多重调谐冲击阻尼器的多目标优化设计研究

2022-06-17马乃寅周超杰

振动与冲击 2022年11期

鲁正，马乃寅，周超杰

(1.同济大学土木工程学院，上海 200092；2.同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092)

近年来，振动控制技术越来越多地应用于减小各类工程结构在外界激励作用下的动力响应[1]。其中，被动控制技术由于构造简单且减振效果显著，在工程中的应用最为广泛[2]。在众多被动控制装置中，调谐质量阻尼器(tuned mass damper, TMD)由于概念简单、可靠性高和设计方法成熟等优点，被广泛应用于各类实际工程结构[3]。然而，TMD也存在减振频带窄、耐久性不足等缺点。因此，一些学者将颗粒阻尼技术引入TMD，进而提出一种新型的颗粒调谐质量阻尼器(particle tuned mass damper, PTMD)。

为了探究PTMD的减震性能，学者们开展了许多研究工作。试验方面，Yan等[4]完成了附加PTMD的高架连续梁桥的振动台试验，发现其减震效果显著，且具有比TMD更宽的减震频带。Lu等[5]对附加PTMD的Benchmark结构进行了风洞试验，研究表明PTMD可显著减小高层结构的风致振动。施卫星等[6]对一种新型TMD(本质也是PTMD)进行了振动台试验，分析了影响其减震效果的因素。数值模拟方面，闫维明等[7]建立了PTMD的简化力学模型，进而可使用商业有限元软件对PTMD进行数值模拟。Lu等[8]基于等效简化原则将多颗粒简化为单颗粒，建立了PTMD等效简化模型，并通过振动台试验验证了该模型的准确性。Li等[9]对具有类似减振原理的碰撞型TMD进行了鲁棒性研究，发现碰撞型TMD在频率失调时仍可有效抑制结构振动。张井财等[10]提出了一种基于黏弹性理论的碰撞力计算方法，研究表明该方法可以有效模拟弹性和非弹性碰撞过程。然而，对于高层结构的加速度响应而言，PTMD的减震性能并不理想。这是因为高层结构的高阶模态对加速度响应的影响较为显著，而PTMD即使相较于TMD而言减震频带更宽，却也无法同时控制结构的多阶模态[11]。

因此，本文将颗粒阻尼器与多重调谐质量阻尼器相结合，提出一种新型的多重调谐冲击阻尼器(multiple tuned impact damper, MTID)，既兼具了颗粒阻尼技术和TMD的优点，又可控制主体结构的多阶模态。同时，提出了MTID应用于实际工程结构时基于性能的多目标优化设计方法。然后，为了进一步验证MTID的优化设计方法相对于传统设计方法的优越性，对比研究了传统设计和优化设计的MTID在地震激励下的减震性能。最后，对MTID和多重调谐质量阻尼器(multiple tuned mass damper, MTMD)的减震性能及工作行程进行了对比研究。

1 优化设计流程

MTID应用于实际工程结构时基于性能的多目标优化设计方法及流程，如图1所示。优化过程中选用的Benchmark结构的原型是美国加州地区的一栋20层钢框架建筑，该框架结构宽30.48 m，长36.58 m，高80.77 m，前三阶的自振频率分别为：0.261、0.753和1.300 Hz。鉴于Ohtori等[12]已经使用MATLAB软件建立了20层Benchmark结构的有限元模型并将其公开供研究人员使用，所以本节将不再赘述第1步中实际工程结构的有限元建模方法及过程。第2步建立MTID的数学模型、第3步确定调谐冲击阻尼器(tuned impact damper,TID)的数量和位置以及第4步优化参数设计的具体方法和过程将在接下来的内容中详细阐述。

图1 MTID的多目标优化设计流程Fig.1 The multi-objective optimization design process of the MTID

1.1 MTID数学模型的建立

主体结构附加多重调谐冲击阻尼器的力学模型如图2所示，MTID中包含n个TID，每个TID包含一个质量为mci的腔体和质量为mpi的颗粒，并通过线性的阻尼元件(阻尼为cci)和弹簧(刚度为kci)耦合到主体结构上。腔体与颗粒之间的碰撞过程采用分段线性的阻尼元件(阻尼为cpi)和弹簧(刚度为kpi)进行模拟。

图2 主体结构附加多重调谐冲击阻尼器的力学模型Fig.2 Mechanical model of the main structure with MTID

安装有MTID的主体结构在外界激励作用下的运动控制方程为

(1)

图3 非线性函数Fig.3 Nonlinear function

(2)

