具有不确定参数的耦合神经网络固定与预设时间二分同步

2022-06-18王陆翔刘小洋

重庆理工大学学报(自然科学) 2022年5期

王陆翔，刘小洋

(江苏师范大学计算机科学与技术学院, 江苏徐州 221116)

0 引言

神经网络是从人脑神经元抽象得来的算法模型，由于其具有分布式计算、自适应、逼近复杂函数等能力，广泛应用于经济、医学、控制以及信息等领域[1-3]。同步是一种典型的动力学行为，它是指系统状态随时间变化趋于一致。其中，耦合神经网络(CNNs)的同步因其在知识工程、图像加密、信息科学等领域的广泛应用备受研究者关注[4-7]。目前，常见的同步类型有完全同步、滞后同步、反同步等[8-10]。

在神经网络同步过程中，受到外部干扰与不确定参数的影响几乎是不可避免的。这可能会造成神经网络不稳定或出现混沌现象。因此有必要探究不确定参数与外部干扰对CNNs同步行为的影响。例如，Zheng等[11]基于间歇牵制方法，解决了具有不确定参数的CNNs的鲁棒同步问题。

在上述同步研究中，所设计的控制算法仅能保证渐近同步，只有当时间趋向于无穷大时系统才能到达完全同步。但是在实际工程应用中，具有较快收敛速度的控制系统拥有更大的应用优势，因此学者们开始研究有限时间同步问题。与渐进同步相比，有限时间同步具有更快的收敛速率、更高的控制精度以及更强的鲁棒性与抗干扰性。梁军丽等[12]设计了非连续控制协议来解决切换CNNs的有限时间同步问题。尽管有限时间同步具有许多优点，但其同步时间严重依赖于系统的初始状态。鉴于此，Polyakov[13]首次提出了固定时间稳定性的概念，其收敛时间不再依赖于系统初始状态。后来，Zhu等[14]讨论了具有外部扰动的CNNs的固定时间同步问题。虽然固定时间控制的同步时间独立于系统的初始值，但想要在预设的时间内达到同步，设计者必须经过复杂的计算来调整控制参数，这增加了实际应用中的繁琐性。对此，Hu等[15]讨论了复杂网络的预设时间同步，该同步时间作为参数由设计者提前设定在控制协议中，可以根据任务的需求相应调整，具有更好的实用性。

然而，上述文献仅考虑网络节点之间是合作关系。事实上，在实际生活中，网络节点之间不仅存在合作关系，还有可能存在竞争关系，该网络称之为符号网络，其同步称之为二分同步。例如，Mao等[16]讨论了具有不确定参数的CNNs的有限时间二分同步问题。陈苏浩等[17]研究了具有时滞和干扰的CNNs的固定时间二分同步问题。

鉴于以上讨论，本文中主要考虑具有不确定参数与外部干扰的CNNs的固定与预设时间二分同步问题。主要创新点归纳如下:

1) 与文献[15]中无符号图的固定时间完全同步相比，本文中在符号图下研究了固定时间二分同步问题，该网络拓扑中的节点既存在合作关系，又存在竞争关系。

2) 与文献[16]中有限时间二分同步相比，本文中研究了具有不确定参数的CNNs的固定时间二分同步问题，该同步时间与系统初始状态无关。

3) 与文献[17]中固定时间二分同步相比，本文中讨论了具有不确定参数的CNNs的预设时间二分同步，该同步时间可由设计者根据任务需求来提前预先设定。

1 预备知识

1.1 图论

各节点之间的通信拓扑可由无向图G={V,E,A}表示，节点集V={v1,v2,…,vN}，边集E⊆V×V，邻接矩阵A=[aij]∈RN×N。对于无向图，如果节点i和节点j之间有边相连，则aij=aji>0;否则aij=aji=0。集合Nj={i:(vi,vj)∈E}表示节点j的所有邻居。

对于符号图G，如果将节点集V划分成2个互不相交的子集V1与V2，且满足∀vi,vj∈Vf(f∈{1,2}),aij≥0；且对∀vi∈Vf,vj∈Vg,(f≠g,f,g∈{1,2}),aij≤0，则符号图G为结构平衡图，反之为结构非平衡图。

1.2 集值李导数

1.3 模型描述

考虑具有N个节点的耦合神经网络(CNNs)，其动力学描述为:

(1)

式(1)的同步目标为:

(2)

式中：s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T表示同步目标轨道。

假设1CNNs的符号图G是连通的且结构平衡的。

引理1[18]若假设1成立，则存在对角矩阵W=diag{w1,w2,…,wN},wi∈{-1,1},∀i∈N，使得WAW=Au为非负矩阵，其中Au=[|aij|]∈RN×N。

假设2CNNs中的激活函数f(x)满足以下条件:

1) ∀x∈Rn,f(-x)=-f(x);

2)f(x)-f(v)≤l(x-v)，常数l>0。

假设3不确定参数ΔC(t)和ΔB(t)满足:

