工程应用背景下的“矩阵论”课堂教学设计

郭玉祥，张庆平，占生宝

（安庆师范大学 电子工程与智能制造学院，安徽 安庆 246133）

矩阵（Matrix）这一概念最早是由数学家Sylvester创立和引入的[1]，经过两个多世纪的发展，已广泛应用于控制理论与控制工程、计算机软件与理论、电力系统及其自动化、电路与系统、信号与信息处理等领域。理工科研究生在进入课题前一般都需要系统地学习“矩阵理论”，因此，研究与探索矩阵理论课堂教学就显得尤为必要。北京建筑大学崔景安教授提出矩阵理论的教学内容应与专业相结合，让学生充分参与课堂，改进考核方式[2]。贵州师范学院张俊忠博士研究了发生教学法在矩阵运算教学中的应用，拓展了矩阵教学的深度，将矩阵课堂变为启迪智慧的港湾[3]。上海大学曾振柄教授根据教育学思想设计教学场景，以更直观的方式让学生理解矩阵论之行列式的本质[4]。此外，还有教师在矩阵论课堂教学中推行了“微课”[5]、翻转课堂和智慧课堂等教学方式[6-9]。但是，学生在学习矩阵论时依然遇到许多困难，究其原因无非是矩阵论太过于抽象，需要较高的数学思维和素养，而且教学往往注重证明推理，缺乏与实际工程应用的结合，学生不知为何学，学会了干什么。因此，本文基于工程应用需求，从多智能体、线性系统、图像处理等领域的具体实例出发，阐述矩阵理论在工程上的应用以及它们之间的本质联系，针对不同知识内容设计了3种不同教学方法，得到以具体应用实例为背景的矩阵论教学设计方案与步骤，使枯燥无味的课堂变得妙趣横生，从而激发学生学习矩阵理论的主动性、积极性和创造性。

1 矩阵在多智能体上的应用

多智能体（一般指多智能体系统或技术）是上世纪末本世纪初人工智能领域的重要前沿学科，该研究涉及大量的数学基础知识，其中，邻接矩阵是多智能体系统研究中不可回避的重要概念之一。本文以轮式移动智能机器人为例，说明什么是邻接矩阵。假如，有5个轮式移动智能机器人，它们之间的连接信息如图1所示，现用矩阵表示这5个机器人信息的连接关系，其中，用“1”表示两机器人有信息连通（即i机器人可以得到j机器人的信息，反过来j机器人也可以得到i机器人的信息），“0”表示两机器人无信息连通（即i机器人得不到j机器人的信息，反过来j机器人也得不到i机器人的信息）。

图1 轮式移动智能机器人信息连接示意图（左）及矩阵表示（右）

因此，在课堂上讲授矩阵乘法运算时可以与多智能体的矩阵相联系，在教学过程中，以引入多智能体的邻接矩阵为背景，凭借建构主义环境下的教学设计方法[11-13]，创设自主构建知识情景，提供与矩阵运算相关的学习资源，在协作交流、思想碰撞下，通过解决实际问题的发现式学习，让学生感受到矩阵乘法的巨大用途，可以有效、轻松地解决许多难题。具体设计步骤：教学主题（矩阵运算的乘法）→多媒体展示多个机器人及相关视频→提出移动智能机器人的信息连接问题→提供与矩阵运算相关的学习资源→自主学习矩阵乘法的知识内容→交流学习心得→协作完成例题和练习→分组总结知识点、形成知识脉络→课下布置练习、强化实践。

2 矩阵在线性系统中的应用

线性系统是控制理论最基本的研究对象，其许多重要成果是建立在准确的数学模型基础上。对于线性系统来说，微分方程是其时域内的主要表现形式，尤其是当用复杂的微分方程来描述线性系统时，可以用向量、矩阵来表示。例如，考察同时有初始状态和输入作用的线性时不变定常系统运动规律[14]，其数学表达式可以写成一阶微分方程的形式：

因此，在讲授矩阵函数及其应用时，依据传统的教学设计方法[11-13]，先系统地传授知识内容，打好基础，然后提出移动小车的寻迹问题（类似于虫子爬行轨迹问题），通过研究的方式解析这个实际应用，让学生感受到矩阵不仅仅只有理论推导，而且能解决实际问题。具体设计步骤：教学主题（矩阵函数及其应用）→分析教学内容和学习者特征→设计教学策略（系统科学地传授知识，并板书相关内容）→列举虫子爬行轨迹问题，并完成求解→提出相似问题（如移动小车的寻迹）→学生交流并尝试完成任务→教师和学生一起总结并形成知识脉络→课下强化练习并布置相关应用实践。

3 矩阵在图像处理上的应用

图像是人类感知世界的一种方式，用计算机对图像进行分析处理的技术称为图像处理或数字图像处理。图像在数学上可以表示为数组或矩阵，所以数字图像处理本质上就是用计算机处理矩阵，比如运用计算机对矩阵进行求解特征值、特征向量以及矩阵奇异值分解等。下面以例子说明矩阵在MATLAB中如何创建、运算、求解特征值与特征向量，以及矩阵分解[16]。

试求矩阵A的特征值和特征向量。

解在MATLAB命令行窗口里创建矩阵A：＞＞A=[1 4 1 1;3 2 1-3;0 1 2 6;5 4 3-1]；

调用eig()，并输入eig(A)，可以直接得到特征值：-4.162 2，6.000 0，2.162 2，1.652 3×10-15；

若输入[v,d]=eig(A)可以得到特征向量矩阵和特征值矩阵：

用MATLAB中的奇异值分解函数svd()，进行图像压缩，再特征值重构，具体如下：用imread函数读入图2（a），用第1个特征值重构如图2（b），用前20个特征值重构如图2（c），用前80个特征值重构如图2（d），用前150个特征值重构如图2（e）。

图2 矩阵分解在图像处理中的应用示意图

因此，在讲授矩阵之奇异值分解时，依据“学教并重”的教学设计方法[11-13]，确定课堂知识点顺序，选择和设计教学方式，因生、因材施教，形成教学评价，及时反馈和调整教学内容和教学策略。具体设计步骤如下：教学主题（奇异值分解）→确定知识点和分析学习者特征→情境创设（多媒体展示图片，解释图像处理技术，并用软件操作如何实现，如上例所述）→自主学习难疑点讲授→结合学习材料进行知识迁移→协作下实践练习→补充知识内容并形成知识脉络→分享实践练习经验并总结课堂内容。

4 结束语

教学设计是根据教学大纲和施教对象来谋划的教学计划和方案，其设计模式种类繁多，每一节课的设计方法依据教学目标和对象的不同而不同。根据教学系统设计理论，本文从多智能体、线性系统、图像处理等工程技术领域的实例出发，根据建构主义环境下的教学设计方法、传统的教学设计方法和“学教并重”的教学设计方法，得到以工程应用为背景的矩阵理论教学设计过程。虽然不能对每一节矩阵理论的教学内容都给出其工程应用上的教学设计方案，但积极尝试了将工程应用穿插到课堂教学中，让枯燥无味的数学理论变成妙趣横生、回味无穷的数字电影，激发了学生的创新精神和实践能力。