以“析、思、解、悟、变”思维构建专题复习课

郑海山 唐海燕

摘  要：从“与圆有关的专题课”案例出发，从析题、思题、解题、悟题、变题这几个方面的研究入手，建构几何专题复习课的核心环节，有效地把教师对题的认识与学生对题的理解进行充分的预设和生成，切实提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，形成良好的解题习惯和解题策略，提高逻辑推理能力.

关键词：与圆有关;专题复习;解题能力

说题一般包含赏题、析题、解题、思题、变题五个方面. 把说题的要素融入复习设计与教学中，结合学生和课堂因素，在教学实践中逐步提炼出“析、思、解、悟、变”环节建构几何专题复习课，获得较好的效果. 本文以“与圆有关的专题课”为例，分享观点.

一、解读与圆有关的专题课和“析、思、解、悟、变”

案例源自浙江省温州市中考试卷——与圆有关的试题，其教学目标是会运用圆、三角形、四边形的相关性质解决问题，并在问题解决的过程中提升逻辑推理能力. 上课学生来自农村学校，对该板块内容的掌握不是很理想，分析原因主要是只重视反复做题，大量练题，缺乏解题思路、解题方法的归纳总结，因此知识之间不成体系，凌乱繁杂，复习效率不理想，改变现状的方法是提升解题质量，进而提升学生的数学逻辑推理能力.

“析、思、解、悟、变”是指在试题处理中的析题、思题、解题、悟题、变题五个方面，通过“析、思、解、悟、变”的过程化教学，在知识、思想方法和策略的体系内建构几何复习内容，能有效提升解题质量，促使每一个层次的学生在解题习惯和逻辑推理能力方面有所提升. 析题——遇见最近：根据试题，分别分析题目的条件和结论，即综合法和分析法，由学生通过综合法和分析法得出条件最近的结论和结论最需要的条件，快速理解题意. 思题——需要等待：教师要根据试题的特点设定好思考的时间，才能给学生山重水复疑无路和柳暗花明又一村的感触. 解题——百花齐放：教师要有解题的多种方法，预设推理的困难点，多问你是如何想到的，所用知识是什么，再依靠学生的方法逐步释放出一题多解. 悟题——谋篇布局：引导学生归纳解题背后的知识、模型、思想方法和策略. 变题——巩固创新：进行试题的同类变式和拓展变式等，对知识进行巩固与深化，培养学生的逻辑推理能力.

二、例题分析

教师列举浙江省温州市2015—2019年中考中与圆有关的试题，重在图形和问题结论（如表）的对比，视觉冲击强烈.

【设计意图】学生能够比较清晰地感知与圆有关的中考试题的结构特点，增强学生学习的目的性，更快速地进入学习状态.

例1 （2016年浙江·温州卷第21题）如图1，在△ABC中，∠C = 90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

（1）求证：∠1 = ∠F.

（2）若sin B =[55]，EF =[25]，求CD的长.

例2 （2019年浙江·温州卷第22题）如图2，在△ABC中，∠BAC = 90°，点E在BC边上，且CA = CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连接DE并延长，交AB于点G，连接CD，CF.

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形.

（2）当BE = 4，CD =[38]AB时，求⊙O的直径长.

1. 析题——析出产生式迁移

教师与学生一起析题，即把相应的条件标注在图形中，做到以图达意.

例1处理：

问题1：以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，你会想到什么？

问题2：要证∠1 = ∠F，只需证什么？

教师及时写下师生互动的过程于黑板上（如图3）.

例2处理：采用例1的提问方式，把握“得出与条件最近的结论”和“得出结论成立最需要的条件”这两项学习任务之间的思维距离，与学生一起确定两者之间迁移存在的思维困难点在何处.

【设计意图】让全体学生了解题目分析的思维流程图，并掌握分析题目的基本方法，即运用综合法分析题目的条件，得出与条件最近的结论，用分析法分析题目的结论，得出结论成立最需要的条件，为思题环节提供思维着力点.

2. 思题——思出思维节点

根据所得的条件你認为角的转化最有可能用到什么知识？边的转化可能用到什么知识？促进学生产生联想，不断提高研判突破思维节点的方向性的能力，在不断试错中提升逻辑推理能力. 让学生自主限时6分钟完成此题，并考虑是否还有其他方法，教师适当辅导部分学生，时间到后评估学生的完成情况.

