基于映射常数的动态量值不确定度评定方法

卢达，白静芬，林繁涛，段永贤，孟静

(中国电力科学研究院有限公司，北京 100192)

0 引 言

动态量值是实际工况中量值最主要的存在形式。产生动态量值的原因有三种：(1)工程技术原理产生的动态，如脉宽调制[1]等；(2)应用需求产生的动态，如电机启动、停止[2]等；(3)干扰产生的动态，如热噪声、电磁干扰[3]等。但在试验室检测中，出于检测结果可复现、可溯源等原因，通常使用稳态信号进行检测，这导致试验室检测结果和现场检测结果之间不一致，是目前检测面临的难题之一。

国内外学者在动态检测方面已开展很多研究，主要有三种思路：(1)研究被测信号，对典型动态信号提出测试方法。文献[4]提出了针对阶梯波的片段采样方法，以丢弃边缘采样点的方式提升测量准确度，文献[5]研究了符合IEEE 1459标准的含有间谐波的电能测量方法；(2)设计专用的动态测试信号。文献[6]提出了针对电能表的电流正弦包络工频信号和电流梯形包络工频信号，文献[7]利用上述两种电流信号估计了当时标准电能表的动态测量不确定度，测试了安装式电能表之间的动态电能测量误差。文献[8]设计了用于测试动态性能的二进制通断键控电流信号模型，文献[9]评定了采用这种方法的测试系统的不确定度。文献[10]在文献[8]的基础上提出了基于伪随机序列函数的动态测试信号设计方法，并采用压缩感知理论缩短了测试时间；(3)研究动态不确定度评定方法。文献[11]中利用了表示为随时间变化的动态不确定度，文献[12]根据数学模型计算了测量系统随时间变化的不确定度。文献[13]将对设备动态性能的分析转化为对其频域性能的分析，提出应计算幅值和相角误差范围内的频域指标。

在上述研究的不确定度评定中，大部分只能评定一段时间内动态量值不确定度的平均值，难以获得某个时间点量值的不确定度[7,9]；有些可以评定某个时间点的不确定度，但需要依靠准确的被测系统和噪声的频域[12]或时域[13]数学模型，且无法评定测试过程中随机效应引入的不确定度。

在实际应用中，明确动态量值在各时间点的测量不确定度对系统分析和控制有重要作用。本文分析了动态量值不确定度评定的难点，考虑到当前很多测试设备基于采样原理实现测量，以采样值表示的动态量值为研究对象，提出一种基于映射常数的不确定度评定方法(以下简称MCA)，在录波仪等以采样值为基础进行测量的设备或系统中均可应用。试验结果验证了文中提出方法的有效性。

1 动态量值不确定度评定

1.1 稳态不确定度评定方法应用于动态量值时存在的问题

不确定度评定方法分为A类和B类[14]：

(1)

B类不确定度评定采用除数值统计以外的方法，根据相关信息判断不确定度分量的概率密度函数。B类不确定度的评价没有统一公式，因具体设备、环境和测量方法而异。值得注意的是，不确定度评定类别区别的是不确定度的评定方法，而不是不确定度本身。选用A类还是B类不确定度评定方法仅与具体评定的计算量、准确性、操作便捷性有关。

在评定动态量值不确定度时，对于B类评定，稳态量值的不确定度分量范围不能覆盖动态量值的不确定度分量范围，动态量值的B类不确定度评定还需要考虑被测量值在不同频段的误差分布等。已有不少文献研究动态量值B类不确定度评定[15]，不再赘述。对于A类评定，动态量值试时变化，对同一被测量的重复观测难以实现，不能满足A类评定时 “对同一被测量重复观测” 的前提条件。这个原因导致了传统的A类不确定度评定不适用于动态信号，是传统不确定度评定方法难以评定动态量值不确定度的症结点。

1.2 基于映射常数的不确定度评定方法

1.2.1 评定方法原理

动态量值不确定度评定的核心是找到可以重复观测的常数。

令动态信号连续n+1个采样点的测量值为x1、x2、…、xn、xn+1，若该信号对应的函数在(x1，xn+1)区间内n+1阶可导，则根据泰勒展开公式，可对这个函数进行n次泰勒展开，在连续的n+1个采样点，展开式可由式(2)表示：

(2)

式中t为初始采样时刻；T为采样间隔；a0、a1、…、an为各展开项前的系数，是一组与动态信号对应函数相关的常数。

为得到一个在相邻采样时刻可重复观测的间接被测量，令β1、β2、…、βn、βn+1满足式(3)：

(3)

式中A为任意常数。

若式(3)成立，则式(2)带入式(3)后，tn、…、t前的系数均应为0，可得式(4)：

(4)

式(4)中有n个方程、n+1个未知数，因此β1、…、βn均可用含有βn+1的代数式表达，由此求解式(4)可得：

(5)

将式(5)带入式(3)，整理可得：

(6)

因此，将任意采样点与其后续n个采样点按式(6)计算均可得到一个理论上是常数的间接被测量y，从而实现了动态量向常数的映射。文中将这个常数称为映射常数，由于映射中用到了n阶泰勒展开，定义这个映射常数的计算阶数为n。

若被观测信号在相邻m+n个采样点的动态特征稳定，则m个相邻的采样点满足相同的n阶泰勒展开，即按式(6)计算出的m个间接被测量y1、y2、…、ym理论上是相同的常数，由此可以实现对间接被测量的重复观测。采样点与间接被测量之间的映射关系如图1所示。

图1 动态量值与映射常数关系

利用式(1)计算y的A类不确定度：

(7)

假设x1、…、xn、xn+1是相互独立的，根据合成不确定度传播率[14]：

(8)

将式(6)代入式(8)，可得：

(9)

假设x1、x2、…、xn、xn+1不确定度相同，则由式(9)可得x的A类不确定度：

(10)

因此，对于一组动态量值，由式(6)、式(7)和式(10)即可求出其A类不确定度。

1.2.2 评定方法分析

(1)MCA推导中的假设条件

在MCA的推导中，使用到两个假设条件，一是假设临近采样点的不确定度相同，二是假设临近采样点相互独立。式(1)计算试验数据均值不确定度时也用到了上述假设，因此MCA与传统A类不确定度评定方法的假设条件相同。

在临近的采样点，测量设备和被测信号的物理状态相近，环境因素、外界干扰、人为因素和噪声等的影响方式类似，因此临近采样点不确定度相同的假设是合理的。

动态测量中的临近采样点和稳态测量中的临近测量事实上一定是相关的，但在不确定度评定过程中，始终试图利用B类不确定度评定降低这种相关性。在稳态量值的B类不确定度评定中，上级传递、年稳定性等不确定分量均有效降低了临近测量的相关性。在动态量值的B类不确定度评定中，除上述分量外，频域误差分布不确定度分量也降低了临近采样点的相关性。因此，在B类不确定度评定合理时，临近采样点相互独立的假设是合理的。

(2)映射常数计算阶数的影响

MCA对映射常数计算阶数要求是，被测动态信号对应的函数在采样区间内n+1阶可导。在允许的阶数范围内，计算阶数和信号的采样周期综合影响MCA的计算结果。当信号的采样周期相同时，计算阶数越高，泰勒展开式的余项越小，拟合越准确，反映的信号动态特征越细致。若计算阶数不足，泰勒展开式余项过大，将导致映射常数不能反映被测信号的动态特征，此时MCA引入的不确定度较大。以正弦信号为例，若被测动态信号为：

f(t)=sin(ωt)

(11)

式中ω为被测正弦信号的角频率。特别说明的是，这里评定的是正弦信号每个采样点的不确定度，而不是正弦信号有效值的不确定度，因此将正弦信号视为动态信号。用各采样点不确定度的平均值作为评定方法不确定度的评价指标，若被测信号有k个采样点，则该评价指标可表示为：

(12)

当k为20、式(7)中m为5时，E与映射常数计算阶数n的关系如表1所示，可见当采样率固定时，评定方法引入的不确定度随着计算阶数的增加而减小。

表1 测量正弦信号时计算阶数与采样周期对MCA引入不确定度的影响

可以采用缩短采样周期的方法降低计算阶数。当T足够小时，Tn≪Tn-1，式(2)可表示为：

(13)

由式(13)可知，x1、x2、…、xn、xn+1相对于T线性变化，即此时n阶泰勒展开与1阶泰勒展开的结果近似相同。式(12)表示的算例，当其它条件保持不变，采样率分别为100点/周期和500点/周期时，如表1所示，计算出的评价指标E有数量级的降低。

(3)动态量值不确定度对信号复现性的影响

在不确定度的物理意义之中，动态量值不确定度对动态信号复现性的影响值得注意。在相同的评定条件下，若动态量值不确定度一直较小，则采样时刻变化对动态信号的检测结果影响不大，即每次检测时根据采样值复现出的动态信号相似。一旦出现动态量值不确定度较大的采样点，则该点之后的动态信号检测结果对采样时刻的变化可能敏感，即每次检测时根据采样值复现出的动态信号会有差别。

