思维可视化助力数学广角教学

汪蕾

摘 要：思维可视化是指运用一系列图示技术把本来不可视的思维（思考方法和思考路徑）呈现出来，使其清晰可见的过程。被可视化的“思维”更有利于理解和记忆，因此具有有效提高信息加工及信息传递的效能。数学广角是小学数学教学中渗透数学思想的重要板块，四年级上册“数学广角——优化”有步骤地渗透教学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力，现以《田忌赛马》为例，浅谈思维可视化的实践与思考。

关键词：小学数学;思维可视化;《田忌赛马》

一、教材对思维可视化的要求

（一）初读教材

《田忌赛马》一课以古代军事家田忌的一则小故事为载体，教材中呈现两个学生在研究田忌赛马的策略，先用列表法研究田忌所赢的那场比赛，再用第二个表格将双方对战的所有可能性进行罗列。

（二）再读教材

两个表格的呈现就是要把学生的思考过程可视化，通过观察表格中各项信息发现田忌赛马策略的唯一性和优越性，进而掌握策略并进行应用。笔者认为教材一共有三个目的：

1. 引导学生用枚举的方法将田忌的所有应对方案可视化，并从中寻找取胜的方法;

2. 讨论田忌赛马获胜的奥秘，即为什么只有这种方法能获胜;

3. 田忌赛马的策略在生活中的应用。

二、教学中思维可视化的应用

【片段一】看视频，明规则，利用可视化展示比赛过程

看第一次赛马的视频。

师：赛马的结果怎样？

生：田忌输了，因为田忌每个等级的马都比齐王的要慢一点，所以三场都输了。

师：我们可以将这场比赛记录下来。

在此片段中，教师引导学生回顾比赛过程，并记录在表格中，使学生直观感受到“田忌每个等级的马都比不上齐王”，体会到想要赢得比赛非常困难，为后续感受田忌策略的高明做铺垫。

【片段二】循规律，填表格，利用可视化展示学生思维

师：在刚才的故事里，田忌大将军赛马输了，那么是不是田忌一定会输，他有没有获胜的办法？我们一起来帮帮他。（出示表格）

活动要求：同桌合作，尽可能多地帮田忌找到应对方案，并写清每场比赛的胜负和获胜方。

学生利用表格枚举，将点状的思维直观展示，逐步发现各种方案之间的关联。让学生自己将点状的发现进行整理，继而生成更高阶的思维。在反馈中，学生发现在罗列方案时可以有规律、有顺序地思考：第一场比赛先出上等马，第二、三场换一下出马的顺序，这样就有两个方案了;第一场比赛先出中等马，后两场再换出马的顺序，又是两种方案;最后第一场先出下等马，又生成两种方案。

【片段三】看表格，谈发现，利用可视化发现获胜策略

师：仔细观察表格，你有什么发现？

生1：我发现只要齐王出上等马，这场比赛就一定是齐王赢！

生2：我发现田忌的下等马全输。

生3：我发现如果相同等级的马进行比赛，田忌会三场全输，是最糟糕的方案。只要调换一下出场顺序，至少能赢一场。

生4：我发现只有1种方法能赢！

师：六种方法里面，居然只有一种能够胜利，这个方法真是太高明了！

学生根据表格中的信息，通过横向观察、纵向观察，将可视化的信息一一提取，而且交流的过程也是互相启发的过程，到后来学生的发现越来越多，挖掘越来越深，思维含量越来越高，扎扎实实地感受到了田忌赛马策略的优越性，课堂教学效果明显更好。

