正切非线性包装系统跌落冲击的MSLP解

霍银磊， 刘彦亨， 陈无忌

(河南科技大学 包装工程系， 河南 洛阳 471000)

包装中的很多缓冲材料压缩时体现为明显的正切型弹性特性，例如缓冲气柱、泡沫橡胶、预压后的泡沫塑料等。此类材料组成的包装系统具有较强的非线性，基于小参数的传统Lindstedt-Poincare摄动法(L-P)对此类问题的求解一般不再有效。

由于初始条件的差别，上述针对非线性系统振动响应的求解结果并不能直接应用于跌落冲击问题。目前，针对正切型非线性系统的求解的研究还比较少，而且主要针对于无阻尼系统：宋浩等[12]基于何氏PEM法分析了无阻尼正切型非线性包装系统跌落冲击响应，利用冲击过程中的能量关系修正了何氏PEM法的解析表达，得到较高精度的近似解析解；郭蓓蓓等[13-14]分别基于同伦摄动法和Li-He氏修正同伦摄动法分析了正切型非线性包装系统跌落冲击响应并对所得解析解基于能量关系进行了修正；Song[15]还利用修正的同伦摄动法分析了双曲正切型无阻尼非线性包装系统的跌落冲击响应，得到了系统响应的级数解；赵晓兵等[16]基于牛顿谐波平衡法(NHB)分析了正切型缓冲系统跌落冲击响应。最近，仲晨等[17]也基于NHB法分析了包含线性阻尼的正切型包装系统跌落冲击响应。

上述冲击响应求解方法大多需要基于冲击过程中的能量变化对所得解析解的幅值和频率进行修正以提高冲击响应的计算精度。对于有阻尼的包装系统，能量修正会变得困难。因此，考虑到跌落冲击的瞬时特性，本文尝试将结合多尺度法和改进的L-P摄动法来讨论正切型含有线型阻尼的非线性包装系统在发生跌落冲击时的响应问题。

1 系统模型及运动方程

图1 包装系统跌落动力学模型Fig.1 The dropping dynamics model of packaging system

由牛顿第二定律可知系统的运动方程

(1)

由于变形过程中总有x

(2)

利用式(2)，式(1)写为

(3)

其中：

对于跌落冲击，系统运动的初始条件为

(4)

2 基于MSLP方法的近似解

对于α,β不为小量的非线性系统，借鉴改进的L-P法，令τ=ωt，对式(3)进行时间变换得

(5)

式中，“′” 表示为对新时间变量τ的微分。

利用多尺度法，分别定义快、慢时间尺度

T0=τ，T1=ετ，T2=ε2τ

(6)

变换后的时间导数和因变量的多尺度展开分别为

x=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+ε2x2(T0,T1,

T2)+…

(7)

定义系统基频ω，有：

(8)

ε2x2)+ε2μω[D0+εD1+ε2D2](x0+εx1+ε2x2)+(ω2-εω1-ε2ω2)(x0+εx1+ε2x2)+εα(x0+εx1+ε2x2)3+ε2β(x0+εx1+ε2x2)5=0

(9)

分离参数ε各阶，得到：

(10)

(11)

(12)

系统运动的初始条件

(13)

由式(10)可方便得到系统的0次近似解

x0=AeiT0+cc

(14)

式中：A为复振幅，包含振幅与相位信息；cc表示前面各项的复共轭。

将式(14)代入式(11)得

(15)

令D1A=0，根据消除久期项条件可得

(16)

考虑初始条件，式(11)有如下形式解

(17)

式中：B为复振幅；cc表示前面各项的复共轭。

进一步地，将式(14)和(17)代入式(12)得

(18)

令D2A=0可知ω2为复数，方程的解不可得[18]。因此，根据消除久期项条件，令ω2=0，得

(19)

考虑初始条件，式(12)有如下形式的解

(20)

(21)

整理可得式(5)的一次渐进解

3 sin(ωt+θ)]

(22)

及二次渐进解

(23)

其中：

由式(8)及(16)可得

(24)

(25)

