基于阵列天线的改进步长抗干扰算法

严大双， 倪淑燕

(1.航天工程大学研究生院， 北京 101400； 2.航天工程大学电子与光学工程系， 北京 101400)

卫星导航系统具有全天候、全天时、精度高、全覆盖等特点，因此导航系统在军用及民用领域的作用都非常巨大。随着导航在日常生活中的普及，人民的生活质量得到了极大的提高[1]。自导航系统产生并运用以来，就因其精准的导航和定位服务得到了广泛使用，其不仅方便了人们的生活，而且促进了社会的发展。然而随着社会的不断发展，电磁环境的复杂度不断增加，再加上导航卫星的轨道一般都在20 000 km以上，到达地面的信号很弱，因此接收信号时极易因电磁干扰而性能下降。尤其在军事领域使用导航信号时，其应用的特殊性使得导航信号更容易被人为蓄意地干扰，严重影响导航信号的使用甚至导致信号中断，而且如果导航中断将会带来非常严重的后果[2-3]。

现如今，自适应阵列天线技术的运用越来越广泛[4]，在卫星导航方面，该技术对实现有用信号的精确接收、提高系统的抗干扰能力具有非常重要的意义。阵列天线技术通过接收的信号控制各个阵元权值，在保证对期望信号正确接收的同时，有效抑制干扰信号[5]，而其中的自适应抗干扰算法对最终的效果起着关键作用。

在自适应算法中，比较常见的有采样矩阵求逆(sample matrix inverse，SMI)算法、最小均方误差(least mean square，LMS)算法、递推最小二乘(recursive least square，RLS)算法、以及功率倒置(power inversion，PI)算法等。赵常亮[6]在进行抗干扰功能实现时，使用SMI算法，其运算速度快，可以较快地在干扰的方向上形成零陷；但该算法直接对矩阵求逆，运算量较大。苑文学[7]选择了LMS算法进行抗干扰技术研究，针对定步长LMS算法收敛速度与稳态误差之间的矛盾，提出了一种改进的变步长LMS算法，收敛速度和抗干扰性能得到了提高；LMS算法虽然运算量小，鲁棒性较强，但稳定性相对较差。董浩等[8]基于RLS算法，建立了不同天线模型的导向矢量，并对不同天线模型的抗干扰性能进行了仿真对比；RLS算法相对于LMS算法，收敛速度较快，但其运算量变大了。周博海[9]采用PI算法，在高动态环境下，提出了基于零陷展宽的PI算法，完成了抗干扰技术的实现；PI算法无需干扰信号与期望信号的先验信息，且计算复杂度低，易于实现。

针对以上情况，现运用阵列天线接收技术，采用均匀圆形阵列天线，对抗干扰技术进行研究。在实现时，采用最陡下降法进行权值的逼近。在对步长进行选择时，选取太大和选取太小都会对算法产生较大影响，为了解决该问题，现提出一种基于步长变化的功率倒置抗干扰算法，以增大输入信号的动态范围，提高算法的收敛速度和抗干扰性能。

1 阵列天线模型

对于抗干扰阵列天线而言，天线阵列的阵型可能会影响到抗干扰的效果和成败。为了保证算法对干扰抑制的准确性，各个阵元所接收信号要有高度的一致性，为此天线的阵列分布一般排布成对称的形式。使用较多的且对称的天线阵列主要有均匀直线阵，均匀平面阵和均匀圆阵[10]。而其中可以对360°的方位进行波束形成的阵列有均匀直线阵、均匀圆阵，而均匀圆阵较平面阵的一大优势是圆阵是一个旋转对称的阵型，对称中心为阵列圆心。分析各种阵型的特点，本文选择均匀圆阵进行接下来的抗干扰研究。

γm为圆周上第m个阵元的方位角图1 均匀圆阵Fig.1 Uniform circular array

均匀圆阵(uniform circular array，UCA)的阵列结构图如图1所示，坐标系的原点O作为圆形阵列的圆心，阵列的阵元数目为M，其均匀地分布于半径为R的一个圆周上[11]。对M个阵元进行编号，从x轴上的阵元开始，编为0号，依次类推，逆时针编号。信号源的俯仰角θ定义为信号入射方向和z轴的夹角，方位角φ定义为信号入射方向投影在平面后，与x轴的夹角。

若以圆形阵列的圆心作为计算的参考点，则圆周上第m个阵元的方位角可表示为

(1)

因此，第m个阵元在坐标系中的空间坐标[12]为

(2)