【片段四】再赛马，找策略，思维可视化助力分层教学

师：为什么别的策略都输，只有这一种能赢呢？

生：以自己最弱的下等马去对对方最强的上等马，消耗对方实力，保存自己的实力。

师：用最弱→最强，这个安排真是太妙了！

师：既然大家都已经知道怎么赢了，那我们就来赛一赛马吧。看看你用这个高明的策略，能否赢过老师？

选定一名学生来与教师演示赛马过程。学生用田忌的马先出，教师用齐王的马后出，一边口头“赛马”，一边将过程记录在黑板上，最后的结果田忌还是输了。

讨论：为什么你已经知道获胜的策略了，还是不能赢过老师呢？

其他学生：让老师先出！

师：你们的意思是，只要老师先出马，你们就能赢？

生：对！

师：好，我们再赛一次，我先出。

教师先出，学生后出，准确地运用最弱对最强的策略，最后学生获得胜利。

得出结论：看来要想赢，一定要对方先出！我们把这种策略叫作后发制人。

看第二次赛马视频，得出“知己知彼”。

师：孙膑是一个非常伟大的军事家，你们的想法居然跟他不谋而合。既然孙膑有这么好的策略，他为什么一开始不说？（通过第一场比赛，了解了双方的实力，这才想到这种策略）原来先要了解双方实力，才能想出应对的方法，这叫作“知己知彼”。

教学流程的层次性，必定会使得学生思维层层递进;而想要让数学课堂呈现渐进的层次感，教师需要在课堂教学中，着力于每一个环节引导、协助全体学生主动地思考，并将思考逐步深入。

第一个层次：先前学生已经结合表格的观察和思考，发现齐王的上等马是所有马中最快的，田忌的下等马是最慢的，所以用下等马把齐王最好的上等马“浪费”，即要“最弱→最强”保存实力。

第二个层次：师生赛马，一开始学生还是输。教师将比赛过程记录在黑板上，让比赛的过程可视，这引起了他们的思考，慢慢地，一些学生回过神来，发现光知道“最弱→最强”这个秘诀还不行，必须后出才能控制局面，才能将这个策略用出来，于是喊“让老师先出”。学生通过第一次师生赛马的失败和讨论，得出要“后发制人”，并且在第二次师生赛马过程中得到了运用，最终赢得了比赛。

第三个层次：看完视频后半段，思考为什么第一次没有赢，明白了为什么孙膑在第一次比赛完才把获胜策略说出来的原因，即比赛之前还得“知己知彼”，先了解清楚双方的实力才能找到应对策略。

三、小学数学日常教学中常用的可视化手段

在小学数学教学过程中，对于很多概念、算理及其相互关系的揭示过程是学生学习的重点和难点，如果学生觉得困难，难以理解，或是感受和体验不够深刻，掌握效果就会很不理想。此时，可视化手段就能帮助教师解决这个难题。

（一）概念教学中的可视化

通过图示的方法将一些数学概念直观呈现给学生，比如在“认识分数”中，从月饼的平均分抽象出图形圆的等分，进而引导学生认识分数的概念。再经历画一画、折一折等过程，学生自然就掌握了分数的概念。

（二）计算教学中的可视化

计算教学看似跟数打交道，但要真正理解算理就脱离不了可视化的帮助。一般我们会用小棒图、圆片图、图形的分割等来帮助学生理解算理。一年级最简单的加减法要让学生在小棒图上圈一圈来理解。到了三年级的笔算乘法，例题中依然是小棒图来帮助理解算理。教学进位乘法，如果没有图示帮助，学生要理解算理就会非常困难。在六年级学习分数乘法，依然需要借助图形帮助学生理解算理。由此可见，可视化在计算教学中作用不可忽略。

（三）解决问题教学中的可视化

“问题解决”的思考过程往往是不可见的，而且由于解决问题多由文字描述数学信息和问题，这让一部分阅读能力欠佳的学生十分困扰。如果我们利用可视化的手段，将文字信息转化为简明的图示，难度将大大下降。如三年级上册的“归一问题”和“归总问题”，前一个例题利用草图来描述信息和问题，后一个例题利用线段图来表征，有了直观感受，学生知道该如何解答。这样的草图逐步过渡为线段图，适当抽象，但也更加简明。

除了以上三种课常用的可视化手段，数学教学中还有列表法、思维导图等思维可视化的手段，它们时时处处存在于教学之中。随着新课改的深入，教师也要通过更先进的教学手段，让数学课堂可视化程度更高，让学生经历一个“看得见、摸得着”的数学过程。607064C2-95D0-40E2-897E-1CB9BC08E4BD