有色噪声下的MUSIC抗干扰算法

2022-06-10祝兆文郎荣玲

导航定位学报 2022年3期

祝兆文，郎荣玲

（北京航空航天大学电子信息工程学院，北京 100191）

0 引言

全球卫星导航系统（global navigation satellite system, GNSS）凭借其全球性、全天候、高精度的导航定位能力，在军事领域发挥着重要的作用。但卫星导航信号本身所固有的脆弱性，使其易受有意或无意的干扰，因此卫星导航抗干扰技术成为了取得军事优势的重要手段。基于自适应天线阵的空域抗干扰技术，以其自适应能力强、硬件易实现等优点成为卫星导航抗干扰领域的研究重点。

空域抗干扰技术主要包括功率倒置方法（power inversion, PI）、多重信号分类方法（multiple signal classification, MUSIC）、最小方差无畸变（minimum variance distortionless response,MVDR）波束形成算法等。基于噪声子空间的MUSIC算法，以能识别空间中多个信号、超分辨率特性、不需要先验信息等优点，广泛应用到信号波达角（direction of arrival, DOA）的估计中。由于算法中干扰信号子空间和噪声子空间相互正交，且卫星导航信号淹没于噪声之下，这也为卫星导航抗干扰领域应用 MUSIC算法提供了理论基础。MUSIC算法模型要求噪声信号为零均值的高斯白噪声并且各通道间的噪声互不相关。在实际中，由于环境、滤波器的通带范围限制、各器件非理想的频率响应等因素的影响，噪声信号往往为有色噪声，这会严重影响MUSIC抗干扰算法的性能。

为了消除有色噪声对子空间分解带来的负面影响，国内外学者已经提出了一些解决方法。由于MUSIC算法利用接收信号的二阶统计特性，对于非高斯信号，二阶矩不能完全描述其统计特性。利用这一性质，文献[9-11]提出并分析了基于高阶累积量的类MUSIC方法。此种方法一般利用四阶累积量构成高阶矩，取代原始MUSIC算法中的协方差矩阵。通过仿真分析，类MUSIC方法在抑制有色噪声方面有着良好的性能，同时也能扩展阵列孔径、校正阵列误差。但类MUSIC算法有着庞大的计算量，且要求很大的快拍数和很高的信噪比，否则会导致噪声特征值的分布范围发散，目前在实际应用中其性能受限。由于有意的干扰信号往往会在时间维度上表现出周期平稳特性，而噪声的统计特性一般是非时变的。因此对于周期平稳的干扰信号，文献[12-13]提出了利用信号谱相关特性的循环MUSIC算法。此种方法利用循环相关矩阵替代原始MUSIC算法中的协方差矩阵，能够有效分辨干扰信号与白噪声、扩展阵列孔径。由于有色噪声与理想噪声的区别，具体表现在其协方差矩阵的形式，因此，对角加载方法也是一种有效且实用的补偿方法，其中加载量的选取是影响补偿效果的关键。文献[14]研究了对角加载方法对协方差矩阵估计误差的影响，从仿真实验的角度得出，对角加载技术使得协方差矩阵的特征值分布范围变小、使波束旁瓣幅度变低。文献[15]针对导向矢量幅相误差问题研究了对角加载技术，其通过计算输出信号的信干噪比，在理论上给出了最佳加载量的表达式。文献[16]分析了对角加载对阵列信干噪比的影响，通过大量的模拟计算，给出了与信源数和波束旁瓣功率相关的加载量经验公式。上述三篇文献中的对角加载技术针对强信号的采样矩阵求逆（sample matrix inversion, SMI）的波束形成方法，并不能直接适用于有用弱信号的卫星导航抗干扰应用场景和基于特征子空间的MUSIC方法，但它们为抗干扰技术中加载量大小的选取提供了切实可行的思路。

本文在卫星导航抗干扰的应用背景下，研究了有色噪声下的MUSIC抗干扰算法。首先从理论和仿真实验的角度，分析了有色噪声对MUSIC抗干扰算法的影响。在此基础上，使用对角加载方法改善有色噪声条件下的MUSIC抗干扰性能，并分析了对角加载方法对MUSIC抗干扰算法的影响。最后给出了最优加载量的选取原则。

1 有色噪声对MUSIC抗干扰算法的影响

1.1 理论分析

假设阵列天线由个阵元组成，空间中有（<）个远场干扰信号入射至阵列。于是第（= 1 ,2,… ,）个阵元的接收信号()为

式中：为自然常数，j为虚数单位；Δφ为第（= 1 ,2,… ,）个干扰信号()到达第个阵元时的相位差；()为第个阵元接收到的噪声信号。由于卫星导航信号功率很弱，淹没于噪声之下，因此这里噪声序列()中包含了卫星导航信号()。

根据式（1），天线阵列接收信号可表示为

式中：阵列接收信号() = [(),() , … ,()]，干扰信号() = [() ,() , … ,()]，阵列接收噪声信号() = [(),() , … ,()]，干扰信号到达阵列时，相位差构成的导向矢量矩阵为