进而第m个阵元与圆心参考点相比，其相位差φm(θ，φ)为

m=0,1,…,M-1

(3)

式(3)中，λ为接收信号的波长。

第m个阵元的时间延迟τm为

(4)

由式(1)～式(4)可得出该均匀圆阵对于信号在入射方向为(θ,φ)时的导向矢量aUCA(θ,φ)为

(5)

当入射信号数量为N，且来波方向分别为(θ1,φ1)，(θ2,φ2)，…，(θN,φN)时，均匀圆阵的阵列流形矩阵为

A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θN,φN)]

(6)

式(6)中：A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θN,φN)]为一个M×N的矩阵；ξi=2πRsinθi/λ；i=1,2,…,N。

2 功率倒置算法原理与实现

2.1 算法原理

功率倒置算法，通常也简称为PI算法，功率倒置算法的特点决定了其是具有较强约束的抗干扰算法[13]。功率倒置算法不再对所期望方向的增益进行约束，而是对接收到的各个方向信号均进行抑制，不仅只抑制干扰信号[14]。该算法的特点是接收到信号的功率越强，则在该方向的阵列方向图的零陷越深，对信号的抑制能力也就越强，因此在对接收的导航信号进行抗干扰时，抑制了干扰信号功率，也就提高了所接收信号的信干噪比。功率倒置算法固定了天线的第一路权系数，在权值更新时，使该权值保持为1，保证了输出信号有效性，防止出现输出功率为零的现象。功率倒置抗干扰算法的工作原理如图2所示。

xM(n)为第M个天线接收的信号； wM(n)为第M个阵元的权值；y(n)为输出信号图2 功率倒置算法原理图Fig.2 Schematic diagram of power inversion algorithm

当阵列的阵子数目为M时，天线接收的信号矢量为

x(n)=[x1(n),x2(n),…，xM(n)]T

(7)

设阵列天线的权矢量为

W=[w1,w2,…，wM]T

(8)

根据式(8)可得出天线的输出信号的表达式为

y(n)=WHx(n)

(9)

式(9)中：WH为权矢量的共轭转置；H为共轭转置。

功率倒置算法推导时采用了线性约束最小方差(linear confinement minimum variance，LCMV)准则，是在该准则的基础上建立的，令该准则中的约束条件C=s=[1,0,…,0]T，g=1，s为约束矩阵，g为对应的响应向量，则

WHs=1

(10)

进而得出w1=1，即天线阵列的第一路信号的权值系数不变，保持为1，其意义在于：当第一个权值固定不变时，如果接收机接受到了压制式大功率干扰信号，PI算法通过自适应地不断更新除第一阵元权值之外的各个权值，直到权向量中各个权值均收敛于稳定值，使得阵列方向图对干扰信号形成零陷，并使天线输出的总功率达到最小。因此得到功率倒置算法的权值表达式为

(11)

根据表达式构造性能函数：

L(W)=WHRXW+λ(WHs-1)

(12)

式(12)中：λ为拉格朗日常数；RX为入射信号的自相关矩阵。对性能函数取梯度，并令∇W[L(W)]=0，可求得最优权矢量为

(13)

式(13)中：sH为约束矩阵s的共轭转置。

在该权值条件下的输出功率P取最小值，最小功率用输出信号模|y|的平方再求期望E表示，最小功率为

(14)

功率倒置算法在抗干扰时是基于功率的大小进行自适应调整的，其不用在抗干扰前对信号的波达方向进行估计，直接对信号的功率作出响应，如果干扰信号越强，则会在该干扰方向产生越深的零陷，也就对干扰的抑制效果越好。所以功率倒置算法对大功率的干扰信号有更好的滤波效果。

2.2 算法实现

在算法实现时，由于求逆运算会大大增加运算量，特别在FPGA实现时将消耗不少资源，为达到简化运算的目的，对最优权值进行迭代逼近，运用最陡下降法解决了该问题。由构造的性能函数L(W)，对该函数求极值点，由此可得

W(n+1)=W(n)-μ∇W[L(W)]

(15)

式(15)中：μ为算法迭代时的步长，与算法的收敛速度紧密相关。将性能函数代入式(15)中得

W(n+1)=W(n)-μ[2RXW(n)+λs]

(16)

由于sTW(n+1)=1，同时sTW(n)=1，所以：

sTW(n+1)=sTW(n)-μ[2sTRXW(n)+

λsTs]

(17)

进而可得

(18)

所以可以得到表达式：

(19)

