基于深度学习的几何习题课教学

闻国梁

摘  要：习题课是中考复习中的一个重要环节，是知识回顾、整理及简单应用后的研究主题的延续与拓展. 从中考的视角，看几何习题课教学，要力争达到“做一题、会一类、通一片”的效果. 文章以“三角形的内接正方形”为背景，以问题串形式驱动深度学习，在定性分析中获得新的研究对象和研究思路，再从定量角度深入探究如何确定内接正方形，比较多个正方形面积的大小，从中获得一般性的规律，体会“从定性到定量”“从特殊到一般”的研究路径. 通过习题课教学，帮助学生把握数学内容的本质，提高数学思维能力.

关键词：中考复习课;问题串;类比;深度学习

深度学习的概念最早由瑞典学者费尔伦斯·马顿和罗杰·萨廖在《学习的本质区别：结果和过程》中提出. 2005年，何玲、黎加厚首次在国内引入深度学习概念：深度学习是在理解的基础上，学习者能够批判地学习新思想和新事实，并将他们融入原有的认知结构中，能够在众多思想之间建立联系，并能够将已有知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的学习. 此后，深度学习在全国范围内引起广泛关注. 2016年，教育部基础教育课程教材发展中心深度学习教学改进项目组对深度学习的定义为：深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心地积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程. 在这个过程中，学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观，成为既具独立性、批判性、创造性，又有合作精神、基础扎实的优秀的学习者，成为未来社会实践的主人.

由此可见，深度学习既是教师的一种教学方式，又是学生的一种学习方式，深度学习有没有发生，必须通过学生才能得以体现. 在学习几何的过程中，要让学生不仅知道“有哪些性质”，而且知道这些性质“是怎么来的”，并进一步掌握“发现性质”的本领. 本文以“三角形的内接正方形”为背景设计习题课，按照“定性到定量”“特殊到一般”的研究路径，创设符合学生认知规律的问题串，学生在经历操作、思考、探索、归纳、证明、运用等有意义的学习过程后，体会知识的发生和发展过程;在问题解决的过程中进一步掌握发现问题、提出问题的本领，把握数学内容的本质，形成数学的思维方式，为今后处理其他问题积累相关经验. 现将教学设计和思考过程呈现如下.

一、课题分析

1. 内容解析

数学知识的产生来源于数学内部的发展需求和实际应用的需求. 从数学知识内部的发展来看，小学阶段，学生学习了“方中圆”和“圆中方”两个基本图形，知道正方形和圆的面积比. 初中阶段，学生学习了三角形的内心和外心，会用尺规作三角形的外接圆、内切圆，会求三角形的外接圆和内切圆半径. 对于三角形、正方形、圆三个基本图形两两组合，一共有3种组合6类图形，而学生已经学习了前面4类图形，从系统的角度提出研究“三角形的内接正方形”是自然的过程，从而建立知识间的整体联系. 同时，该问题也有实际应用背景，如“从一块三角形材料中裁出一个最大的正方形”，这类问题综合性强、难度大，在历年中考中以压轴题形式呈现，是培养学生数学思维、促进深度学习的好素材.

本课题安排在中考一轮复习之后，学生对各单元知识已经进行了回顾和整理，设计以“三角形的内接正方形”为背景的几何习题课. 通过回顾三角形的研究路径，体会几何学习的基本套路，从两个同类图形的结构关系入手，引出研究不同类图形（三角形、正方形、圆）的位置关系，再回顾已经学过的“圆中方”等熟悉图形，为新的研究对象（三角形的内接正方形）的获得及研究思路奠定基础. 通过下定义和分类，明确概念的内涵和外延. 在尺规作图中，引导学生从最简单的图形入手画出内接正方形，再类比推广到一般三角形. 对于一个三角形中存在多个内接正方形的情况，引导学生用作差法比较大小，从而得到一般性的结论.

本节课的教学重点：通过类比旧知，发现和提出新的研究对象（三角形的内接正方形），明确研究思路.

2. 教学目标

（1）通过类比，发现和提出新的研究对象（三角形的内接正方形），会下定义和分类.

（2）能用尺规画出有两条共边的内接正方形，再类比推广到只有一条共边的情况.

（3）会用作差法比较正方形面积的大小，理解最短边上的内接正方形面积最大.

3. 教学问题诊断分析

学生已经学习了三角形、正方形、圆的相关知识，已经学过了圆的内接正方形等图形的尺规作图，边长、面积的计算. 通过教材中习题的练习，对于三角形的内接正方形，已学会根据三角形的底和高，求内接正方形的边长，会求特殊三角形中内接正方形面积的最大值，这些旧知为新知的学习奠定了基础、指引了方向. 但是，学生不清楚确定内接正方形的方法，不清楚如何用尺规画出内接正方形，在日常学习过程中，也缺乏对这方面的主动思考.

