高中数学课堂教学三部曲:设问、启发、激活

徐春宇

[摘  要] 问题如何产生，又该如何解决，解决后学生的思维会发生哪些变化，都是值得探讨的问题. 结合教学实践，提出数学教学应遵循三个步骤展开，即设问、启发、激活，以培养学生的数学思维能力，提高学生的数学核心素养.

[关键词] 设问;启发;激活;高中数学

数学的教学目标是为了培养学生的数学思维能力，提高学生的数学核心素养. 问题是数学的心脏，数学教学向来是围绕问题而实施的. 问题如何产生，又该如何解决，解决后学生的思维会发生哪些变化，都是值得探讨的问题. 笔者以为，数学教学应遵循三个步骤展开，即设问、启发、激活. 设问是基础，启发是过程，激活是目的. 文章结合高中数学教学实践加以说明，供同仁参考，不当之处，敬请斧正.

[⇩] 巧妙设问，激发兴趣

设问是什么？在语文学科中，它是一种十分常见的修辞手法，起到强调作用. 为了强调某部分内容，故意先提出问题，明知故问，自问自答. 正确运用设问，能引人注意，启发思考. 而数学教学中的设问与之不同. 数学教学中设问主要是为了引起学生的注意和兴趣，并引发学生思考. 因此，数学设问有较强的针对性. 如果一个数学设问不能引起学生的注意，更不能引起学生思考，那么这样的设问是无效的. 在数学课堂教学中，教师应该如何设问呢？

常言道：“不愤不启，不悱不发. ”在数学课堂教学中，教师设问既要紧扣教材，又要满足学生的好奇心，打动学生的心灵. 这就需要教师研究教材，研究学情，想学生所想，急学生所急[1].

比如，在指数函数与对数函数教学中，为了让学生了解指数效应是怎么一回事，教师通过视频呈现：手里有一张纸，经测量，它的厚度是0.1毫米，假设将其反复对折，它就变得越来越厚. 同时发现，如果把它对折15次，那么它的厚度可达到一个成年人身高的两倍;如果对折27次，那么它的高度可以与喜马拉雅山比拼;如果对折42次，那么我们可以顺着这副纸梯爬到月球上旅游了. 请想一想，如果要使这张纸的厚度达到地球与太阳之间的距离（约1.5亿公里），则需要反复对折多少次？问题一经抛出，立即引发了学生的探究兴致，学生做梦也没想到一张纸的对折，竟然会发生如此“奇迹”. 于是，学生纷纷动起手来，把纸对折几次后，开始计算纸的厚度. 学生计算后发现，如果对折42次，则纸的厚度是0.1×242（毫米）≈4.398×1042（米）= 43.98（万公里），这一厚度已经超越了地球与月球之间的距离（约38.4万公里）;如果对折17次、21次、32次，不管怎样，总可以用笨拙的办法慢慢计算. 可在计算的过程中又出现了一个新的问题：为了让纸的厚度达到1.5亿公里，需要对纸反复折叠多少次呢？学生想到了列方程：设需要对折n次，则0.1×2n=1.5×1014. 这一方程该如何求解？这是一个学生从未遇到过的方程，引发了学生强烈的认知冲突. 这时笔者不失时机地引导学生归纳该方程的特点：已知底数和幂求它的指数，这种运算叫对数. 于是，对数的概念成功地引入了.

不难发现，教学中，学生能体会数学与生活的内在联系，能使学生感受到数学知识无处不在，从而促使学生把学习数学当作一种乐趣，并深深懂得学习的重要性.

[⇩] 巧妙启发，激活思维

一时盛行的“满堂灌”教学模式已“寿终正寝”，启发式教学已经取而代之. 在日常教学中，教师经常会遇到启而不发的尴尬场面，究其原因，在于教师的启发形式过于宽泛，缺乏针对性，让学生无从想起. 好的启发，往往来自好的问题. 因此，一个数学问题的设置必须先考察其能否启发学生解决问题. 巧妙的设问，才能引发巧妙的启发，从而巧妙地解决问题[2].

