章起始课活动经验前置教学实践

摘  要：章起始课内容偏少，将知识或技能前置会破坏教材内容的完整性，此时可将后续学习所需的基本活动经验前置. 在“变量与函数”一课的学习中，可以整合教材所给的四则材料，并适当增加素材，让学生提前积累函数概念、表达方式和取值范围等后续学习所需的经验.

关键词：章起始课;活动经验;函数

章起始课是每章节的第1课时，其教材内容一般较少. 如何整合教学内容、丰富起始课的内涵成为教师教学的难点. 有些教師会将后续知识或技能前置学习，但这样就破坏了教材内容的完整性. 在笔者看来，显性的知识与技能容易学习，隐性的思想方法和活动经验则需要反复积累. 所以，教学内容较少的章起始课可以将后续学习所需的基本活动经验前置，作为起始课教学目标的承载点.

以人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）八年级下册“19.1.1 变量与函数”的教学为例，教材第1课时给出了四道实际问题，得出常量、变量两个概念，第2课时再学习函数的概念. 若将函数概念的外延和内涵中所涉及的基本活动经验适当前置，则后续对函数概念的理解将会更加容易.

一、教学设计

章起始课承载着承上启下的任务，“函数要研究什么？”这一问题是需要在第一节课中解答的，所以课堂的引入应该从解答这一问题开始.

环节1：为什么要研究函数？函数要研究什么？

引问1：从教师偏胖的体重入手询问学生. 控制体重与哪些因素有关？

【设计意图】通过教师的身材来引入，调节课堂气氛，拉近了师生关系. 让学生感受到生活中变化的量受多种因素的影响.

引问2：展示卫星云图. 台风因什么而引起？也许只是因为一只蝴蝶扇动了一下翅膀. 介绍蝴蝶效应.

【设计意图】通过台风的巨大破坏性与蝴蝶扇动翅膀的微小变化之间的巨大反差，激发学生的探究欲望.让学生经历如下的心理体验：万物皆变→台风的形成与多种因素有关→天气预报很难实现→需要找到“变化中的不变”以趋利避害. 从而体会刻画变量间关系的重要性，理解“为什么要研究函数”.

引问3：展示人类探索世界、描述变量关系的成果，如人口变化图、销售记账表、太阳系行星轨道图、爱因斯坦质能公式、勾股定理公式等. 从上面这些成果来看，变化可能与很多因素有关，我们应该从哪里开始研究呢？

师生讨论后指出：我们先从两个变量之间的特殊关系开始研究（即“函数要研究什么”），再从特殊过渡到一般情况.

【设计意图】让学生感受到变化的量可以被描述，人类已经取得了巨大成就，激发学生的荣誉感、使命感. 人类通过图象、图表、解析式等多种形式来描述几个变化量之间的关系. 渗透从特殊到一般的数学方法.

环节2：什么是常量、变量？

“19.1.1 变量与函数”一课中共设置了四道实际背景问题，其中代数、几何背景各两道，分别是汽车匀速行驶的行程问题、电影票的销售问题、圆的面积问题、矩形的周长问题. 四道问题所列的解析式中，一次函数与二次函数各一道，另两道为正比例函数形式. 四道问题都包含同样的问题：y的值随x的值的变化而变化吗？以下是对教材问题的改编.

问题1（对应教材问题2）：电影票的售价为10元 / 张. 设一场电影售出x张票，票房收入为y元，填写下面的表1.

（1）售价、售票数量、票房收入三个量中，哪些量在改变，哪些量不变？

（2）当售票数量x变大时，票房收入y怎样变化？你能否找出变化的量之间满足的关系式？

（3）小学时怎样称呼x与y之间满足的关系？

【设计意图】问题1难度不宜过大，故将题目改为在三个量中找常量和变量，与教材问题不同的是增加了列解析式，同时让学生回顾了小学正比例的相关知识，以达到承上启下的目的.

此外，改编的问题前置积累了以下经验：当售票数量变化时，票房收入也在对应变化，两个量中已知其中一个量的值时可求另一个量的值;常量与变量的关系既可以通过解析式呈现，也可以通过表格的形式来呈现.

问题2（对应教材问题3）：“投石击破水中天”是一句很有意境的诗句. 投石入水，圆形水波慢慢扩大，设这些圆的半径为r，圆的面积为S，怎样表示这些圆的面积？这个过程中的变量是_______，两个变量之间满足关系式_____________，常量是_______.

【设计意图】问题1是代数中常见应用题的变化关系，问题2则是图形的变化关系. 对比教材原题，此题未让学生计算不同半径时对应的圆面积. 因为仍有许多学生计算圆面积时将π取近似值，会耗费大量时间. 而且此题两个变量满足的关系式更容易列出，在已有问题1的经验积累的基础上，让学生直接判断常量、变量并不困难.

此题试图让学生前置积累以下经验：常量也可以是无理数;此题中S与r之间满足的不再是正比例关系，而是二次函数关系;半径与面积的关系也可以写成[r=Sπ];欣赏中国文化之美.