(3)

(4)

颗粒与腔体碰撞时的刚度系数kpi和阻尼系数cpi为

(5)

cpi=2ξpimpiωpi=2ξpimpiλωci

(6)

式中:ωci和ωpi分别为腔体和颗粒的固有频率;λ为颗粒与腔体之间的刚性碰撞系数，一般取λ=20[13];ξpi为颗粒与腔体之间的碰撞阻尼比，用来模拟两者的非弹性碰撞。

1.2 TID数量和位置的确定

对主体结构进行模态分析可得，结构的前4阶自振频率分别为0.261、0.753、1.300和1.830 Hz，结构的前4阶振型如图4所示。此外，模态分析的结果表明，结构前4阶振型的有效质量系数累计已达到91.07%，超过了90%，所以本文的研究过程中只控制该Benchmark结构的前4阶振型。因此，MTID中TID的数量设置为4个，并将4个TID的腔体频率分别调为结构前4阶的自振频率，用来分别控制结构的前4阶振型。同时，为了充分发挥MTID的减震性能，可将4个TID分别悬挂安装于前4阶振型幅值最大的楼层，且从图4可以发现，该Benchmark模型的前4阶振型的幅值均在顶层取得最大值，故而MTID中的4个TID均安装于结构顶层，如图5所示。

(a) 第1阶振型

(b) 第2阶振型

(d) 第4阶振型图4 Benchmark结构的前4阶振型Fig.4 The first four mode shapes of the Benchmark structure

图5 MTID安装位置示意图Fig.5 Diagram of MTID installation location

1.3 优化参数设计

选用高斯白噪声作为输入的外界激励，通过采用多目标多元宇宙算法(multi-objective multi-verse optimization, MOMVO)[14]求解主体结构附加MTID的运动控制方程，MTID的优化参数可以方便地获得，包括腔体和颗粒的质量比、阻尼比以及腔体的净距。众所周知，优化算法所设计得到的优化参数最终结果会随着目标函数的变化而变化，考虑到主体结构的位移和加速度响应分别对结构的安全性和适用性有重大影响，且无控状态下均在顶层取得最大值，因此本节所采用的两个优化目标分别为最小化结构顶层的均方根位移和均方根加速度响应，具体公式如下

minJ(z)=(J1(z),J2(z))

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:J(z)为有控结构顶层的归一化均方根响应;J1(z)和J2(z)分别为有控结构顶层的归一化均方根位移和归一化均方根加速度响应;a20(z,t)和d20(z,t)分别为有控结构顶层的加速度和位移响应;d20(t)和a20(t)分别为无控结构顶层的位移和加速度响应;z为MTID的待优化参数;μci和μpi分别为第i个TID腔体和颗粒的质量比;ξci和ξpi分别为第i个TID腔体和颗粒的阻尼比;di为第i个TID的腔体净距;n为MTID中TID的数量。

图6展示了使用MOMVO算法进行优化设计所得到的Pareto前沿，即各组非劣最优解所对应的目标函数值。由图6可知，多目标优化设计MTID对主体结构顶层位移的减震效果最高可接近25%，而对顶层加速度的减震效果最高可超过40%。此外，显而易见的是，随着MTID对主体结构位移减震效果的优化，加速度减震效果会出现不同程度的劣化，反之亦然，即MTID对位移和加速度响应的减震效果无法同时获得最优。因此，为了使得MTID对主体结构的位移和加速度响应均取得较好的减震效果，本文选择与原点距离最小的一组非劣最优解作为最优解，并选用该组最优解所对应的参数作为MTID最终的优化设计参数，如表1所示。

图6 Pareto前沿Fig.6 Pareto front

表1 MTID的设计参数Tab.1 Design parameters of the MTID

2 减震性能验证

为了进一步分析优化设计相比于传统设计的优越性，经传统设计和多目标优化设计的两种MTID被分别附加到Benchmark结构模型来验证两者的减震性能。传统设计过程中，MTID的总质量、TID的个数、腔体频率和安装位置均与优化设计保持一致，其余参数根据传统设计方法确定，具体可参见Lu等。表1给出了经传统设计和多目标优化设计的两套MTID的系统参数。

选用El Centro地震波(时程曲线和频谱曲线见图7)并将其加速度幅值放大1.5倍后作为输入的外界激励[15]，对主体结构进行大震作用下的弹塑性时程分析。

(a) 时程曲线

(b) 频谱曲线图7 El Centro地震波的特性曲线Fig.7 The characteristic curve of the El Centro seismic wave