【设计意图】根据试题设定好的学生单独思考完成的时间，才能让不同学生充分感触“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的解题快乐，增加解题乐趣. 通过帮扶和评估手段可以更好地帮助思维困难的学生，并提高学生参与学习的主动性.

3. 解题——解出思维可视化和求异化

教师对试题的解法需要多样性的思考预设，预设推理的困难点，多问学生你是如何想到的，所用知识是什么. 教学中根据学生的讲解方式逐步演绎一题多解，明白想法来自何处，解法背后的知识是什么，提高解题的质量和思维的宽度. 在例1中，教师设计了如下问题串.

问题1：你是如何想到要连接DE的（如图4）？

问题2：你是如何发现可以把∠1和∠F进行转化的？运用什么知识进行转化？

生1：中点垂直易发现全等三角形（中垂线），同弧易得角转化.

问题3：你从哪个视角考虑求边长？所用的知识是什么？

生2：在一个三角形中，运用勾股定理建立方程，或者在两个三角形中运用相似建立方程.

问题4：还有其他方法吗？是如何发现的？运用了什么知识？具体解题过程是怎样的？

生3：如图5，连接BF，发现直角三角形中线性质，易得角的转化.793A9FFF-0255-4A68-8855-2FC75ED43FFA

在例2中，教师除了进行上述提问外，还可以展示第（1）小题的逆向思维图示：如图6，∠GEB = ∠FCB → ∠FCB = ∠FDE → ∠CFD = ∠FCB → ∠FCB = ∠ACF → △ACF ≌ △ECF（或[EF=AF]），达到角转化的思维路径可视化;第（2）小题正向思维图示：如图6，易证△BEF ∽ △BAC（或△BGE ∽ △CDE）→EF = ？，AC = ？→由BE = 4，CD =[38]AB如何表征到EF和AC→方程思想，达到求边的思维路径可视化. 就是运用“问题串 + 图示”把不可视的思维（思考方法和思考路径）呈现出来，使其过程清晰可见，可以提高信息加工及信息传递的效能.

【设计意图】一题多解是提高解题质量和训练学生思维的重要环节，教师充分预设解法情况，精心设计推理困难点的问题，善于通过学生的解法解说解法背后的思维路径和知识支撑. 通过一题多解的教学可以充分发挥试题的价值，单位时间内拓宽知识运用的广度，从而提高解法教学的效率和效益.

4. 悟题——悟出概括化知识系统

在解题中不断引导学生归纳解题背后的知识、模型、思想方法和策略. 例如，例1、例2的悟题视角有：为什么要连接DE或BF？此题证明角相等的方法有哪些？解直角三角形的方法有哪些？计算边长常用的方法和思想有哪些？隐去圆，弱化一些无关线段，能发现基本图形（如图7，即直角三角形 + 折叠求边长模型图）吗？把以上的知识形成解题的一般策略，引导学生形成解题思维路径（如图8），便于学生建构有迹可循的思考方向模型，再次锻炼学生的推理能力.

【设计意图】悟题在于归纳，是提升解题质量的重要环节，它与解题环节是相互交叉，不断归纳、补充的过程，能有效地解读知其所以然，起到做一题、会一类，多法归一的效果，多题同法的求同思维，为后续迁移和创新提供脚手架.

5. 变题——迁移与创新

对试题进行同类变式和拓展变式，可以对原题进行条件和结论的互换、条件弱化等变式，也可以另起新题，对所学知识进行巩固与深化，不断培养学生的中、高阶的推理能力、解题习惯和解题策略，帮助学生勾勒出知识与方法体系. 按照提升学生的推理能力进行编排，赏析如下.

变式1：如图9，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D，∠BAC = 2∠CBE，BE交AC于点E，交⊙O于点F，连接AF.

（1）求证：∠CBE = ∠CAF.

（2）过点E作EG⊥BC于点G，若∠C = 45°，CG = 1，则⊙O的半径是多少？

变式2：如图10，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B，C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F，延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D.

（1）求证：四边形CDEF是平行四边形.

（2）若BC = 3，tan∠DEF = 2，求BG的值.