问题3（对应教材问题1）：（1）A，B两地相距120 km，张强开车从A地前往B地，则他到达B地所需的时间t受什么因素的影响？这两个变量之间满足什么关系式？

（2）张强开车从A地出发，若他的车速保持100 km / h匀速行驶，则他所行驶的路程s受什么因素的影响？这两个变量之间满足什么关系式？

（3）张强开车从A地出发，要求2 h内一定要到达B地，则他的车速v与什么因素有关？这两个变量之间满足什么关系式？（说明：路程s、时间t、速度v.）

【设计意图】此题试图让学生前置积累以下经验：常量与变量是相对而言的. 需要结合实际背景去分析，特殊情况下常量和变量可以转换. 三个小问题中，当路程一定时，时间与速度成反比例关系，速度（或时间）一定时，路程与时间（或速度）则成正比例关系. 正、反比例既是小学学过的知识，又是两种特殊的函数关系.C6084D8E-4726-4A24-A912-68DF98A9884C

问题4（对应教材问题4）：用10 m长的绳子围一个矩形，设矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，则这两个变量之间的关系可以表示为y = ___________，填写表2. 你有什么发现？

【设计意图】此题试图让学生前置积累以下经验：此题中的解析式化简后含有常数项，为一次函数形式，即两变量之间除了满足正、反比例关系外，还可以表征为包含加、减、乘、除、乘方、开方等不同运算的等式形式;两变量之间的关系也可以以表格的形式来呈现;此题中当x = 5或x = 6時，y为0或负值，不符合题意，故实际问题中需要考虑变量的取值范围.

环节3：用图象刻画两变量之间的关系.

为了让学生准确理解函数概念，也为了让学生感受到数形结合思想在本章学习的重要性，有必要补充一些实际情境的问题.

问题5：如图1，股票K线图反映的是不同日期某支股票的成交价格情况，其中的变量是什么？是否存在常量？

【设计意图】此题试图让学生前置积累以下经验：此题中时间与股票价格是变量，但常量不清晰，无法用准确的解析式描述两个变量之间的关系，但用图象却能清晰地反映两个变量之间的对应关系，即两个变量之间的关系并不一定可以用解析式来描述. 此题中股票价格与日期之间不存在因果关系，只存在对应关系，即对每一个日期值，都有一个成交价格与之对应.

问题6：老师将自己上班时行车时间与行车速度之间的关系绘制成如图2所示的图形，大家帮忙还原一下老师上班过程中，速度v是怎样随着时间t的变化而变化的？

补充提问：当时间t变化时，速度v一直在变化吗？当t = 3，t = 4，t = 5时，v的值分别是多少？

【设计意图】此题属于比较明显的分段函数，若用解析式描述比较复杂，但用图象法却很容易表达，而且此题中出现了时间t变化时，速度v保持不变的情况.

故此题试图让学生前置积累以下经验：研究函数的问题，结合图象分析会更加直观. 数形结合是函数学习的法宝. 符合函数关系的两个变量中当一个量变化时，另一个量的值并不一定会改变，但当这个量变化时，另一个量一定有唯一确定的值与之对应.

环节4：小结.

你学到了哪些知识？你积累了哪些经验？

小结内容，略.

二、教学反思

1. 活动经验前置的前提是深入理解概念的内涵

常量、变量、函数三个概念中，函数概念属于学习的重点和难点，需要耗费更多的时间去理解和感悟. 现行人教版教材中，小学、初中、高中学段对函数概念的表述并不相同，这种不同的描述加大了学生理解的难度.

教材六年级下册“比例”一章是这样给出正（反）比例概念的：像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比例（乘积）一定，这两种量就叫做成正（反）比例的量. 这一概念倾向于两个变量间的“依赖”关系（以下统称“依赖说”）.

初中对函数的概念是这样描述的：一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 这一表述则更倾向于两个量之间的“对应”关系（以下统称“对应说”）.

高中则是从集合的角度去描述两个变量间的对应关系（以下统称“集合说”）.

故在学习常量与变量概念时，需要设置适当的实际背景材料对函数概念的转换加以辨析，厘清以下三个理解障碍.

一是不要将两个变量间的依赖关系理解成因果关系. 函数概念的“依赖说”是一个量随着另一个量的变化而变化，即“你变我也变”，其中隐含着依赖关系. 常被学生误认为“因你变我才变”，即理解为因果关系.“对应说”是对“依赖说”的发展，即只强调对于一个量的变化，另一个量有与之对应的值. 例如，学生的姓名与学号之间存在着对应关系，但学生姓名的改变并不依赖于学号的改变，两者没有因果关系.

二是并非每一段变化过程都可以同时用三种形式来表达. 教材中的四道例题都是既可列式、又可列表、还可画图的，但生活中有很多变化过程不方便列解析式. 例如，气温与时间之间的对应变化情况就只适合用“图”或“表”来表示.

三是并非一个量变化时，另一个量一定要改变. 生活中存在着一个量变化另一个量却保持不变的现象. 例如，常温常压下，水沸腾后，时间仍在变化，但水温却不再改变.