本节课的教学难点：用尺规画出任意三角形的内接正方形.

二、教学过程

1. 激活旧知

问题1：几何是研究空间结构与性质的一门学科，初中阶段我们重点学习了哪些图形？

生1：我们已经学习了三角形、特殊四边形、圓这些基本平面图形.

追问1：对于三角形、正方形、圆这类基本图形，我们是按照什么学习路径展开的？

生2：图形的学习通常按照“定义—性质—判定—应用”的顺序展开学习，性质的学习路径又会经历“操作—猜想—证明—运用”的环节.

追问2：对于两个同类图形，我们已经学习了用全等、相似、位似等联系来刻画. 那么对于两个不同类图形组合在一起，又能得到哪些熟悉的图形？

生3：我们在小学阶段学习了圆中方、方中圆，九年级又学习了三角形的内切圆、三角形的外接圆.（教师展示图1～4.）A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

追问3：在图1中，我们把四个点都在圆上的正方形叫做圆的内接正方形. 对于两个不同类图形，我们通常会研究它们之间特殊的位置关系. 对于图1～4，我们还学过哪些知识？

生4：对于图1～2，我会求正方形和圆的面积比、边长和半径比.

生5：对于图3～4，我会用直尺和圆规作三角形的内切圆与外接圆，根据三角形求圆的半径.

小结：在学习过程中，我们往往按照“从定性到定量”“从特殊到一般”的研究路径，对于一个确定的图形，如圆的内接正方形、三角形的内切圆、三角形的外接圆，我们可以从如何确定图形（尺规作图）、定量计算线段长度和图形面积等方面进行研究.

【设计意图】通过复习旧知，激活已有知识，回顾三角形的研究路径，体会几何学习的基本套路，从两个同类图形的结构关系入手，引出研究不同类图形（三角形、正方形、圆）的位置关系，再回顾已经熟悉的图形（图1～4）中所学习的内容，从而为新的研究对象（三角形的内接正方形）的获得，以及研究思路奠定基础.

2. 定性分析，获得研究对象

问题2：对于三角形、正方形、圆两两组合，我们已经研究了圆的内接正方形、正方形的内切圆、三角形的内切圆、圆的内接三角形，类比图1～4，你还能得到哪些图形，试画出图形，并给图形下定义.

生6：类比图2，得到了图5，我把△BCE叫做正方形ABCD的内接三角形，定义：三个顶点都在正方形边上的三角形，叫做该正方形的内接三角形.

生7：类比图1，得到了图6，我把正方形DEFG叫做△ABC的内接正方形，定义：四个顶点都在三角形边上的正方形，叫做该三角形的内接正方形.

追问1：图5、图6中的内接三角形、内接正方形是唯一确定的吗？

生8：图5中的三角形不唯一，有无数个，图6中的正方形是唯一确定的.

追问2：我们今天就来研究三角形的内接正方形，它真的是“唯一”确定的吗？

生9：三角形有3条边，而正方形有4个顶点，则必有两个顶点在三角形同一边上，如图7、图8，还存在与BC共边的情况，所以一共有3个.

生10：我发现不是所有的三角形都存在3个内接正方形. 当△ABC为锐角三角形时有三个内接正方形;当△ABC为直角三角形时，存在2个内接正方形;当△ABC为钝角三角形时，只存在1个内接正方形，如图9～11所示.

追问3：将图6～11的六个内接正方形进行分类，并说出你的分类标准.

生11：按照正方形与三角形共边的条数进行分类，图9中有2条共边，另外5个正方形只有1条共边.

【设计意图】在三角形、正方形、圆两两组合的情况讨论中，引导学生通过类比图1～4，自主思考、画图，提出新的研究对象（图5、图6），通过类比“圆的内接正方形”的定义对新对象下定义，明确概念的内涵. 追问1、追问2从图形的确定性、唯一性展开，明确本节课的研究对象——三角形的内接正方形，引导学生从定义的内涵对内接正方形的个数进行分析，生10相比于生9，进行了更深层次的思考与实践. 在得到一系列新的图形后，追问3引导学生对新的图形进行分类，确定分类的標准，明确概念的外延. 同时，通过分类，将特殊的图9提炼出来，为后面尺规作图、定量计算环节按照“从特殊到一般”的方法的展开奠定基础. 通过问题串的形式层层递进，在教师的引导下，将学生的思维逐渐引向深入.