MUSIC抗干扰算法中，假设噪声()具有以下性质：

1）各通道噪声服从均值为0、方差为的高斯分布；

2）各通道噪声是白噪声，即噪声的功率谱密度恒定，其均值为常数且自相关矩阵在时间上不相关；

3）各通道噪声之间互不相关。

根据性质1）和性质2）可得

根据性质3）可得

根据式（4）和式（5）可知，阵列接收到的噪声信号的协方差矩阵为一个对角阵，即

式中，为单位矩阵。

计算阵列接收信号的协方差矩阵为

式中，=E[()()]为干扰信号的协方差矩阵。

对阵列接收信号的协方差矩阵进行特征分解，其特征值λ（= 1 ,2,…,）满足

设协方差矩阵特征值对应的特征向量为e（= 1 ,2,… ,）。因此前个大特征值对应的特征向量构成干扰子空间 s pan{,,…,e}，后−个小特征值对应的特征向量构成噪声子空间span{,,… ,}，且干扰子空间与噪声子空间互为正交补。取噪声子空间中任意向量e∈span{, e,… ,}，则有

由于矩阵P正定，因此有

式中，为零矩阵。

由式（10）可知：干扰信号的导向矢量与噪声子空间相互正交。由正交补空间的唯一性可知：干扰信号的导向矢量构成干扰子空间，即

MUSIC抗干扰算法取最优权值为

对接收信号进行加权输出为

由MUSIC抗干扰算法的原理可以看出，白噪声保证干扰信号的导向矢量构成干扰子空间。因此MUSIC算法利用干扰子空间与噪声子空间的正交性，取噪声子空间内的向量作为波束形成的权值，从而达到消除干扰的功能。

在有色噪声的情况下，噪声信号的协方差矩阵不再满足式（4）、式（5）两式，噪声协方差矩阵不再是对角阵，即

根据式（9）式，可得

由式（15）可知：有色噪声使干扰信号导向矢量张成的子空间不再与噪声子空间正交，更不再是干扰子空间。此时，MUSIC抗干扰算法失效。

1.2 实验分析

前面从理论上分析了有色噪声使MUSIC抗干扰算法失效的原因。下面通过仿真实验，直观地阐述有色噪声对MUSIC抗干扰性能的影响。

实验中采用四阵元均匀圆阵天线（即=4），其采样频率为= 6 2MHz 。由于卫星导航信号功率一般小于噪声功率 20 dB，因此这里暂不考虑导航信号；设单个（即=1）单频干扰信号的频率为= 4 6.52MHz，其仰角和方位角为 45°和120°，并令干噪比为50 dB。在上述两种噪声条件下的阵列接收信号协方差矩阵的特征值分布如表1所示。

表1 不同噪声条件下的特征值分布

MUSIC算法利用特征值的相对大小判断干扰源的个数，大特征值被认为是属于干扰子空间的特征值，小特征值被认为是属于噪声子空间的特征值。在白噪声条件下，由于各通道噪声互不相关且功率相等，属于噪声子空间的小特征值的大小近似相等，算法将整个信号空间划分为干扰信号子空间和噪声信号子空间。在 MUSIC抗干扰算法中，可取权值矢量∈。图1、图2分别为 MUSIC波束方向图和抗干扰后的信号功率谱图。

图1 白噪声下的抗干扰波束方向

图2 白噪声下抗干扰输出信号功率谱

由图1可知：在理想噪声条件下，抗干扰波束在干扰来向方向上形成了较深的零陷，且在非干扰来向上保持了波束增益的基本恒定；由图2可知：抗干扰后的信号功率谱在通带内基本平坦，抗干扰前后的信号功率基本相等，干扰信号被抑制。

由图3和图4可知：抗干扰波束在干扰来向、仰角为 90°的方向上均形成了非常深的零陷；抗干扰算法输出信号的幅度非常小。此时MUSIC抗干扰算法不仅抑制了干扰信号，也同时抑制了导航信号。

图3 有色噪声下的抗干扰波束方向

图4 有色噪声下抗干扰输出信号功率谱

图5 改变权值后，有色噪声下的抗干扰波束方向

由图5和图6可知：MUSIC抗干扰算法的输出信号中，干扰被滤除且输出信号功率正常。虽然波束方向图在某个非干扰来向上也形成了较浅的零陷，但方向图在其他非干扰方向上保持了波束增益的基本恒定。

图6 改变权值后，有色噪声下的抗干扰输出信号功率谱

在卫星导航抗干扰的实际应用中，一般未知空间中的信号分布。因此MUISC算法需要根据接收信号协方差矩阵的特征值大小来判断干扰子空间与噪声子空间的维数，以选取合适的权值矢量。

