音乐与数学的巧妙融合

王莉 王勇

音乐的要素——音高、音色、节拍、乐音、乐曲、乐器等都与数学密切相关.在高考试卷和全国各地高考模拟试卷中，以音乐为背景的考题频频“闪亮登场”，它们构思精巧、韵味十足、魅力四射，堪称践行“五育并举”方针的范例，既可以让学生更加理性地理解音乐、鉴赏音乐的美，又能提升学生的数学学科素养和关键能力，下面精选五类并配例加以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、音乐+数列

例1 （2018年北京市高考题）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12√2若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（

）.

解析从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12√2，第一个单音的频率为f，由等比数列的定义可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f，公比为12√2的等比数列，记

上述应用都体现在解三角形中，可以看出，有时并不是单纯用张角定理就能解决的，必要时还要余弦定理、角平分线定理等协助，特别值得一提的是方程思想的应用也不可忽视.令人惊叹的是下面这道高考压轴题用该定理也可“秒解”，

点评 根据题意可知这十三个单音的频率构成一个等比数列，结合等比数列的通项公式即可得解.

例2（2021年南昌市模拟题）十二平均律是世界上通用的一种音乐律制，在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用.十二平均律是指将八度的音程（两个音在音高上的距离）按频率等比例地分成十二份，即一个八度共13个音，各相邻两音之间的频率之比完全相等.已知一个八度音程的第7个音与第4个音的频率之比为4√2若第1个音的频率为440Hz，则最后一个音的频率为（

）.

A. 520Hz B.640Hz C.760Hz D.880Hz

点评 本题以“十二平均律”为背景，考查等比数列的相关知识，弄清题意是求解的关键，对学生的阅读理解能力要求较高，同时渗透“美育”的基本理念，

例3（2021年太原市模拟题）著名的物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的.”像音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数字使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表l所示，其中a1，a2，

点评设“宫”的频率为A2由“三分损益法”可依次求出微、商、羽、角的频率，结合等比数列的定义可得正确结论，

二、音乐+三角函数

例5 （2021.宜昌市模拟题）我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音.复合音的响度是各个纯音响度之和.琴弦在全段振动，产生频率为厂的纯音的同时，其二分之

点评 本题要求考生根据题意建立复合音响度的数学模型，再用“最小公倍数法”求出模型函数的最小正周期.考查考生的建模能力和运算求解能力，

例6（2021.青岛市模拟题）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画.在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦，某二和弦可表示为f（x）= sin2x+sm3x，则函数y=f（x）的图像大致为（

）.

点评 本题考查复合音模型函数的图像和性质，利用函数的性质结合排除法可轻松获解.

例7（2021.荆州市模拟题）（多选题）声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数γ= Asinωt.音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y= Asinωt及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小：音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的

点评 本题全方位地考查复合音模型函数的图像和性质，综合性较强、难度较大，有一定的思考性和挑战性，本题是多选题，是新高考标志性的新题型，

三、音乐+排列组合

例8 （2021年深圳市质检题）中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为官、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，可排成这样的不同音序的种数为（

）.

A.120

B.90

C.80

D.60

解析可分j類：第一类，若角音阶在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶的同侧，此时可排成的不同音序有2A4 =48（种）;第二类，若角音阶在第二或第四个位置，则可排成的不同音序有2 xA; xA2=24（种）;第三类，若角音阶在第三个位置，则可排成的不同音序有2 xA2 xA2 =8（种）.根据分类加法计数原理，可得排成的不同音序有48 +24 +8：80（种）.

故选C.

点评 本题以音乐学科中的“音阶”为载体考查排列组合应用问题，破解此类题的关键：一是有限制条件的元素需优先考虑，如本题，需对限制条件“宫、羽两音阶在角音阶的同侧”优先考虑，分类的“度”就很明确，只需对“角音阶”的位置进行分类：二是会利用排列组合的应用情况进行求解.有序用排列，无序用组合.

四、音乐+概率

例9（2021年长沙市模拟题）五声音阶是中国古代的基本音阶，中国古乐中的五声音阶为：宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音中任取两个音，排成一个音列.则这个音列中不含宫和羽的概率为（A3B744E8-6A54-451F-BC74-3C01C3445703

）.

A.3/10 B.7/10 C.9/20 D.11/20

解析 解法1从5个音中挑一个放在第一个位置，再从余下的4个音中挑一个放在第二个位置，共有5 x4 =20（种）情况.五个音去掉官和羽还剩3个，从3个音中挑一个放在第一个位置，再从余下的2个音中挑一个放在第二个位置，共有3 x2=6（种）情

点评 本题考查排列组合的有关知识和古典概型概率的求解方法，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力，

例10 （2021年洛阳市模拟题）我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类，《周礼·春宫》中记载，中国古典乐器一般按“分音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（ pao）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为（

）.

A.1/5 B.3/5 C.3/4 D.2/3

解析 由题意可得，从“金、石、土、匏，丝”中任取三音，共有C5= 10种不同的取法，三音来自两种不同类型乐器的取法共有C3C2=6（种），故所求概率p=6/10=3/5.

故选B.

点评本题首先求出从五音中任取三音的取法种数，然后求出三音来自两种不同类型乐器的取法种数，最后利用古典概型的概率计算公式求解即可.

例11 （2021年湖北省七市联考题）我国古典音乐名曲众多，《高山流水》《梅花三弄》《阳春白雪》《渔樵问答》是其中经典名曲.现有甲、乙、丙、丁四位同学从这四部分名曲中，各选取互不相同的一部进行研修学习.若乙同学研修《阳春白雪》，则丁同学只在《高山流水》和《渔樵问答》中选一部研修的概率为（

）.

A.2/9 B.1/3 C.2/3 D.7/9

解析 方法1 乙同学研修《阳春白雪》的结果有A3 =6（种）.乙同学研修《阳春白雪》，丁同学只在《高山流水》和《渔樵问答》中选一部有C2A2=4（种）情况，若乙同学研修《阳春白雪》，则丁同学只在《高山流水》和《渔樵问答》中选一部研修的概率p=4/6=2/3.

点评 本题以古典音乐名曲的选取为背景，引导学生落实五育教育，促进全面发展，考查排列组合知识和条件概率的求解，要求学生用所学的数学知识解决生活中的实际问题.

五、音乐+推理

例12 （2021年邢台市模拟题）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的2/3得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的4/3为第三根琴弦，第三根琴弦长度的2/3为第四根琴弦，第四根琴弦长度的4/3为第五根琴弦.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“官、商、角、徵、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（

）.

A.3/2 B.81/64 C.32/27 D.9/8

解析 设基准琴弦的长度为l，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为2/3，8/9，16/27，64/81，五根琴弦从长到短依次为1，8/9，64/81，2/3，16/27，所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为64/81和2/3，琴弦长度之比为32/27.

故选C.

点评本题结合“三分损益法”考查考生的推理能力，认真阅读材料并深刻理解題意是求解的关键.

例13 （2020.福建省质检题）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1①），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图1②为骨笛测量“春（秋）分”“夏（冬）至”的示意图.图1③是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角，

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表2所示.

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（

）.

A.公元前2000年到公元元年

B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年A3B744E8-6A54-451F-BC74-3C01C3445703