El Centro波作用下非线性主体结构顶层的位移和加速度响应时程对比如图8所示。由图8可知，有控结构和无控结构的动力响应时程曲线在刚开始的2 s内几乎重合，经过很短的一段时间后，附加传统设计和优化设计MTID的主体结构的动力响应发生了明显衰减。产生这种现象的原因是，MTID中的颗粒与腔体发生碰撞需要一定的时间，即MTID有效发挥减震性能需要一定的启动时间；MTID启动后，通过TID中颗粒与腔体的碰撞和动量交换以及TID整体的调谐作用开始耗散地震波输入到主体结构中的能量，进而主体结构位移和加速度响应均会显著减小。

(a) 位移响应

(b) 加速度响应图8 主体结构顶层响应的时程对比Fig.8 Time history comparison of the top floor response of the main structure

非线性主体结构在El Centro波作用下，结构各层的位移和加速度响应对比如图9和图10所示。由图9和图10可知，无控结构和有控结构的位移以及加速度响应均在结构顶层取得最大值，故而本节重点对比研究MTID对主体结构顶层响应的减震效果。分别计算传统设计和优化设计的MTID对主体结构顶层位移及加速度响应的减震效果，如表2所示。

(a) 峰值位移

(b) 均方根位移图9 主体结构各层的位移响应对比Fig.9 The displacement response comparison of each floor of the main structure

(a) 峰值加速度

(b) 均方根加速度图10 主体结构各层的加速度响应对比Fig.10 The acceleration response comparison of each floor of the main structure

表2 MTID对结构顶层响应的减震效果Tab.2 Vibration reduction effect of the MTID on top floor response

对比图9和图10并结合表2中MTID对主体结构顶层响应的振动控制效果可以发现，传统设计和优化设计的MTID对于顶层的峰值位移的减震性能非常接近，除此以外，优化设计MTID的减震性能均显著优于传统设计，例如对于结构顶层均方根加速度的减震性能的提升率达到了65%。这一方面说明使用传统设计方法所得到的MTID的设计参数并非最优参数，所以当MTID应用于实际工程结构时，工程师有必要对其进行优化设计。同时，这也说明优化设计的MTID相比于传统设计具有更优异的减震性能。

另一个值得注意的现象是，优化设计的MTID对主体结构均方根响应的控制效果显著优于对峰值响应的控制效果。结合El Centro波作用下主体结构顶层响应的时程曲线和El Centro波的加速度时程曲线可知，产生这一现象的原因是：El Centro波加速度峰值的出现时间较早，进而导致主体结构的峰值位移和峰值加速度分别在3.83 s和3.04 s便出现，但此时MTID中的颗粒和腔体尚未充分有效地发生碰撞，即此时的MTID尚未完全启动，其减震性能有限。最终使得El Centro波作用下MTID对于主体结构峰值响应的减震效果明显低于对均方根响应的减震效果。

此外，由表2可知，优化设计的MTID对主体结构顶层加速度响应的减震效果显著优于对顶层位移响应的减震效果。为了分析出现这种现象的原因，对无控结构顶层的加速度和位移响应时程进行快速傅里叶变换可得到如图11所示的频谱响应曲线图，其中虚线分别代表结构前4阶的自振频率，即f1=0.261 Hz,f2=0.753 Hz,f3=1.30 Hz,f4=1.83 Hz。由图11可见，本章所选用的非线性主体结构的加速度响应主要由2～4阶模态控制，而位移响应则主要由1阶模态控制。同时，本节所使用的优化设计MTID中4个TID被分别设计用于控制结构的前4阶模态。所以，当MTID衰减主体结构的加速度响应时，MTID中有3个TID可以充分发挥其减震性能；而当MTID衰减主体结构的位移响应时，MTID中仅有1个TID可以充分发挥其减震性能。因此，相比于位移减震性能，优化设计的MTID具有更加优异的加速度减震性能。

(a) 加速度响应频谱

(b) 位移响应频谱图11 主体结构顶层响应的频谱图Fig.11 The frequency spectrum of top floor response of the main structure

消能减震结构设计的目的是希望通过引入阻尼器，以尽量避免结构在地震下进入非线性，但是在实际地震中，尤其是在超越设计的大震作用下，结构构件往往不可避免的会发生屈服，进而主体结构将会从弹性状态进入非线性状态并产生非线性响应，故而本文将引入一些非线性评价指标来评估MTID的振动控制性能，例如：节点曲率和塑性铰数量。本文所选用的20层非线性Benchmark框架结构使用了双线性恢复力模型来表征结构构件的非线性弯曲刚度，从而将材料非线性引入到结构中，并且设定塑性铰只能出现在梁柱构件的连接节点，而构件中部将依旧保持弹性。图12分别给出了El Centro波作用下非线性主体结构各层的最大节点曲率与屈服曲率之比和塑性铰数量，图13则分别展示了非线性主体结构中出现塑性铰的位置。

