充盈数学文化的数列多选题赏析

陈靖逸 王 勇

(湖北省襄阳市第一中学,441000)

在各地新高考模拟试卷中,有数学文化背景的数列多项选择题频频“闪亮登场”,它们构思精巧、韵味十足、魅力四射,既能考查考生的数学学科素养和关键能力,又能加深学生对中外数学文化的了解,提高数学文化素养,丰厚数学文化底蕴.下面精选四种数学文化题并配例加以剖析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.

一、等差数列型

例1日晷(如图1)是我国古代按照日影测定时刻的仪器.二十四节气及晷影长变化如图2所示,相邻两个节气晷影长减少或增加的量相同.已知冬至的晷影长为一丈三尺五寸,夏至的晷影长为一尺五寸(1丈=10尺,1尺=10寸),则下列说法正确的是( )

(A)白露的晷影比立秋的晷影长二尺

(B)大寒的晷影长为一丈五寸

(C)处暑和谷雨两个节气的晷影长相同

(D)立春的晷影比立秋的晷影长

解由题意,由夏至到冬至的晷影长构成等差数列{an},以寸为单位,则a1=15,a13=135,易知{an}的公差d=10.同理,由冬至到夏至的晷影长构成等差数列{bn}，并且b1=135,b13=15,可得{bn}的公差d′=-10.

因为白露与立秋相隔处暑,所以白露比立秋的晷影长20寸,即二尺.选项A正确.

大寒的晷影长b3=b1+2d′=115,即大寒的晷影长为一丈一尺五寸.选项B错误.

处暑的晷影长a5=a1+4d=55,谷雨的晷影长b9=b1+8d′=55.所以选项C正确.

立春的晷影长和立秋的晷影长分别为b4,a4,且a4=a1+3d=45,b4=b1+3d′=105,所以b4>a4.选项D正确.

综上,选ACD.

评注本题由题意“相邻两个节气晷影长减少或增加的量相同”可知夏至到冬至的晷影长构成等差数列{an},冬至到夏至的晷影长构成等差数列{bn},结合等差数列的通项公式即可判断各选项的正误.

二、等比数列型

例2在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( )

(A)此人第三天走了四十八里路

(B)此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

(D)此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

综上，选ABD.

评注由题意可知此人每天行走的路程成等比数列,结合等比数列的通项公式和前n项和公式即可判断各选项的正误.本题考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.

三、等差数列与等比数列综合型

例3在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织五尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺.若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n(n≤30,n∈N*)天所织布的尺数为an,bn=2an,则对于数列{an},{bn},下列选项中正确的有( )

(A)b10=8b5

(B){bn}是等比数列

(C)a1b30=105

对选项C，由a30=a1+29d=21,可得a1b30=5×221>105.选项C错.

综上，选BD.

评注本题由题意可知数列{an}是等差数列，由bn=2an可知数列{bn}是等比数列，结合等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，注意活用等差数列和等比数列的性质即可得解.

四、递推数列型

1.斐波那契数列

例4意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{fn}称为斐波那契数列.并将数列{fn}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{gn},则下列结论正确的是( )

(A)g2019=2

(B)f21f23-f212+f20f22-f212=0

(C)g1+g2+g3+…+g2 019=2 688

(D)f12+f22+f32+…+f2 0192=2f2 018f2 020

解对A选项,易知g1=1,g2=1,g3=2,g4=3,g5=1,g6=0,g7=1,g8=1,g9=2,g10=3,g11=1,g12=0,…,所以{gn}是以6为周期的数列.又2 019=6×336+3,所以g2 019=g3=2,故选项A正确.

对B选项，由fn+2=fn+1+fn,得f222=f22(f23-f21)=f22f23-f22f21,f212=f21(f22-f20)=f21f22-f21f20,故f21d23-f222+f20f22-f212=f21(f22+f21)-f222+(f22-f21)f22-f212=0,选项B正确.

对C选项，由g1+g2+g3+…+g2 019=336×(1+1+2+3+1+0)+(1+1+2)=2 692,知选项C错误.

对D选项，因为f1=f2,fn+2=fn+1+fn,所以f12=f1f2,f22=f2(f3-f1)=f2f3-f2f1,f32=f3(f4-f2)=f3f4-f3f2,…,fn+12=fn+1(fn+2-fn)=fn+1fn+2-fn+1fn，易知f12+f22+…+f2 0192=f2 019f2 020，故选项D错误.

综上，选AB.

评注本题由题意可知数列{gn}是周期数列，由周期数列的相关知识即可判断A，C选项的正误;由斐波那契数列的特点，结合裂项相消法即可判断B,D选项的正误.本题考查的学科素养是理性思维、数学文化、数学探索.

2.大衍数列

例5大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易经》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.如图3,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,此数列记为{an}，其前n项的和记为Sn,则( )

(A)a20=200 (B)a29=420

(C)S19=1 200 (D)S30=4 720

综上，选ABD.

3.提丢斯·彼得发现的数列

例6提丢斯·彼得定律是关于太阳系中行星轨道半径的一个简单的几何学规则.它是在1766年由德国的一位中学教师戴维斯·提丢斯发现的,后来被柏林天文台的台长彼得归纳成一条定律,即数列{an}:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位).现将数列{an}的各项乘以10后再减4,得到数列{bn},可以发现数列{bn}从第3项起,每一项是前一项的2倍, 则下列说法正确的是( )

(A){bn}的通项公式为bn=3×2n-2

(B)a2021=0.3×22 020+0.4

(C){an}的前n项和Sn=0.4n+0.3×2n-1-0.3

(D){nbn}的前n项和Tn=3(n-1)×2n-1

当n≥2时，Sn=0.4+0.3×(20+21+…+2n-2)+0.4(n-1)=0.4n+0.3×2n-1-0.3.当n=1时，S1=0.4也符合上式，故Sn=0.4n+0.3×2n-1-0.3,故选项C正确.

综上，选CD.

评注本题考查数列的通项公式及求和方法(分组求和法及错位相减法)，在具体求解时，应注意“小细节”的把控，以确保解题的完美性.