3. 定量研究，确定对象

问题3：选取任意一个三角形，用三角尺（作垂线）和圆规画出它的一个内接正方形.

生12：我选择作图9的正方形，它比较简单，因为它有两条边与直角三角形共边. 如图12，作∠C的平分线，与AB交于点E，过点E作DE⊥AC，EF⊥BC，即得正方形CDEF.

追问1：对于图6、图12，记△ABC边BC长度为a，边BC上的高为h，内接正方形边长为x，用a，h表示x.

生13：在图12中，可以用等积法，根据[S△ABC=S△ACE+]

[S△BCE]，可得[12ah=12ax+12hx]，即[x=aha+h]. 也可以用相似，根据△ADE ∽ △ACB，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

生14：在图6中，根据△ADG ∽ △ABC，可得[h-xh=xa]，即[x=aha+h].

追问2：通过计算，你有什么发现？

生15：我发现正方形的边长取决于与之共边的三角形边长和对应边上的高，与三角形的形状无关. 换言之，等底等高的三角形，等底边上的内接正方形边长相等.

追问3：那么你能否类比图12的方法，将另外5幅图的三角形转化成直角三角形，用尺规作出其内接正方形呢？

生16：如图13，过点C的直线m⊥BC，过点A的直线n⊥m，直线m，n交于点A′，连接A′B，作∠A′CB的平分线交A′B于点O，过点O作A′C的垂线交AB，AC于点D，G，再作DE⊥BC，GF⊥BC，于是可得正方形DEFG. 其他图形的作图方法同理可得，略.

【设计意图】尺规作图要思考如何确定正方形的顶点，而只要确定正方形的一个顶点，就能找到其余顶点. 在前面定性分析的基础上，学生能够自然地想到图9的尺规作图是最容易的，只要画出直角的平分线就能找到顶点. 设置3个问题串，通过算一算，引导学生发现内接正方形的边长取决于三角形的底和高，与三角形的形状无关. 既然与形状无关，那么能否将其他三角形转化成直角三角形来构图？学生也能够自然地想到通过作平行线，将其他三角形转化成等底等高的直角三角形，一旦直角三角形的内接正方形顶点找到了，那么一般三角形中的内接正方形也随之确定下来了. 通过问题串的形式，在问题解决的过程中，让学生经历“从特殊到一般”的研究过程，体会类比、转化的数学思想，在经历思维深层思考、解决了富有挑战性的问题后，让学生收获成功的喜悦，从而巧妙地突破了本节课的难点.A0835152-84DB-4BF2-B518-40FC70401A18

问题4：在同一个直角三角形中，有2个内接正方形，那么哪个正方形的面积更大呢？

生17：正方形面积大小比较可以转化为比较边长，如图9、图10，记BC = a，AB = c，△ABC的面积为S，正方形边长分别为x1，x2. 参考生13的方法，由[x=][aha+h]，得[x1=2Sa+2Sa]. 化简，得[x1=2aSa2+2S]，[x2=2cSc2+2S]. 采用作差法比较大小，得[x1-x2=2Sc-aac-2Sa2+2Sc2+2S]. 由[c-a>0，] [12ac>S]，得[x1-x2>0]，即[x1>x2].

追问：由上述计算过程，你有什么发现，可以类比推广到锐角三角形吗？

生18：在直角三角形中，直角边上的内接正方形面积比斜边上的内接正方形面积大. 推广到锐角三角形中，最短边上的内接正方形面积最大.

【设计意图】在问题3中，我们已经用底和高表示出正方形的边长，对于一个三角形中有多个内接正方形时，我们自然而然地想到，去比较它们面积的大小. 问题4的解决也运用了“从特殊到一般”的研究方法，先研究直角三角形中的2个正方形，通过作差、通分、因式分解，再对单个子项逐一讨论后，确定出直角边上的内接正方形面积较大. 最后，类比迁移到锐角三角形中的3种情况，将学生的思维引向深入地思考，得到一般性的结论——最短边上的内接正方形面积最大，也为后面的应用奠定基础.

4. 应用拓展

例  如图14，现有一批三角形木料，边长分别为42 dm，40 dm，26 dm，现要加工出面积最大的正方形（不能拼接）. 试在图中用三角尺和圆规画出△ABC所包含的面积最大的正方形，简要说明作图方法（不要求证明），并判断正方形的边长能否超过15.5 dm.

【设计意图】此题为应用题，考查三个知识点：（1）与最短边共边的内接正方形面积最大;（2）类比问题3，用尺规作出内接正方形;（3）运用相似三角形知识，计算正方形的边长，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学来源于生活，应用于生活.