(a) 各层的最大节点曲率与屈服曲率之比

(b) 各层的塑性铰数量图12 主体结构的非线性评价指标Fig.12 Nonlinear evaluation index of the main structure

(a) 无控

(b) 传统设计

由图12(a)可见，MTID可极大的减小主体结构节点曲率的峰值，降低主体结构进入非线性的程度，例如优化设计的MTID系统可将主体结构的节点曲率与屈服曲率之比的峰值从无控状态下的1.49减小为有控状态下的1.01，进而可显著减小主体结构的塑性变形和非线性损伤。从图12(b)和图13可以发现，无控结构分别在13个楼层共出现了84个塑性铰，而优化设计的MTID控制下的主体结构仅在第7层和第8层分别出现了2个塑性铰，即优化设计的MTID可显著减少出现塑性铰的楼层和数量。然而，由传统设计的MTID控制的主体结构分别在4个楼层出现了总计18个塑性铰，这也进一步说明优化设计的MTID在减小主体结构塑性变形和非线性损伤方面具有更为优异的控制性能。

此外，从太平洋地震工程研究中心的数据库随机选取了10条与主体结构的主要模态频率相适应的地震波并将其峰值加速度均调整为0.22g(即7度罕遇地震所对应的加速度峰值)，其中短周期地震波和长周期地震波各选取了5条，如表3所示。非线性主体结构在所选取的10条地震波作用下顶层响应的减震效果如图14所示。可以看出，不同地震激励作用下优化设计MTID的位移和加速度减震性能均不同程度地优于传统设计，这也进一步验证了图1所示的MTID优化设计方法的有效性和实用性。

表3 5条短周期地震波和5条长周期地震波Tab.3 Five short-period earthquake records and five long-period earthquake records

(a) 均方根位移

(b) 均方根加速度图14 10条地震波作用下主体结构顶层响应的减震效果Fig.14 The vibration control effects of top floor response subjected 10 earthquake waves

3 MTID与MTMD的减震性能对比

MTID和MTMD均可以同时对主体结构的多阶模态进行振动控制，并且两种阻尼系统的工作原理也有相似之处。然而，目前尚未有研究人员对两种阻尼系统的减震性能进行深入地对比研究。因此，本章分别对MTID和MTMD进行优化设计，并对两种阻尼系统的最优减振性能和工作状态进行对比研究。研究过程中，继续选用1.5倍幅值的ElCentro地震波作为输入的外界激励。

由上一章主体结构的模态分析结果可知，MTMD也应设置4个TMD并将其分别与主体结构的前4阶自振频率进行调频设计，同时应将4个TMD均安装于主体结构的顶层从而获得最优的减振性能。MTMD其余的优化设计参数可根据经典的Den Hartog公式求得，如表4所示。其中，MTMD和MTID的总质量比保持一致。此外，MTID继续采用上一节所述的优化设计方案。

表4 MTMD的设计参数Tab.4 Design parameters of the MTMD

图15分别给出了MTID或MTMD控制下主体结构各层的位移和加速度响应。由图15可见，相比于优化设计的MTMD，优化设计的MTID控制下主体结构的动力响应更小，这说明MTID的最优减震性能略优于MTMD的最优减震性能。

(a) 均方根位移

(b) 均方根加速度图15 MTID或MTMD控制下主体结构各层的动力响应对比Fig.15 Dynamic response comparison of the main structure controlled by MTID or MTMD

此外，在对实际工程结构进行振动控制时，阻尼系统运行期间的工作行程是一个至关重要的设计参数。因为较小的工作行程可减少阻尼系统对主体结构内部空间的占用，进而可以提高阻尼系统的适用性。为此，图16对比了MTMD和MTID中各子系统在运行期间的工作行程。由图16可知，TID-2和TMD-2的最大工作行程相同，除此以外，MTID中其余子系统的最大工作行程均不同程度地小于MTMD，例如TID-4的最大工作行程相对于TMD-4减小了46.67%。该现象进一步证明了优化设计的MTID相比于MTMD在提高阻尼系统适用性和建筑空间利用率等方面具有显著的优越性。