阿波罗尼斯圆及其逆向问题

甘志国

本文对阿波罗尼斯圆给予了深入研究：给出了其平面解析几何解法及平面几何解法，还解决了其逆向问题，并给出了它们在解答高考题方面的应用.

题1 （普通高中课程标准实验教科书《数学2.必修.A版》（人民教育出版社.2007年第3版）（下简称《必修2》）第140页例）已知点P（2，0）， Q（8，0），点M与点P的距离是它与点Q距离的1/5，用“几何画板”探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程

题2（与《必修2》配套使用的《教师教学用书》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《必修2.教师教学用书》）第142页第三题第2题，即普通高中教科书《教师教学用书》（数学·选择性必修·第一册（A版））（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《选择性必修第一册·教师教学用书》）第156页第三题第15题）在△ABC中，已知|BC|=2，且|AB|/|AC|=m，求点，A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形，

注《必修2.教师教学用书》第144页- 145页给出题2的答案是：由题设可得m>0.以BC所在直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系，当m=1时，所求轨迹方程是x=0.轨迹是y轴（笔者注：应改为“所求轨迹方程是x=O（y≠0），轨迹是，轴（但要去掉坐标原点）”）;当m>0且m≠1时，所求

这两道题中的圆就是阿波罗尼斯（ Apollonius ofPerga，公元前262 -公元前190）圆：在平面上与两个定点A.B的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的动点轨迹是圆，通常把这个圆叫做阿波罗尼斯圆.

定理1在平面上与两个定点A.B（ |AB| =2a，a>0）的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的动点

D.早于公元前6000年

解析 由题意可画出示意图，如图2所示，其中AO⊥BO（BO代表骨笛），λO= 10. 00，BC=9.40.BO= 16. 00.故OC=6.60.

设黄赤交角为θ.由题意得∠BAC= ∠CAD=θ.故θ= ∠BAO - ∠CAO.

对照题中表2.由0.455<0.457<0.461.得該骨笛的大致年代早于公元前6000年，故选D.

点评 本题读懂题意画出示意图，通过解直角三角形和两角差的正切公式，计算出黄赤交角的正切值，对照题中的表格而得解，

证法1 （平面解析几何法）如图l所示，以线段AB的中点为坐标原点O.线段AB所在的直线为X轴建立平面直角坐标系xOy，得点A（-a，0），B（a，0）.

定理2若在平面上圆心为点C、半径为r的定圆r上有三个点到两个定点A，B的距离之比为定值A，则A>O且A≠1：且三点A，B，C在一条直线上（设该直线l与圆厂的两个交点是D，E，可得两点D，E中有且仅有一个（不妨设为点D）在线段AB上）且两点A，B可由直线l及AB=（1+A）DB=（1

解法 2√2由于AB为定长，因此△ABC的面积由AB边上的高决定，而动点C满足AC=√2-BC，所以可如图6所示以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为'，轴建立平面直角坐标系xOy来求出点C的轨迹方程，

题5（2013年高考江苏卷第17（2）题）如图7所示，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线/：y= 2x -4.设圆的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使MA= 2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围，9C0360F5-2860-426A-AA25-A4706205BFAB