上述教学设计中问题5、问题6正是为了厘清以上理解障碍而设计的，将这些经验前置到第1课时更有利于后续对函数概念的理解.

2. 活动经验前置的基础是准确把握学生已有经验

对于函数这一章所涉及的内容，学生此前已经积累了以下五个方面的经验.

（1）小学曾经学习过的正（反）比例. 它们正是两个变量之间特殊的函数关系.

（2）初中曾经学习过列代数式、等式、不等式表示两个量之间的关系. 在“整式的加减”“一元一次方程”“一元一次不等式”“二元一次方程组”等章节中都有学习，还曾经学习过用字母表示数式或图形规律.

（3）函数解析式在形式上可看作二元一次方程，学生在最初列两个变量之间的关系式时，也多会写成ax + by = c这种二元一次方程的标准形式.

（4）“二元一次方程组”一章的数学活动1，曾将二元一次方程组的解用坐标的形式在平面直角坐标系中表示出来，但在作函数图象时学生很难将该经验与函数概念的学习结合起来.

（5）学生已经知道从统计图中可以获得很多信息，但很难将统计图象与函数图象之间建立联系.

根据学生已有的这些活动经验，可知学生单纯回答教材中的四个问题并不会感到困难，困难应该来自以下两个方面.

一是学生要从过去对式子的静态理解转化为动态理解，即此前列方程（组）、不等式（组）解决问题时，其中虽有未知数，但未知数最终都能求出具体的结果（或范围），而现在所列函数解析式中的字母却是动态变化的，两个字母相互关联，其中一个字母的取值确定，则另一个字母的取值也随之确定，其中一个字母的取值变化，另一个字母的取值也随之变化. 所以教材中的四道例题虽然模型不同，但都是先通过至少三次数的运算（确定而确定）后，再过渡到列式（变化而变化）表示，这是理解函数概念的难点，也是教材将“常量”“变量”两个概念单列为一节课的原因.C6084D8E-4726-4A24-A912-68DF98A9884C

二是几个变量之间的关系可以用“式”“图”“表”三种形式阐述，而且很多时候需要对同一关系用三种形式阐述. 这是数形结合思想的运用，学生此前虽有接触，但感悟并不深刻.

正因为学生对函数“数”和“形”的理解是割裂的，所以在前面设计中对教材内容做了改编，加入了用表格法、图象法表示两个数量之间的关系，还补充了问题5、问题6来加深用图象法表示函数关系的优势. 这些改变对学生形成“函数需从‘数‘形‘表多角度研究”的认识起到了良好的推动作用.

3. 活动经验前置的抓手是对教材内容的整合与改编

教材凝聚着编者的智慧，具有很强的指导性和权威性，是教师开展教学最好的工具. 在实际教学中，虽然教师经常根据自己对教材和学生的理解对教材有所改编，但决不能脱离教材，而应该是对教材的整合、改编或补充，这其中蕴含的就是教师“备教材”的能力.

前面的问题1 ～ 问题4虽然“脱离”教材，也仅学习了常量、变量两个概念，但经过改编和后续补充后，承载的经验比教材更多. 教学设计中前置积累了以下经验：① 描述两个变量的关系可以通过列解析式、图表（问题1、问题4）、图象（问题5、问题6）等多种方式，但并不是都可以同时用三种方式去描述（问题5）;② 满足函数关系的两个变量之间除了正、反比例关系（问题3）外，还可以表征为包含加、减、乘、除、乘方、开方等不同运算的等式形式（问题2、问题4）;③ 常量与变量是相对而言的，特殊情况下可以相互转化（问题3）;④ 在实际问题中，需要考虑变量的取值范围（问题4）;⑤ 研究两个变量之间的关系时，数形结合是函数学习的法宝（问题5、问题6）;⑥ 满足函数关系的两个量中，当一个量变化时，另一个量的数值虽然不一定会变化，但一定会有唯一确定的值与之对应（问题5、问题6）.

上述这些前置的经验，已经包含了《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对函数概念学习的所有（6个）要求，而且这些经验都是很自然地包含在各个问题之中，既未脱离教材编写结构，未超前学习知识和技能，又对后续函数概念的学习提供了有力保障. 这正是活动经验前置的优点.

数学来源于生活，又服务于生活. 教材通过选取合适的情境素材形成學习材料，教师要利用这些材料烹制出富含营养的“盛宴”，必然涉及对材料的再加工. 在“理解数学、理解教学、理解学生”的基础上，以现有素材为“骨”，适当前置适合学生理解的数学思想与经验，形成包含更多信息的“皮”，正是章起始课情境素材处理的方法之一.

参考文献：

[1]陈春涛. 章节起始课的起承转合：以函数的概念教学为例[J]. 教学月刊·教学参考（中学版），2018（5）：14-17.

[2]卜以楼，高敏.“三个理解”是数学教学的基石：再谈“函数”概念的教学[J]. 中学数学（初中版），2014（6）：70-73.

[3]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.C6084D8E-4726-4A24-A912-68DF98A9884C