解三角形与向量交汇 凸显对能力的考查

张子芳

在知识点交汇处设计试题，这是近年高考卷命题的一个显著特点，有利于考查学生对所学数学思想方法、知识的综合运用能力，有利于提升学生的数学核心素养.基于此，关注解三角形与平面向量交汇问题的多解探究，就顯得非常重要，能够较好地培养学生处理有关向量等式问题的技能技巧，能够较好地培养学生分析、解决具有综合性问题的实际能力，能够较好地培养学生的探究、创新意识以及数学运算求解能力，

二、试题分析

本题以熟悉的三角形做为几何背景，以平面向量的线性表示做为联系纽带，侧重考查学生分析、解决问题的能力，考查学生对相关知识的综合运用能力，同时，试题设计为填空题，也有利于考查学生灵活处理问题的机智，涉及解题策略的灵活选用，

三、多解探究

视角一 由于本题是填空题，不需要完整、准确的解答过程，又注意到所给三角形没有进行限制，具有任意性，所以可考虑“特殊化”解题策略在解题中的灵活运用.

从而，可知2m =2，即m=1.又注意到1=sinA，所以据此可推测：实数m= sinA.

评注上述解法1、解法2均是考虑特殊的三角形加以推测，在解法l中需要关注等边三角形“四心合一”，考虑重心的特性易得2 AD =3 AO;在解法2中需要关注直角三角形的外接圆的圆心就是斜边的中点.

从而易得AB+AC=2 AO.对比可知，解法2比较简单。

一般地，解题时需要关注“三化”策略的灵活运用.遇到一般问题，可考虑“特殊化”策略：遇到动态问题，可考虑“极限化”策略：遇平面问题，可考虑“坐标化”策略.

视角二由于题设给出了形如a= xb+ yc的向量线性表示，所以可考虑“点乘”向量技巧在解题中的灵活运用.具体解题时，可通过两边点乘向量a（或b，或c）进行分析，

评注 上述两种解法均灵活运用了“点乘”向量技巧，对比可知其中解法4比较简单，所以在具体问题中合理选取进行“点乘”的向量，往往有利于优化解题过程，避免一些差错的产生，此外，也可通过对已知向量等式两边点乘向量“AC”加以灵活分析，请读者自行完成.

视角三遇到形如a= xb+ yC的向量等式，可考虑“平方”技巧的灵活运用，有利于将平面向量问题转化为熟悉的字母形式的代数运算、化简问题，便于解决目标问题，

评注 该解法在“平方”变形的基础上，综合运用了有关平面向量、正弦定理以及三角恒等变换知识，显然对运算求解能力的要求较高，需要具有较强的运算、化简基本功.

视角四 由于本题涉及△ABC的外心，且向量AB.AC.A0之间具有线性表示的关系等式，所以可考虑“奔驰定理”在解题中的灵活运用，以便顺利分析、解决目标问题.

解法6设△ABC的外接圆的半径为R，则OA=OB= OC =R.又根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，易知∠BOC =2∠A.∠AOC =2∠B，∠AOB =2∠C.

评注 该解法的切入点是“奔驰定理”，同时需要将三角形的面积公式、向量减法的几何意义以及三角恒等变换等知识加以灵活、综合运用，对变形、化简能力的要求较高.

以上，呈现了解三角形与向量交汇问题的多视角探究，侧重考查了解三角形、平面向量以及三角恒等变换知识的综合运用，明确了常用解题技巧，拓宽了学生的解题思维视野，培养了学生的探索、创新精神，强化了学生的运算求解能力，进一步提升了学生的核心素养.故关注知识交汇，关注多解探究，有利于提高解题能力，进而落实素质教育的到位实施.