的拼成和多位数的组成等只是过往经验的冰山一角，但是它们的存在足以说明列举策略的客观性、适用性和价值性。与此对应，在B教学中，问题情境和问题内容虽然不尽相同，但是经验对接这件事一直在发生和发展。有趣的是，它们其实都在努力做到即时经验与过往经验的碰撞、对接和交融，使得策略经验从简单固化走向了路径塑化（如图1）。

显然，A教学提供的显性问题相对封闭，B教学创造的显性问题相对开放，但是它们都需要通过各自显性问题的顺利解决，借助关键事件的聚焦、过程经历的体验和经验的无缝对接，使得丰盈的体验能助力策略的感知和感悟。

二、有序发现联系，探究隐性规律

以上学习只是对特定信息进行了必要的对比、抽象和提炼，学生的策略认知处于低水平运行状态。其实，可以适度迁移运用和适时深度加工，以挖掘信息之间的联系，探明隐藏于现象背后的数学规律，这样的策略体验才完整、系统和有价值。

1.灵活迁移“用得上”

首先，出示“哪个时点会响铃？”的问题，引导学生分析已有闹铃信息，归纳出“每间隔40分钟响一次铃”的规律，然后进行列举和判断。这里的具体情境虽然有变，但是列举需求仍然不变。接着，出示“一共有多少种不同的搭配？”的问题，引导学生先从一种荤菜开始列举，得到荤素4种不同搭配，然后以此类推，得到“3個4种，一共就是12种”的结论;还可以从一种素菜开始列举，得到素荤3种不同搭配，然后以此类推，得到“4个3种，一共就是12种”的结论。这里的思维起点虽然不同，但是列举策略异曲同工。最后，出示“可能得到多少环？”的问题，引导学生剖析“投中两次”的内涵，即“环数相同”和“环数不同”两类，据此分别进行列举。需要注意的是，“8+8=16”和“10+6=16”的投中过程不同，但从问题“多少环”这个角度考量，它们又归属于同一种环数，这里的列举意图虽然明显，但是列举结果仍需整合。显然，单线型列举是组合型列举和分类型列举的基础，了解它们之间的有机联系，可以更好地解构复杂问题和把握策略方向。

2.模型建构“想得透”

模型建构是用联系的视角对数学信息进行再加工，这个过程数学味浓郁，“一案一得”是常用的方法和路径。比如，在“谁的面积最大？”的问题中，引导学生“从左往右”观察长和宽的单独变化，“从上往下”观察长和宽的组合变化，归纳出“周长一定时，长和宽越接近，面积就越大”的规律;在“哪个时点会响铃？”的问题中，引导学生“从前往后”观察响铃的时点，发现“相差以两小时为一个周期”的周期规律;在“一共有多少种不同的搭配？”的问题中，引导学生按照“先后顺序”观察搭配对象的数量，发现“3个4种”和“4个3种”的内在联系，归纳出“搭配数量×搭配数量=搭配结果”的乘法规律;在“可能得到多少环？”的问题中，引导学生从“先分再合”的角度观察列举过程，发现看似复杂的问题其实可以合理分解，感悟分类讨论解决问题的叠加规律。显然，模型建构难度不一，不能要求学生一下子就领悟，尤其对解决相似的问题有困难时，仍然可以回到问题起点，一一列举解决问题后再次建模。

3.思想沉淀“带得走”

数学思想是系统化、理论化、理性化了的数学知识，是对数学科学研究的本质及规律的深刻认识。这样看来，数学思想是数学学习的“根”和“魂”，是学生能从数学学科中带得走的宝贵财富，策略学习同样需要数学思想适时介入、适度发展和适切点化。比如，在“谁的面积最大？”的问题中，要使长方形面积的大小可视化，就可以渗透“数形结合”的基本思想。这样除了有数据支撑的理性推理，还有感性体验的直观把握，使得策略学习入眼入心、印象深刻;在“一共有多少种不同的搭配？”的问题中，为了使搭配过程和结果得以简洁化，可以渗透“整体思考”的基本思想，无论列举起点怎么变化，只要搭配的数量不变，它们的搭配结果就对应不变，策略学习从有限列举走向了无限思考;在“可能得到多少环？”的问题中，为了使复杂问题的内涵表征序列化，可以渗透“分类讨论”的基本思想，这样既有分门别类的单点突破，又有井然有序的多点整合，策略学习从有序解构走向了合理重构，等等。显然，有了数学思想的充分浸润，策略学习的过程将更有生命力，策略内化为数学素养也就更加自然、顺畅和高效。

综上所述，“呈现过程”是列举策略学习的基础工作和必由路径，主要通过不同过程的展示、评价和概括，逐步抽象共性的认知，感知策略存在的环境、把脉策略运行的要点和辨析策略表征的对象;“发现联系”是列举策略学习的有序延伸和必要拓展，主要通过不同情境的策略迁移、不同模型的顺利建构和不同思想的有序渗透，助力学生认知水平的逐步提升。需要说明的是，两者虽然可以和谐共生、循环往复，但是切莫急功近利、本末倒置。

[本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题《基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究》（课题批准文号：C-b/2020/02/26）和江苏省中小学教学研究第十三期重点课题《深度学习下小学数学游戏的开发与应用研究》（课题批准文号：2019JK13-ZB48）的阶段性成果。]

（责编 金 铃）