ΔC(t)=MG(t)HC, ΔB(t)=MG(t)HB

其中矩阵M,HC,HB是已知的常数矩阵，G(t)是未知矩阵且满足GT(t)G(t)≤In。

引理2[19]对于任意向量x,y∈Rn和正定矩阵Q∈RN×N，满足2xTy≤xTQx+yTQ-1y。

引理4[15]考虑以下系统:

(3)

式中：y∈Rn,g:Rn→Rn是不连续但局部可测的函数，并且g(0)=0。如果存在连续正定且径向无界函数V(y):Rn→R满足

其中，k∈R,α>0,β>0,ζ>1,0≤ξ<1,则有如下结论：

1) 当k≤0时，式(3)的平衡点是固定时间稳定的，并且驻留时间的上界为：

其中，ε=(1-ξ)/(ζ-ξ)。

2) 当0

引理5[15]对于式(3)，如果存在连续正定且径向无界函数V(y):Rn→R满足

引理6[15]对于式(3)，如果存在连续正定且径向无界函数V(y):Rn→R满足

αVζ(y(t))-βVξ(y(t))

2 主要结论

2.1 结构平衡图下的固定时间二分同步

研究结构平衡图下CNNs的固定时间二分同步问题。

(4)

(5)

令ei(t)=wixi(t)-s(t)，针对式(1)，设计控制器如下:

ui(t)=-λ1sign(wiei(t))-λ2sigθ(wiei(t))

(6)

其中,λ1>0,λ2>0,θ>1,sigθ(x)=sign(x)|x|θ。

将式(6)代入式(2)和(5)，可得误差系统:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

λ1sign(ei(t))-λ2sigθ(ei(t))

(7)

证明由于式(7)是非连续的，需引入微分包含理论。记式(7)右端为Φi(t)，并记Φ(t)=[Φ1(t),Φ2(t),…,ΦN(t)]T，由Filippov集值映射可得:

F[Φi(t)]=F[-(C+ΔC(t))ei(t)+

wiδi(t)-λ1sign(ei(t))-λ2sigθ(ei(t))]⊆

λ1sign(ei(t))-λ2sigθ(ei(t))

(8)

基于可测选择理论，选取函数μi(t)∈sign(ei(t))。由式(8)可得:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

λ1μi(t)-λ2sigθ(ei(t))

(9)

构造Lyapunov函数

并沿着式(9)对V(t)关于时间t求集值李导数，可得:

wiδi(t)-λ1μi(t)-λ2sigθ(ei(t))]

(10)

基于引理2、假设3，可得:

(11)

基于引理2、假设2和3，可得:

(12)

因为矩阵Lu是行和为0且半正定的，特征值满足0=λ1(Lu)<λ2(Lu)≤…≤λN(Lu)。可得:

(13)

对于有界的外部干扰，可得:

(14)

基于引理3，可得：

(15)

将式(11)—(15)代入式(10)可得:

λV(t)-α(V(t))θ-β

(16)

当λ≤0时，式(16)变为:

LΦV(t)≤-α(V(t))θ-β

(17)

由引理4中结论1)可知，CNNs在固定时间内同步到目标轨道，且同步时间满足:

当0<λ

其中,η=4αβ-λ2。

证明完毕。

注1与文献[16]中研究的具有不确定参数的CNNs的有限时间二分同步不同，本文中研究的是固定时间二分同步，该同步时间与系统的初值无关。

2.2 结构平衡图下的预设时间二分同步

讨论在结构平衡图下，CNNs的预设时间二分同步问题。

首先，对于λ≤0的情形，设计控制器如下:

(18)

此时，式(9)为:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

(19)

证明考虑相同的Lyapunov函数V(t)，沿着式(19)对V(t)关于时间t求集值李导数，可得:

(20)

与式(14)相似，可得:

(21)

进而，

(22)

由引理6可知，CNNs在预设时间内同步到目标轨道，同步时间为Tr。证明完毕。

对于0<λ

(23)

此时，式(9)为:

ei(t)=-(C+ΔC(t))ei(t)+

(24)

证明由式(24)对Lyapunov函数V(t)关于时间t求集值李导数，可得:

(25)

进而，

(26)

(27)

由引理6可知，CNNs在预设时间内同步到目标轨道，同步时间为Tr。证明完毕。

注2 以上同步时间Tr是用户提前预设的，不需要估算，且与控制器和系统参数都无关。

注3二分同步问题在军事、生物以及物理领域中都有许多潜在的应用。例如，无人飞行器在执行侦察任务遇到障碍物时，需要控制所有飞行器向两侧展开以实现避障的目的。

3 数值仿真

给出2个数值模拟来验证所提控制协议的有效性。

例1在结构平衡图(图1)下，考虑5个节点构成的耦合神经网络(CNNs)的固定时间二分同步问题，其中，节点集V划分为V1={1,2}和V2={3,4,5}，则矩阵W=diag{1,1,-1,-1,-1}。目标节点的初值s(0)=[1,-1]T。选取初始状态x1(0)=[0.5,0.8]T,x2(0)=[-0.9,1.6]T,x3(0)=[-2,-3]T,x4(0)=[0.5,-1.2]T,x5(0)=[-0.5,1]T。取CNNs的系数如下: