建筑结构中的高次方程的数值解法

2022-06-09董浩孙成飞周震昊王雨龙丁应章

安徽建筑 2022年5期

董浩，孙成飞，周震昊，王雨龙，丁应章

（中建三局集团有限公司，湖北武汉 430000）

随着人们对美好生活的不断追求，出现了各色各异的建筑结构，我国现行《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）,经过多次改进其理论更为科学合理，更趋于国际化。但在应对形形色色的建筑结构时,为使结果更好地与实际相符,规范中的某些计算公式会较为麻烦。例如计算对称配筋矩形截面小偏心受压构件时,求解相对受压区高度ζ需解的三次方程，用于设计很不方便,故“规范”给出了求ζ的近似公式，但按此式计算在准确度上有待商榷。因此，可以使用“牛顿法[4]”对高次方程进行求解，由于需要应用到工程计算之中求解过程不能繁琐，且要求能够快速收敛，以及运用一种改进牛顿法的方法：“牛顿—秦九韶法”[1]。根据数值分析[4]牛顿法与牛顿—秦九韶法的求解，需要对初值有准确的估计，在这种情况下本文列举了另一种解法“黄金分割法”[7]，利用黄金分割法收敛快且不需要定义初值的优势，可以更快速地求解高次方程。

1 基于“规范”的近似计算

下面作者简述“规范”中采用简化公式的过程，以便分析其不足。对于对称配筋的小偏心受压柱，根据基本公式和对称配筋的特点，可以导出以下公式：

式（1）为ζ的三次方程，求解很麻烦，故“规范”基于以下理由做出了简化：

由式（2）知y也是ζ的三次函数。但因为在小偏心受压范围内,y与ζ的关系是趋近于线性关系。小偏心受压构件ζ常见范围为:ζb＜ζ＜ 1.6-ζb其中ζb为相对界限受压区高度，对于常用的Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ级钢筋,ζb值分别为0.614、0.544及0.528,则 ζ（1-0.5ζ）的值在 0.39～0.50之间，故“规范”取ζ（1-0.5ζ）=0.43,将其代入式(1)即得求ζ的近似公式：

则配筋公式：

可以总结两点。

①在计算矩形截面对称配筋小偏心受压构件时关键是需求解ζ。

②用上述规范所诉的近似算法进行设计时，产生误差的原因在于：在小偏心受压范围内,虽然ζ的三次式(2)趋近于直线，但对不同材料其直线回归方程是不一样。若不分情况，一律将 ζ(1-0.5ζ)的结果取为常数0.43，即把采用不同材料时的直线回归方程全都视为y=0.43(ζb-ζ)/(ζb-0.8)，显然与实际不完全相符，导致一定误差[3]。

2 各类数值解法

2.1 牛顿法

牛顿法也称牛顿—拉佛森法，是迭代法的一种，其收敛速度通常比一般的迭代法都快，下面简述一下牛顿法的原理[4]：

牛顿法是用泰勒公式展开的一种迭代方法，设方程f(x)==0的根x*的近似值为将函数f(x)在点xk展开：

舍去高阶项上式可近似表达：

整理上式可得到迭代式：

根据以上迭代式选取初值x然后反复迭代就可以得到满足精度的x值，利用此原理可以求解公式（1）的三次方程，根据上述迭代式可知求解f(x)的函数值与一阶导数值即可，因此，可以发现由公式（1）得到的三次方程组多项式需要求解平方乘法然后再加法，在计算步骤中虽然较解三次方程组简单一点，但计算量太大，不适合手算。基于此，李汝庚[1]提出了改进后的牛顿—秦九韶法。

2.2 牛顿—秦九韶法

上一节的“牛顿法”，虽然思路清晰，方法易懂，但有函数值及一阶导数的求解，计算量大了。早在我国古代就有秦九韶法来解决有关于多项式f(x)在任意x的泰勒展开式前面系数的问题。牛顿—秦九韶法[5]由我国古代的秦九韶法与西方近代的牛顿迭代法相结合，本方法适用于解决建筑结构中的高次方程。例如本文所述的矩形截面对称配筋小偏心受压构件的计算求解，相对受压区高度ζ的三次方程问题，若用牛顿—秦九韶法求解则颇简便。下面以一个三次多项式为例，说明该法的数学原理及算法步骤。

关于f(x)在任意点x0处的泰勒展开式：

按如下格式计算：

格式中第一行是式8的各项系数，然后以下各行数均按式10计算：

例如第二行的计算如下：（因为b0左边没有数字所以b0=a0

由此可得按式（9）表示的f(x)在x0处的泰勒展开式：

上述方法就是秦九韶法[7]，此法利用乘法和加法代替求导计算，大大简化了计算过程，对于求任意高次多项式在任意点x0处的展开式系数非常简便适用。而牛顿法的迭代公式（7）首先需求解一阶导数和函数值，再应用迭代公式反复迭代才能得到数值解，对比而言计算量过大。

2.3 黄金分割法

根据以上分析，无论是迭代法还是改进后的迭代法，对于方程的求解都依赖于初值的选取，对于对称配筋小偏心受压构件ζ的常遇范围为ζb＜ζ＜1.6-ζb，因此，ζ比较好的初始值ζb便可在此范围内拟定，可取ζb与(1.6-ζb)的平均值，近似为0.8左右[5]。但建筑结构中高次方程多样，并不都像对称配筋小偏心受压构件中的ζ可以选取出初值。例如分析高层建筑的固有振动时，设自振频率为ω，特征值λ=1/ω2，经推导可得高层建筑确定频率的高次方程为另外，当高次方程中存在多解时，上述迭代法会出现收敛速度慢的缺点。

黄金分割法[6]求高次方程的数值解，能克服上述两大缺点。黄金分割法的算法思想为对于连续函数F(x)，在闭区间［a，b］内有且仅有一个实数根x，令x1=a，x2=b。若F(x1)=0或F(x2)=0，则x=x1或x=x2即为所求实数根；否则求取新的区间利用①=a+(b-a)×0.618(设a＜b)求取第一个点；再利用②=(a+b)-①=(大+小)-中求取第二个点，比较F(①)与F(②)的大小，得到新的区间在新区间内重复以上过程，直到所求有根区间在精度范围内为止，即可得到实数根x[6]。

用黄金分割律求高次方程的数值解主要用到下面两个公式：

①=a+(b-a)×0.618(设a＜b)

②=(a+b)-①=(大+小)-中

由于黄金分割法需要提前知道根的区间，可以利用以下两种方式确定：a.利用连续函数根的存在性定理（二分法确定根所在的区间）2）根据建筑结构的理论大致确定根的区间如小偏心受压构件ζ,可以明确知道它的根在［0，1］区间。