这个现象可根据式(2)解释。由于x不确定度随t变化，当x不确定度较大时，根据式(8)，t系数的不确定度也较大，即复现出动态信号随t变化的范围较大。

以矩形信号为例，如图2所示，分别对矩形信号进行3次测量，每次测量的初始时刻不同。不确定度评定时每秒采样率为1 000、映射常数计算阶数为3、式(7)中m为5。在图2(c)中由于0.399 s附近出现了不确定度较大的采样点，0.399 s后初始采样时刻不同的3次测量值复现出的信号出现了较明显的差别，而在0.399 s之前，各次测量值复现出的信号几乎相同。

图2 矩形信号不确定度及信号复现

2 仿真和试验验证

2.1 仿真验证

在matlab中进行MCA验证，选取3种典型信号。正弦信号是电学检测中最常见的信号，正弦包络信号和OOK激励信号是主要的电能表动态性能测试信号。对3种信号均增加服从均值为0、标准差为1.0e-4正态分布的随机噪声rn，以模拟环境、人员等各种外界干扰对检测结果的影响。

(1)含有随机噪声的正弦信号

被测信号如式(14)所示：

f(t)=sin(2πt)+rn

(14)

采用MCA对式(14)的代表的信号进行动态量值不确定度评定，每周期采样率为100，映射常数计算阶数为3、式(7)中m为5。被测信号和各采样点不确定度如图3所示，评价指标E为1.2e-4。MCA评定出的不确定度是被测信号的A类不确定度即标准偏差，本次仿真评定出的信号平均不确定度与实际噪声信号的标准偏差相差0.2e-4，说明MCA可有效评定正弦信号的动态量值不确定度。

图3 含随机噪声正弦信号不确定度

计算阶数变化对评价指标E的影响如表2所示。当计算阶数大于等于3阶时，E已基本不随计算阶数的变化而变化，说明在这种情况下MCA引入的不确定度对动态量值不确定度评定的影响较小。

表2 计算阶数变化对含随机噪声正弦信号不确定度的影响

(2)含有随机噪声的正弦包络信号

被测信号为含有随机噪声的正弦包络信号[6]，如式(15)所示：

f(t)=(0.5+sin(ωt/10))sin(ωt)+rn

(15)

采用MCA对该信号进行动态量值不确定度评定，每周期采样率为100，映射常数计算阶数为3、式(7)中m为5。被测信号和各采样点不确定度如图4所示，评价指标E为1.0e-4，评定结果与实际标准偏差十分接近，说明本文提出的方法可以有效应用于正弦包络信号的不确定度评定。

图4 含随机噪声正弦包络信号不确定度

(3)含有随机噪声的OOK激励信号

被测信号为含有随机噪声的2周期开通、2周期关断OOK激励信号[8]，采用MCA对该信号进行动态量值不确定度评定，映射常数计算阶数为3、式(7)中m为5，如图5所示。若每周期采样率为100，评价指标E为2.2 e-4，远大于真实噪声的标偏。这是因为在0.5s时，OOK激励信号出现拐点，导致不确定度在拐点附近计算偏差较大，如图5(b)所示。在这种情况下，根据式(13)，应减小采样周期，使采样点更趋近低阶变化。当每周期采样率为10 000时，评价指标E为1.0 e-4，较好地估计了真实噪声偏差，此时各采样点的不确定度如图5(c)所示。

图5 含随机噪声OOK激励信号不确定度

2.2 试验验证

用MCA评定试验室中1台直流电能表测试台体输出动态信号的不确定度。输出动态信号为含有20%纹波的10 A直流电流，测试设备为录波仪DL850E，采样周期为2×10-5s。试验场景如图6所示。

图6 实验环境

对每个采样点进行评定，映射常数计算阶数为3、式(7)中m为5。被测信号和各采样点不确定度如图7所示，评价指标E为0.064 7。计算阶数变化对E的影响如表3所示。当计算阶数在1阶到5阶变化时，E的变化率约为3%，计算阶数变化为E的影响可以忽略不计。由此，MCA可以对实际设备进行有效的动态不确定度评定。

图7 MCA不确定度评定试验结果

表3 试验中计算阶数变化对不确定度评定的影响

3 结束语

文章提出了一种基于映射常数的动态量值不确定度评定方法，可以将动态量值转化为一个稳态量值计算标准偏差，解决了传统不确定度评定方法中无法评定动态量值A类不确定度的问题。通过选择不同的映射常数计算阶数和采样周期，可以实现对动态量值不同分辨力的不确定度评价，仿真和试验验证了所提出方法的有效性。该方法可用于评定录波仪等以采样值为基础的设备或系统的动态不确定度。