3 算例分析与讨论

为了检验模型的准确性，不考虑阻尼的影响，利用文献[13-14]中的系统参数：m=10 kg,H=0.6 m,k0=600 N/cm,μ=0,εα=72 N/cm3,ε2β=0.000 1N /cm5，对比MSLP法(c=1×10-10N·s/m)与同伦摄动解 (HPM)、修正的同伦摄动解(CHPM)、Li-He修正同伦解(LHHPM)及修正的Li-He同伦解(MLHHPM)的计算结果见表1。可以看出：对于无阻尼系统，考虑未修正的冲击响应，同伦摄动法(HPM)的对应误差分别为6.14%和11.8%；同样，未修正的Li-He同伦解(LHHPM)误差也较大，分别为5.1%和8.5%。相比之下，修正的同伦摄动法(CHPM)和修正Li-He同伦解(MLHHPM)的最大位移及加速度的相对误差都降低了很多，精度有了很大的提高，显示了能量修正的优越性。本文MSLP计算的最大位移和加速度响应的一阶近似解与R-K数值结果对比的相对误差分别为1.35%和3.28%，二次近似阶的相对误差分别为0.62%和1.84%。虽然相对于修正的同伦摄动解精度稍低，考虑到阻尼系统能量修正的复杂性，本文方法具有更大的实用价值。与期望的一样，相比于一次近似，取MSLP的二次近似解有助于提高系统响应的计算精度。

表1 不同方法计算的近似解与数值解的对比Tab.1 Comparison of solutions obtained by different methods for the cubic-nonlinear system

考虑到文献[13-14]中针对式(3)进行的参数选择，其中参数的取值并不严格满足正切型弹性关系。为更严格的考察正切非线性MSLP解的准确性, 若不做特殊说明，以下分析均基于文献[17]的系统参数：m=20 kg,g=9.8 m/s2，H=0.6 m,c=1 200 N·s/m,k0=2.5×105N/m,db=0.05 m。系统冲击响应与文献[17]结果对比见图2。可以看出：本文MSLP法计算的系统位移响应与数值法得到的结果吻合很好，在其峰值处误差最大，其一、二次位移响应最大值分别为0.020 55 m和0.020 62 m，较数值解0.020 76 m相对误差仅分别为1.0%和0.67%，较NHB法所得结果的5.58%的平均误差精确度更高；同样，本文方法计算的系统加速度响应与数值法得到的结果吻合也较好，在其峰值处误差最大，其一、二次加速度响应最大值分别为-346 m/s2、-344 m/s2，较数值解-334.2 m/s2的相对误差仅有3.53%和2.96%，较NHB法所得结果的5.61%的平均误差精确度更高，证明了本文方法对阻尼正切型非线性系统的有效性。二次MSLP解较一次解精度有所提高，但总体差别不大，考虑计算的简便性和工程实际，认为一次MSLP近似解即可满足实际计算要求。后续的讨论将基于一次MSLP近似解进行。

图2 不同方法得到的系统跌落冲击响应结果对比Fig.2 Comparison of dropping shock responses of the packaging system based on different methods

图3 不同阻尼系统跌落冲击响应(k0=2.5×105 N/m)Fig.3 Dropping shock responses of the damped packaging system for different damping c. (k0=2.5×105 N/m)

对于小阻尼(c=500 N·s/m)正切型非线性系统，不同初始弹性系数k0对系统响应的影响见图4。结果表明：随着初始弹性系数逐渐增大，响应幅值逐渐减小，响应周期逐渐减小。这也与线性系统的结论一致，较大的初始弹性系数意味着较大的系统刚度和较大的响应频率；另外，随着k0的逐渐增大，系统的最大位移响应与最大加速度响应的相对误差也逐渐减小。

图4 不同初始弹性系数的系统跌落冲击响应(c=500 N·s/m)Fig.4 Dropping shock responses of the damped packaging system for different initial elastic constant k0.(c=500 N·s/m)

4 结 论

本文基于MSLP法分析了含有阻尼的正切型非线性包装系统的跌落冲击响应的一、二次近似表达，并与数值解进行对比，主要结论如下：

(1) MSLP方法可有效用于含有阻尼的正切型非线性包装系统的跌落冲击响应的近似解析求解，其一、二次近似解都具有较高的精度并且无需额外的基于能量关系的幅值与频率修正，二次近似解的精度相对于一次近似解有所提高，但其形式也更复杂。

(2) 随着系统阻尼的增大，一次MSLP近似解的误差逐渐增大。对于实际的小阻尼缓冲材料系统，一次MSLP近似解具有较高的精度。

(3) 随着系统初始弹性系数的增大，基于MSLP方法的一次近似解的误差逐渐减小，解析解的精度提高。

(4) 考虑到双曲正切弹性材料力-变形关系有类似式(2)形式的泰勒展开式，本文方法可方便的应用于双曲正切系统的求解。