综合以上实验结果和分析，可以得出结论：有色噪声并不改变干扰信号子空间以及干扰子空间与噪声子空间之间的正交性，它只是改变了噪声子空间的维数。

2 有色噪声下改进的MUSIC抗干扰算法

式中：为加载量，且+≈。此时，新的阵列接收信号协方差矩阵的特征值为

从理论的角度来讲，矩阵R+的特征向量仍为e，特征值变为λ+。从物理意义上来讲，对角加载技术是在空间各个来向上增加了若干个互相独立且功率很小的高斯白噪声。由于加载噪声的引入，合成后的等效噪声接近高斯白噪声、干扰信号导向矢量张成的子空间逼近干扰信号子空间，因而带来压缩噪声特征值的范围、改善波束方向图等好处，且加载量越大，对抗干扰性能的改善越明显。

抗干扰算法一方面是为了抑制干扰，同时也期望输出信噪比尽可能大。设天线阵列接收信号为（表达式中省略了时间变量）

式中：、和分别为干扰信号、卫星导航信号和有色噪声的矩阵；A和A分别为干扰信号、导航信号的方向矩阵。将有色噪声分解为高斯白噪声与非高斯白噪声之和，即=+。

于是加载后的协方差矩阵为

这相当于在接收信号中加入了若干互相独立的高斯白噪声N，对角加载后的阵列接收信号为

根据柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，有

从式（24）可以看出，对角加载技术一定会降低抗干扰系统的输出信干噪比，并且加载量越大，输出信干噪比越低。

综上所述，对角加载技术的关键就在于加载量的选取，加载量的选取应考虑在空间分解的准确性与最大化输出信干噪比之间取得平衡。

3 最优加载量的选取原则

定义加载噪声比为

仿真实验设置与第1.2节中相同，在有色噪声的条件下，分别取上述范围内的不同加载噪声比，设步长为1 dB，得到对属于噪声子空间的小特征值分布的影响，如图7所示。

图7 属于噪声子空间的特征值的分布范围随dLNR的变化曲线

对角加载可以有效改善小特征值的分布范围。由实验结果可知：随着的增大，噪声子空间的特征值的大小越统一；在大于10 dB，即加载噪声功率大于有色噪声功率的10倍时，特征值的分布范围约在1 dB以内；在大于15 dB，即加载噪声功率大于有色噪声功率的32倍时，特征值的分布范围约在0.5 dB以内；在大于20 dB，即加载噪声功率大于有色噪声功率的100倍时，小特征值的分布范围收敛至0。

定义属于干扰子空间的最小特征值和属于噪声子空间的最小特征值之比为

表述了MUSIC抗干扰算法区分噪声子空间与干扰信号子空间的能力。取不同的值，变化步长为 1 dB，计算属于干扰子空间和噪声子空间的最小特征值之比，如图8所示。

图8 η随dLNR的变化曲线

随着加载噪声比的增大，接收信号协方差矩阵的最大最小特征值之比逐渐减小，MUSIC抗干扰算法对于噪声子空间与干扰信号子空间的分辨能力逐渐减弱。由于实验中设置干噪比为50 dB，因此在图8中，当= 3 0dB 时，仍有约20 dB的区分能力。

最后，由于有色噪声会抑制抗干扰输出信号功率，所以考虑抗干扰输出信号功率随的变化图像，如图9所示。

图9 输出信号功率随dLNR的变化曲线

对角加载对抗干扰输出信号功率的改善作用明显，随着加载噪声比的增大，输出信号功率逐渐增大并收敛至抗干扰前的噪声功率 −3 0dB⋅W 。当大于 10 dB时，抗干扰输出信号功率大于− 7 0dB⋅W ；当大于15 dB时，输出信号功率大于−4 0dB⋅W ，此时抗干扰前后的噪声损失功率小于10 dB；当大于20 dB时，输出信号功率已经收敛。

设置2个实验场景：

1）场景1。存在单个单频干扰信号，其频率为f=46.52 M Hz ，其仰角和方位角为45°和120°；

2）场景2。存在2个单频干扰信号，2个干扰信号的频率分别为f=44.52 M Hz和f=48.52 M Hz，其仰角和方位角为45°和120°、60°和200°，其他条件与1.2节中相同。

在有色噪声条件下，分别在2个场景中取加载噪声比为10、15 dB，画出MUSIC抗干扰波束方向图，如图10、图11所示。

图10 场景1（单个干扰，不同dLNR时）的抗干扰波束方向

图11 场景2（多个干扰，不同dLNR时）的抗干扰波束方向

从图10或图11来看，=15 dB时的抗干扰波束方向图在非干扰来向上保持了波束增益的相对恒定，在仰角为 90°方向上没有明显的负增益，此时的抗干扰性能更优。对比图10与图11：从非干扰方向上的波束增益来看，在有色噪声条件下，对角加载后的MUSIC抗干扰算法对多个干扰的抑制效果好于对单个干扰的抑制效果。

根据以上分析和实验结果：加载噪声功率远远大于噪声功率，即加载噪声比大于10 dB时，MUSIC抗干扰性能已有了较大的改善；当加载噪声比大于15 dB时，MUSIC抗干扰波束方向图进一步优化，抗干扰效果更好。另一方面，为了最大化输出信噪比，应越小越好。因此可以选取加载量=10~15 dB，即可满足大部分应用需求。