一道斜率定值问题的多彩解法
2022-06-22龙宇
高中数学教与学 2022年9期
龙 宇
(广东省佛山市罗定邦中学,528300)
本文以一道斜率关系的定值问题为例,从不同的视角进行解析,意在开拓学生的思维、提升解题能力.
一、试题呈现
二、解法探析
解法1以点为基本量进行计算
解法2定比点差法求解
评注该解法利用向量定比关系得出交点的坐标关系,结合定比点差法消元,值得借鉴.
由椭圆的第二定义,可知线段间的比例λ与直线l的倾斜角θ以及椭圆的离心率等信息相关.为此,笔者尝试使用第二定义进行求解.
解法3利用第二定义结合焦半径求解
评注本解法利用椭圆的第二定义表示CF,DF,在计算斜率方面也是通过几何视角进行解释,对应的计算量较小.
椭圆第二定义的核心在于椭圆的焦点与准线,为此,笔者考虑所求式与椭圆准线间的关系进行求解.
解法4利用准线求解
根据椭圆的第二定义可获得焦半径的公式,而椭圆的第三定义则直接讨论斜率的关系.接下来,笔者将利用第三定义[1]求解.
解法5利用第三定义转化斜率的关系求解
椭圆的第三定义是:平面内的动点到两定点A1(-a,0),A2(a,0)的斜率乘积等于常数e2-1的点轨迹(连同点A1,A2)叫做椭圆,其中的常数e2-1∈(-1,0).
此时可利用上述三种解法计算两个斜率的乘积,本文不再详述.这里介绍一种构造斜率方程[2]的技巧,来计算该值.
构造斜率方程的本质是利用条件获得一个关于斜率k1,kAD的一元二次方程.为了实现该目的,需将原图形进行平移变换.
评注该解法的核心在于构造出关于k的二次方程,其本质是获得一个二次齐次式,在构造的过程中要充分地观察表达式的特点,合理利用消元的技巧.
解法6利用伸缩变换,化椭圆为圆
评注伸缩变换[3]的本质是一种坐标变换,能实现化椭圆为圆,利用圆中含有的丰富的几何性质解决问题,再利用伸缩变换的性质反馈到椭圆,使原问题获解.