【设计意图】通过题组，循环“析、思、解、悟、变”过程，为教师搭建以学为中心的复习框架（如图11），为学生提供可视化的思维路径，提升逻辑推理能力. 补充完善与圆相关的常见辅助线的添加方法，不断完善“等角转化”和求边长的方法，图形模型化等思维策略，并借此学会处理形如[2x+1=2+x+1]和[12x2+11=x+1x2+1]等方程，强化方程本质，培养化繁为简的数感，提升逻辑推理能力，并培养思维品质.

三、教学反思

“析、思、解、悟、变”构建几何复习课时要关注内容、课堂特点和学生实际，把提升各层次学生的逻辑推理能力作为目标，围绕“如何想到？”“用什么知识？”显现思维路径和策略，提炼基本图形为设计着眼点，实现教学目标.

1.“析”的前提是备题充分

“析”的前提是对授课内容进行选材，关注试题反映的背景、意图和评价等，准确把握选材内容是否符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），这是内容能否采用的关键所在. 例如，案例中采用的区域学业水平检测题，比较贴合《标准》. 把“得出与条件最近的结论”和“得出结论成立最需要的条件”这两项学习任务产生迁移，两项任务之间产生式的重叠越多，迁移量越大. 两项任务之间的迁移是随着共有的产生式的多少的变化而变化的，可以帮助教师研判学生可能存在的思维困难点在何处.

2.“思”的核心是引导学生尝试联想

研判出学生“思”的疑惑点后，需要做好揭露思维节点的问题设计.“得出与条件最近的结论”和“得出结论成立最需要的条件”之间有什么关联？根据所得的条件你认为角的转化最有可能用到什么知识？边的转化可能用到什么知识？促进学生产生联想，不断提高研判、突破思维节点的方向性的能力，在不断试错中提升逻辑推理能力.

3.“解”的要素是动态交互和呈现方式

解的过程需要师生互动. 你是如何想到的？所用的知识是什么？还有哪些方法？哪位学生解的方法最好？等等. 学生对题的认识能让我们重新评估学生思维的障碍点，及时追问和补充. 没有互动，思想就不会传递，思维就不会产生火花，乃至共鸣. 此外，还要注意解题过程中的思维图示展示（例题中的角转化和边转化），把不可视的思考方法和思考路径呈现出来，可以提高信息加工及信息传递的效能. 提高教学效能的关键不在于“知识重复的次数”，而在于挖掘与呈现知识背后的思维规律，并训练学生，使他们掌握它. 例题中的一题多法是发散思维的体现，只有这样，学生逻辑思维能力才会在学习过程中得到有效发展.

4.“悟”的落点在于概括

贾德的概括化理论认为：共同要素并不能自动导致迁移，经验的概括才是重要的. 由于提高解题教学的效率在于解题的质量而非解题的数量，教学中特别要研究由题目信息与不同数学知识结合形成的多个解题方向，学会选择解题途径，深度思考. 因此，引导学生对试题背后的知识与技能、思想与方法、规律与模型、策略与习惯等逐一概括，体现多法归一、多题同法的求同思维，为后续迁移和创新提供脚手架，从而促使逻辑推理能力有效提高.

5.“变”的实质是迁移与创新

“变”题含义是丰富的，有条件和结论互换变式，适用于新授例题学习和规律的运用，也有同类迁移变式和创新变式提升. 在试题符合《标准》要求的情況下，教师要对其进行秩序的组合，以满足学生解题策略、解题习惯及解题模型的目标达成，促进有意义的变式题组. 一组好的变式题组能让课堂层次更加丰富，还能让课后作业更加有成效，为提升逻辑推理能力提供有效的媒介.

教学实践表明，“析、思、解、悟、变”不仅适用于几何专题复习课，也同样适用于新授例题教学和代数的专题教学，在提升学生逻辑推理能力上效果显著.

参考文献：

[1]茅雅琳. 初中数学教师说题比赛的意义初探[J]. 中国数学教育（初中版），2014（10）：46-48.

[2]来林芳. 赏·析·解·思·变：说题实践与收获[J]. 中国数学教育（初中版），2016（12）：60-64.793A9FFF-0255-4A68-8855-2FC75ED43FFA