高等数学理论应用于实际的教学研究

毛旭强　林海婵

[ 作者简介 ]

毛旭强，男，四川乐山人，海南大学理学院，讲师，硕士，研究方向：基础数学。

林海婵，女，海南昌江人，海南大学理学院，讲师，硕士，研究方向：应用数学。

[ 基金项目 ]

海南省自然科学基金青年基金项目（120QN175），海南大学理学院教育教学改革研究项目（LXG202009）。

[ 摘要 ]

本文通过高等数学理论在实际中的几个应用，研究在教学中将高等数学理论与现实应用相结合，激发学生的学习兴趣，培养学生主动思考和分析问题的能力。

[ 关键词 ]

导数;曲率;渐屈线;渐伸线;自治微分方程;无穷级数

中图分类号：O13

文献标识码：A

DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2022.03.037

高等数学是高校重要的基础学科，因其含有的微积分、微分方程、级数等内容被广泛应用于各个领域，所以高等数学是大学很多专业的核心基础课程。高等数学作为一种数学课程，课程内容比较抽象，老师在讲授的过程中，往往偏向于定理和性质的推导与证明，对其在实际中的应用涉及较少。这导致学生在学习过程中会感觉枯燥，而学习完课程后，很多学生只掌握了纯数学问题的计算与证明，却不了解这些理论在现实中的作用，部分人甚至發出高数无用的感叹。因此如何让教学过程既有用又有趣就显得尤其重要，通过现实实例来讲解理论是实现有趣教学的重要途径。

目前国内经济社会发展进入一个新时期，进行供给侧改革和产业升级需要科技的支撑，大学作为科技产出的重要单位，理应为国家发展尽一份力，高等数学作为一门基础学科，只有面向应用，才能做到学以致用，才能在各行各业中发挥作用。本文通过高等数学理论在数学建模和工业上的几个应用，以期在教学中将高等数学理论与现实进行结合，激发学生的学习兴趣，培养学生主动思考和分析问题的能力。

1 利用导数判断实验数据与常见函数的拟合，实现对实验数据的建模

在研究中，对实验数据进行建模可以厘清变量之间的联系，并且一旦建模成立，还能利用模型对未来数据进行预测，利用导数判断实验数据是否拟合函数是数学建模中经常使用的方法。假设为实验数据，令。

1.1 利用导数判断变量间的联系是否为

当时，，即，

因此，如果根据实验数据得出常数，则说明与间具有直线关系。

1.2 利用导数判断变量间的联系是否为

所以如果实验数据得出常数，则说明。

1.3 利用导数判断变量间的联系是否为

当时，在等式两边取对数，有，令，则，此时，所以如果实验室数据显示常数，则说明 。

表1是全球各年度人口总量数据，数据来源于联合国经济与社会事务部中的人口统计，依照上述处理方式寻求建立以时间为自变量，以每年的人口总数为因变量的数学模型。

对数据进行初步处理后可以看出，从2007年开始到2021年，基本呈现线性递减的趋势，因为利用表中数据建立的线性方程=-0.0001t+0.0124，解此方程可得=67.06e-0.00005t2+0.0124t，这即是人口总数与时间之间的数学模型。利用此模型计算出2008到2021年的人口数据如表2所示：

由表2数据可以看出，模型数据和实际数据非常吻合，所以此模型成立，可以利用此模型预测到2022年末全球人口总数将达到79.86亿。

由上所述，可以利用导数分析变量数据以建立变量间的数学模型。另外，当判断出变量间具有以上函数关系后，通常还需要使用最小二乘法以确定函数表达式中的参数，来得到变量间更具体的函数关系，在上例中，由于变量间的线性关系显著，所以直接使用了实验数据进行建模，而没有使用最小二乘法。

2 曲率导出的渐屈线和渐开线的应用

可导函数在某点处的曲率用于判断函数曲线在该点处的弯曲程度，其计算式为，曲率在工业中有一个非常实际有趣的应用，就是利用曲率圆圆心轨迹曲线的性质制作渐伸线齿轮。

当曲率K≠0时，在点M处的法线上，在凹的一侧取一点D，使，以点D为圆心，ρ为半径作出的圆称为曲线在点M处的曲率圆，D称为曲率中心。当点M沿着曲线移动时，曲率中心D的轨迹曲线称为曲线的渐屈线，曲线称为渐伸线。

设曲率中心D的坐标为（α，β），根据曲率圆的定义可知

依据参数方程求导公式可求出，从而，由此可知，渐屈线G的切线与渐伸线 的切线垂直，如图一所示。

利用渐屈线G的切线与渐伸线垂直这一性质，工业中将之应用于设计渐伸线齿轮。如果将齿轮转盘边缘曲线作为渐屈线，以边缘曲线的渐伸线作为转盘齿轮，利用渐屈线切线与渐伸线切线相垂直这一特性，当齿轮转动时，齿轮咬合处力的方向正好与齿轮垂直，从而可以得到最大力矩，如图二所示。

3 利用自治微分方程的相直线和平衡点建模

微分方程是研究自然和社会的有力工具，在科学研究和实际生产中，很多问题可以归结为用微分方程表示的数学模型，在讲授微分方程时结合实例进行讲解有助于培养学生的建模思维。