5. 回顾总结

（1）你学会了有关三角形内接正方形的哪些知识？

（2）这些知识的发现经历了哪些环节？

（3）我们是如何想到去研究三角形的内接正方形的？

【设计意图】通过三个问题和板书引导学生回顾本节课的学习内容，建立知识之间的整体联系. 通过操作、猜想、证明、应用等环节感悟知识的发生和发展过程，体会“从定性到定量”“从特殊到一般”的研究路径，渗透类比、转化与化归等数学思想，提高学生发现问题和提出问题的能力.

三、教学反思

习题课是中考复习中的一个重要环节，是知识回顾、整理及简单应用后主题的延续与拓展，挑战性的学习主题是促进学生深度学习的很好的素材，可以帮助学生把握数学内容的本质，提高数学思维能力. 笔者认为习题课要达成深度学习的目标需要具备以下三个要素.

1. 选题源于教材，高于教材

当前，最常见的复习课是教师以“奇、特、巧、新”等为选题标准，通过“讲解题，不讲怎样解题”“讲解法，不讲如何想到解法”的方式给学生灌输技巧，最后总结为“解法—技巧”.“解法多的题” ≠ “好题”，那些与重要概念和性质相关、反映数学本质、体现基础知识联系性的题才是真正的“好题”. 好的解法应追求把问题简单地说清楚，并从中提炼基本结构、思想方法，这样才能真正做到一通百通. 本课题基于教材和中考情况，设置有挑战性的学习主题，以问题串的形式驱动课堂学习，将学生已有的知识推广到一般三角形中，通过尺规作图、求最值等问题，引发深度学习. 浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）八年级下册第19页作业题第5题，考查了等腰直角三角形中求最大的正方形的面积，教材九年级上册第149页作业题第5题，考查了一般三角形中，已知底和高，運用相似三角形知识求内接正方形的边长. 学生在前期学习中，已经对相关内容有了初步的了解. 同时，该结构也经常作为压轴题出现在中考试题中，如2019年浙江嘉兴卷、浙江舟山卷. 同时，在广东、山东、辽宁、天津的中考试题中均有出现，是中考中的常客，也是学生考试答题的难点. 基于上述分析，笔者确定了“三角形的内接正方形”的学习主题.

2. 课堂以生为本，学为中心

深度学习的内涵要求课堂教学中要以生为本，以学为中心. 教学设计要站在学生的角度去设计问题，在教师的指导下，既要让学生自然地获得研究对象和思路，又要让学生进行挑战性的学习任务，这样才能激发学生的学习欲望. 本课题按照“从定性到定量”“从特殊到一般”的研究路径，精心设计问题串，层层递进，激发学生的求知欲，并将学习的思维引向深处. 尺规作图是本节课的难点，笔者查阅资料，发现有图15～17三种作法，均利用了位似来进行构图，但对于学生来说，几乎难以想到. 笔者按照由易到难的原则，图9中的正方形是学生容易想到的，通过算一算发现等底等高的三角形，等底边上的内接正方形边长一样，通过类比图9，将其他图形转化成等底等高的直角三角形，从而巧妙地突破了本节课的难点. 在研究同一三角形中面积最大的正方形时，先研究直角三角形中的2个正方形，通过作差法比较大小，再类比迁移到锐角三角形中的3种情况，将学生的思维引向深处.

3. 一般观念引领几何学习

一般观念指与核心概念和理论相关的研究问题的一般“套路”. 例如，如何抽象一个数学对象;怎样研究一类数学对象. 几何教学中可遵循“基本事实—概念—性质—结构”的公理化体系，按照“从定性到定量”“从特殊到一般”的研究路径展开学习. 本课题通过问题1，激活学生的已有知识，包括小学阶段学习的圆中方、方中圆，九年级阶段学习的三角形内切圆和外接圆，从而自然引出本节课的研究对象. 从所学习的已有知识内容中，包括定性上对内接图形存在性的讨论，尺规作图，定量计算长度和面积，为新的研究对象明确了研究方向和研究思路. 在教师的精心组织下，学生经历了操作、猜想、证明、应用等环节，既自然地得到新的研究对象和研究思路，又进行了有挑战性的学习任务，在运用特殊、类比、转化等方法解决难题的过程中，经历了更深层次的思考，获得了成功的体验，感悟学习的一般方法. 通过习题课教学，学生在提高解题能力的同时，提高了发现问题和提出问题的能力，体会研究问题的一般路径，从中领悟数学思想方法，积累数学活动经验，达成深度学习.

参考文献：

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