以相关矩阵的随机取样值RX≈X(k)X(k)H作为RX的近似值来计算，收敛速度不快，将其代入式(19)可得抗干扰算法的最优权值递推公式为

X(n)HW(n)

(20)

式(20)中：I为单位矩阵。μ的大小与算法的性能有较大关系，为保证算法的收敛性，避免出现权值的发散，式(20)中的参数μ需满足：

(21)

式(21)中：λmax为输入信号协方差矩阵的所有特征值中的最大值。

3 变步长功率倒置算法

通过之前的分析，稳定步长的范围可以体现一个算法的优越性，可收敛步长的范围越大，算法效果就越好。对输入信号的功率谱进行处理，通过调整使功率谱变得更加平坦，可以增大稳定步长范围，也就是即对输入信号进行白化处理。为消除信号的自相关性，最直接的方法就是归一化变步长PI算法，在步长式中加入去相关的量[15]。

(22)

利用接收到的信号来改善步长选取矛盾的问题，以Sigmoid函数原型为函数模型出发[17]，构造一种新的变步长算法，将变步长函数表达式设计为

(23)

比较改进前后递推表达式，可以看出，变步长的表达式中，通过除以信号采样点瞬时功率，消除了输入信号的自相关性以及输入权向量过大而产生的噪声，也增大了算法的动态输入范围。同时，改进之后，提高了权值收敛速度，因此比传统的 PI算法具有更佳的收敛性能。将变步长因子表达式代入功率倒置算法的递推公式，可得新的功率倒置算法递推公式为

(24)

4 实验仿真与分析

完成了算法的推导与改进之后，为验证算法性能，采用MATLAB进行实验仿真与分析。阵列天线根据之前的设计，阵元数目设定为4，均匀圆阵的阵元间距设定为λ/2。设干扰信号的入射方向为(θ,φ)，其中，θ为信号进入天线时的俯仰角，φ为信号进入天线时的方位角。

4.1 常量分析

下面对算法中的常量进行分析，仿真中，设定期望信号的到达方向为(25°,45°)，干扰信号由(30°,30°)的入射角进入，设定干扰信号的干噪比为45 dB，干扰信号类型采用宽带干扰信号。首先μβ值取定为6×10-2，然后对β分别取不同的值，使得β=2、β=4、β=8、β=16，则变步长μ(n)随着因子β的增加而逐渐减小。常量因子取不同值时改进算法的权值收敛情况如图3所示。由于功率倒置算法(PI)及其改进算法的原理决定了第一路权值W1恒为1，因此，为了在显示其他权值的收敛曲线时能够更清晰、准确，仿真时仅显示不断变化的三个权值W2、W3、W4，权值W1不再显示在图3中。

如图3所示，图3(a)中算法的收敛速度最快，经过了大约377次迭代之后收敛于稳定值，图3(b)中算法的收敛速度相对于图3(a)有所减慢，经过了大约686次迭代之后才收敛于一个稳定值。可见，随着常量β的增加，改进算法的收敛速度逐渐减慢。当β值增加到一定量的时候，算法的权值向量在有限迭代次数范围内无法收敛于一个比较稳定的值，如图3(c)和图3(d)所示，经过仿真的最大迭代次数1 000次迭代之后，权值没有完成收敛，收敛速度较慢。

在对改进算法的常量因子β进行取值时，在保证系统不出现失调和权值发散的条件下，尽可能取一个较小且合适的常量因子β，有助于提高算法的收敛速度，节省算法运算时间，提高最终阵列天线的抗干扰效率。

图3 改进算法中β不同取值时的权值收敛图Fig.3 Convergence graph of weights for different values of β in the improved algorithm

图4 改进算法中μβ不同取值时的权值收敛图Fig.4 Convergence graph of weights for different values of μβ in the improved algorithm

下面对取不同的μβ值时权值的收敛情况进行仿真分析，首先取定β=2，然后对μβ分别取不同的值，使得μβ=1×10-2，μβ=2×10-2，μβ=4×10-2，μβ=8×10-2。常量因子μβ取不同值时改进算法的权值收敛情况如图4所示。与常量因子β的仿真类似，为使仿真结果更加精确，由于第一路权值W1恒为1，因此，仿真时仅显示不断变化的三个权值W2、W3、W4，权值W1不再在图中显示出来。