比如，在高三一轮复习课堂中，笔者要求学生小试牛刀，解答一道高考真题：

设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则（  ）

A. 2x<3y<5z B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x D. 3y<2x<5z

本题主要考查學生利用对数运算与对数函数的单调性比较数值大小，作为复习课中的例题评析，不是只为了求得一个答案，而是启发解题思路，总结解题方法，通过一道题的解决，掌握一类题的解法. 针对这道题目，教师该如何启发学生呢？

笔者是这样启发学生的：能否将x，y，z用同一个字母表示出来. 于是学生得到了解法1：

令2x=3y=5z=t（t>0），则x=logt，y=logt，z=logt，2x=2logt=，3y=3logt=，5z=5logt=. 要比较2x与3y的大小，只需比较lg2与lg3的大小，即比较3lg2与2lg3的大小，即比较lg8与lg9的大小. 易知lg8<lg9，故2x>3y. 同样，要比较2x与5z的大小，只需比较lg2与lg5的大小，即比较5lg2与2lg5的大小，即比较lg32与lg25的大小. 易知lg25<lg32，故5z>2x. 综上，3y<2x<5z.

针对解法1的解答过程，笔者再次启发：比较大小的最基本的方法是什么？（当然是比较法）于是出现了解法2：

令2x=3y=5z=t（t>0），则x=logt，y=logt，z=logt，2x=2logt=，3y=3logt=，5z=5logt=，lg2-lg3=（3lg2-2lg3）=（lg8-lg9）<0，所以lg2<lg3，即2x>3y;lg5-lg2=（2lg5-5lg2）=（lg25-lg32）<0，所以lg5<lg2，即5z>2x. 综上，3y<2x<5z.

按理说，本题到此即可结束. 可选择题没有必要“小题大做”，于是笔者继续启发：对于含字母的选择题，当答案唯一时，哪种方法最经济有效？（当然是特殊法）于是，学生有了解法3（限于篇幅，这里过程省略）.

从本例可以看出，巧妙启发不是单一的，应该具有多向性，在不同的启发下得到不同的解决问题的方法，以促使学生产生“头脑风暴”，以培养学生数学思维的多样性与灵活性.

[⇩] 巧妙激活，有效迁移

经过设问与启发，学生的兴趣和思维得以激发，但要让学生进行知识的有效迁移，仍然需要教师来激活，以使学生能够提出新的问题，并按照已经解决问题的方法去解决新的问题，真正达到举一反三、连成一片的学习境界. 激活思维后，学生会类比、会归纳、会猜想、会反思，从而学会用科学研究的方法来学习数学、研究数学，实现知识的有效迁移，这也正是数学教师教学期待达到的最终目的.

比如，在圆锥曲线复习课上，笔者引导学生发现圆锥曲线中的某些重要结论，然后让学生乘胜追击，继续探究，从而收获一片. 笔者引导学生发现椭圆有如下4个性质：

（1）若P（x，y）在椭圆+=1（a>b>0）外，过P作椭圆的两条切线，切点为P，P，则切点弦PP所在的直線方程是+=1.

（2）AB是椭圆+=1（a>b>0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k·k=-.

（3）若P（x，y）在椭圆+=1（a>b>0）内，则被P所平分的中点弦所在的直线方程是+=+.

（4）若P（x，y）在椭圆+=1（a>b>0）内，则过P的弦的中点的轨迹方程是+=+.

得出以上4个性质后引导学生逐一进行证明，这似乎是一根导火索，通过类比，学生紧接着发现了双曲线相类似的4个性质：

（1）若P（x，y）在双曲线-=1（a>0，b>0）上，则过P的双曲线的切线方程是-=1.

（2）若P（x，y）在双曲线-=1（a>0，b>0）外，过P作双曲线的两条切线，切点为P，P，则切点弦PP所在的直线方程是-=1.

（3）若AB是双曲线-=1（a>0，b>0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k·k=.

（4）若P（x，y）在双曲线-=1（a>0，b>0）内，则被P所平分的中点弦所在的直线方程是-=-.

由此看出，巧妙激活能产生更大的课堂效益. 此时，学生接受的不再是教师的“鱼”，而是教师的“渔”. 学生有了自己的思想，会越飞越高，越飞越远！

数学课堂教学是个系统工程，设问、启发与激活三个步骤，一个也不可懈怠. 要让数学课堂教学生成数学素养，作为教师，必须先研究如何设问、如何启发与如何激活.

参考文献：

[1]  王战雄. “设问式”课堂教学方式的探究——以解三角形的教学片段为例[J]. 高中数理化，2020（14）：21.

[2]  马丽欣. 基于一题多解与一题多变，培养学生思维能力[J]. 中学数学教学参考，2020（24）：43-44.

[3]  黄庆锋. 学习迁移理论在高中数学教学中的应用研究[D]. 上海师范大学，2012.