求解微分方程的过程就是要求出满足方程的函数 。为了方便求出，在微分方程中通常表示为自变量的函数，例如，如果在一个微分方程中表达式中只含有而不含有，这种微分方程就称为自治微分方程，例如。在处理实际问题时，我们往往最先观察到的是因变量的变化，此时可以考虑用自治微分方程的相直线和稳定点的思想来进行建模分析。

在自治方程中，使0的值称为方程的平衡点，例如上面方程中的0与20。平衡点所对应的直线称为相直线。相直线可以用于分析微分方程的解函数的变化趋势。

例如，在方程（20-）中，易知，当解函数（）位于相直线20上方时，<0，此时（）单调递减;而当解函数（）位于相直线20下方时，>0，此时（）单调递增，如图三所示。假设表示现实中水壶里水的温度，室内温度是20摄氏度，那么图三表明，当水温高于室温时，随着时间推移，水温会下降直到达到室内温度;而当水温低于室温时，随着时间推移，水温会上升，直到达到室内温度。

相直线建模在现实中广泛应用于分析有限资源下的群体增长、一条信息在人群中的扩散情况、工业中化学物的自催化反应等等。在分析有限资源下的群体增长时，在现实环境中，由于受到资源的限制，种群数无法无限增长，当种群数目小于环境的最大负载能力时，种群数可以一直增长;但当种群数超过环境的最大负载能力时，种群数将下降。在理论上种群数将围绕着环境的最大负载值进行波动，这正好是相知线模型的特征。

假设环境对某一种群的最大负载数为M，种群当前的数目为，由上可知，当<M时，（t）>0，种群数增长;当>M时，（t）<0，种群数下降。其对应的自治微分方程模型为：

，此模型中0及M 时种群增长速度为零，直线0与M为该模型方程的相直线。相直线M与上图中的相直线20类似，当时间 t 增加时，曲线会趋于M，所以点M 又称为方程的稳定平衡点。解此微分方程可得，其中当>M时，r <0;当<M時，r>0。在自治微分方程两边继续求导，可得，从而当 时，此时曲线是凹曲线;当时，此时曲线是凸曲线;当>M时，曲线时凹曲线，如图四所示。这表明，当时种群增速较快，当>时种群增速放缓，并且逐渐趋于0，稳定在M;而当>M时，越大种群减速越快，随着时间推移减速放缓，逐渐趋于零，稳定在M。

4 无穷级数在现实中的应用

无穷级数是一个强有力的工具，利用它使我们能将函数表示成无穷多项式或者无穷三角函数项，并且当我们把它截断成有限项时，还可以进一步分析产生的误差，这些特性使得无穷级数在医药、经济、热流、振动、信号传输等各行各业中都有重要的作用。通过实例的学习，可以让学生为级数在科学和数学中应用打好良好的基础。

4.1 无穷级数在医学中的应用

很多慢性病人每天都要按医嘱服用一定剂量的某种药物，每天都有一定比例的药物通过各种渠道排泄掉，医生往往需要根据病人长期服药后体内药量维持水平来确定病人的服药量。

假设病人每天的服药量为m，每天有比例的药物通过各种渠道排泄掉，则服药第一天，病人体内药量为m;服药第二天，病人体内药量为;服药第三天，病人体内药量为;…，依此类推，长期服药后，病人体内的药量为，这是一个公比为的无穷级数，利用等比级数求和公式可知。由上可知，如果病人每天服药量为1 mg，排泄率为25 %，那么长期服药后，病人体类的药量水平将是4 mg。所以医生可以根据病人体内药量水平，结合病人的病情来确定病人的服药量。

4.2 无穷级数在经济中的应用

无穷级数在经济中可用于依年复利计算时金融投资中的投入和收益。

假设投资年回报率为，依年复利计算，若投资方希望通过投资S万元，实现第一年提取a+b万元，第二年提取a+2b万元，…，第n年提取a+nb万元，并能按此规律一直提取下去，为实现这个目标需要确定最初的投资额S。因为n年后的提取值为a+nb，假设a+nb是由投资额S中的部分金额Sn 通过年复利计算产生的，则无穷级数，无穷级数，利用级数 ，将代入，有，于是可得。由上，如果投资回报率r=0.1，a=10，b=10，则为实现目标，最初的投资额需要1200万元。

5 结语

以上只是阐述了高等数学在现实中的几个应用，实际上，现实中的对高等数学理论的使用非常广泛，从经济学到金融、从物理到航天、从工程设计到信号传输、从医药分析到化学反应等等，各行各业都有大量应用。因此，加强高等数学教学中理论知识实际应用的讲解将激发学生的学习兴趣，增强学生分析问题解决问题的能力，为学生进一步的发展打下良好的基础。

参考文献

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[2]韩汉鹏，马少军，徐光辉. 大学数学——微积分[M]. 北京： 高等教育出版社，2010.

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[4]李建平. 微积分[M]. 北京： 北京大学出版社，2018.

[5]张天德，王玮. 高等数学[M]. 北京： 人民邮电出版社，2020.

[6]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]. 北京： 高等教育出版社，2018.