由图4可以看出，图4(a)中的权值收敛速度最慢，在最大迭代次数1 000次迭代之后仍未收敛于一个稳定的值，图4(b)中的权值收敛曲线在大约970次迭代之后收敛，图4(c)中的权值曲线在大约500次迭代之后收敛于稳定值，图4(d)中的权值曲线在大约290次迭代之后就收敛于稳定值。由图4的仿真结果可以得出，随着常量的不断增大，改进算法的权值收敛速度逐渐增大。因此，在取值允许的范围内，取一个较大且合适的常量因子μβ时，有助于提高算法的收敛速度，节省运算时间，提高最终阵列天线的抗干扰效率。

4.2 算法性能比较

改进算法基于功率倒置算法，采用了变步长的思想，对改进步长算法与固定步长算法进行对比分析，仿真分析中，仍然采用4阵元的均匀圆阵，设定期望信号由(25°,45°)的入射角进入，干扰类型设为窄带干扰，两个干扰信号的入射方向分别为(30°,30°)和(50°，200°)，干噪比为统一值45 dB。仿真中，取权值的稳定精度达到10-5时认定为权值收敛。

两种算法的权值收敛情况如图5所示，因第一路权值W1恒为1，故仅显示W2、W3、W4三个权值。由图可以看出，两种算法都能在大约100次迭代以内完成了收敛，在接收信号相同条件下，变步长算法在确保了权值稳定精度的前提下，可以更快地收敛到稳定值附近。

图5 固定步长算法与变步长算法的权值收敛曲线Fig.5 Convergence curve of weights of fixed step size algorithm and variable step size algorithm

上节分析对比了固定步长算法与变步长算法的权值收敛情况，接下来对改进前后算法的干扰抑制效果进行对比。仿真时，在接收的信号中，期望信号由(25°,45°)的入射角进入，干扰数目与干扰信号强度同之前保持一致，干扰信号的形式为点频干扰，两个干扰信号的入射方向分别为(30°,30°)和(50°，200°)。两种算法的干扰抑制结果如图6所示，为了使零陷深度观察得更清楚，图6中显示为阵列方向图的侧视图。

图6 PI算法二维方向图Fig.6 Two-dimensional pattern of PI algorithm

对比图6可以看出，两图所形成的零陷深度有所不同，图6(b)改进的变步长算法比图6(a)固定步长算法形成的零陷深度更深，改进后较改进前深10～20 dB，也即本文所提算法可以得到更好的抗干扰效果。

4.3 干扰信号功率与权值收敛速度的关系

在验证干扰功率大小与权值收敛快慢的关系时，干扰数目设定为两个，干扰的方向分别为(30°,30°)和(50°，200°)，仿真中，通过设定不同的干扰功率，分析不同干噪比条件下各个阵元权值的收敛情况。仿真中，干扰信号采用宽带干扰信号，分别设置三组不同大小的干噪比，统计分析不同干噪比对各路权值收敛速度的影响，不同干噪比条件下的阵列方向图和收敛曲线分别如图7和图8所示。

图7 不同干噪比阵列方向图Fig.7 Array patterns for different interference-to-noise ratios

图8 不同干噪比权值收敛曲线Fig.8 Convergence curves of weights for different interference-to-noise ratios

由以上的仿真结果，绘制出不同干噪比与阵元权值收敛的关系曲线，结果如图9所示。

图9 干噪比与迭代次数的关系Fig.9 The relationship between the interference-to-noise ratio and the number of iterations

由图9可知，随着干扰信号干噪比的不断增大，权值收敛所需的最少迭代次数逐渐减少，也即算法收敛速度随着干噪比的增加逐渐变快。如果快拍数越来越多，说明权值收敛越来越慢，甚至当干扰功率低于某值时，收敛的快拍数达到了仿真的最大值，但权值仍未收敛，导致阵列天线抗干扰不成功。因此，在设计抗干扰实验时，为保证对一定范围干扰功率的抑制效果，权值收敛的快拍数不能太少，以保证权值能够充分收敛，达到较好的干扰抑制效果。

5 结论

针对空间中导航信号易被各种电磁环境影响的特点，对干扰抑制技术进行了研究，通过仿真得到以下结论。

(1)针对传统的抗干扰算法在求解时求逆的问题，对算法的权值进行迭代逼近，简化了运算量。

(2)由于固定步长选取时的局限性，以及算法对信号处理的动态范围，本文提出了新的变步长抗干扰算法，通过信号的瞬时功率对步长进行改善。由仿真实验可以得出，本文提出的变步长算法相比于固定步长算法，收敛速度得到了提高，零陷深度较改进前加深了10～20 dB。并且，算法可以对较大动态输入范围内的干扰进行有效抑制，对干扰具有较好的抑制效果。