基于“点线法”三维一体的单元复习整体设计

摘  要：知识回顾和解决问题是单元复习的两个基本功能，如何克服知识碎片化和课堂题海倾向，进而有效落实单元复习功能，这就需要教师从点（知识点）、线（关系结构）、法（思想方法）三个方面进行整体设计，在结构化学习的框架下，通过问题先导、知识梳理、变式教学、总结反思的教学环节，促成学生知识的回顾、关系的建构，以及思维的生长.

关键词：知识点;关系结构;思想方法

知识回顾和问题解决是复习课的两个基本功能. 新授课结束后的单元复习通常采用讲、练结合的形式，这种形式虽然兼顾了知识回顾和应用训练，但是“知识点 + 练习”的简单循环模式，割裂了知识的内在逻辑联系，抑制了知识本身的生长力，还经常为了追求知识点的全覆盖导致课堂上的题海现象. 那么，如何克服知识碎片化和课堂题海的倾向，进而有效落实单元复习的功能呢？为此，笔者提出从整体上把握好知识点回顾、知识结构生成、知识应用训练三者的关系，构建“点（知识点）、线（关系结构）、法（思想方法）”三位一体的单元复习整体设计.

一、“点线法”概念解析

“点”是指单元知识点，包括概念、公式、公理、定理、性质、法则等，知识点也有内部结构，如概念的内涵、外延及构成要素的关系.“线”，一方面，是指知识点之间的相互关系，如从属关系、交叉关系、矛盾关系、对立关系、逻辑关系等，这种关系通常以知识结构图的形式呈现;另一方面，包括单元的研究思路和研究方法，如从特殊到一般、从具体到抽象等.“法”是指数学思想、方法及解题策略. 在解决问题的过程中揭示和运用数学思想、方法及策略，这是优化认知结构的关键环节.

數学教学的根本任务就是要造就学生良好的数学认知结构，以满足后续学习的需要，最终提高学生的问题解决能力. 而单元复习恰是发展学生数学认知结构的重要载体. 如图1，通过问题驱动梳理单元知识点，建立知识的关联结构，方便在解决问题时快速提取和有效迁移，之后再通过结构迁移解决具体问题，进而揭示思想方法、提炼解题策略、强化单元知识点. 因此，单元复习是一个融“点线法”于一体的过程.

从学生结构化思维的培养来说，单元复习既要重视知识点的回顾，又要注重知识之间的结构生成，以及思想方法的揭示. 如果将知识结构看成“骨架”，那么附着在数学问题这一载体上的数学思想、方法、策略则是“肌肉”，学生在经历梳理、练习、归纳、反思的过程中，“骨架”与“肌肉”相互作用和配合，促进了“点线法”的深度融合和结构化学习. 下面以人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“22.1 二次函数的图象与性质”单元复习为例进行分析.

二、教学案例分析

1. 单元知识“点线法”三维分析

“22.1 二次函数的图象与性质”单元研究二次函数[y=ax2]（a ≠ 0）， [y=ax2+k]（a ≠ 0）， [y=ax-h2]（a ≠ 0），[y=ax-h2+k]（a ≠ 0）， [y=][ax2+bx+c]（a ≠ 0）的图象与性质及其相互关系. 从知识点来看，包括函数图象的开口方向、顶点、对称性、增减性、最值等相关内容，还包括图象与系数的关系、图象平移规律、待定系数法求解析式、配方法求最值等基础知识. 在二次函数与几何图形综合时，还需要与三角形、四边形、全等、相似等几何知识进行纵向联系. 从关系结构来看，上述各函数之间既有从属关系，又有并列关系，逻辑脉络清晰;研究的思路是由简单到复杂、由特殊到一般，呈现为递进的线性结构;二次项系数相同时，函数图象可通过平移进行相互转化. 事实上，通过变换和运算化繁为简也是研究其他函数的一般方法. 从思想方法来看，本单元蕴含了特殊到一般、化归、数形结合等数学思想，以及待定系数法、配方法、面积法、平移变换、化斜为直等方法，其中配方法和待定系数法是初中阶段的重要数学方法，通过配方可以实现从一般式[y=ax2+bx+c]（a ≠ 0）到顶点式[y=ax-h2+k]（a ≠ 0）的跨越，进而可以快速抓住图象的关键特征，也方便从平移的角度认识不同函数之间的内在联系，从数形结合的高度加深对函数特征的理解.

2. 认知基础分析

学生在八年级下册已经学习了一次函数相关知识，通过本单元的学习，学生加深了对研究函数一般思路“定义—图象—性质—应用”的理解，理解了二次函数的图象与性质，知道字母系数的数量关系与图象位置相对应，会用平移规律观察不同函数的联系，会用待定系数法求解析式，会用配方法求简单的二次函数最值，会数形结合解决简单的图象信息问题. 但是与一次函数相比，二次函数的参数由少到多，图象由直到曲，对称性从无到有，增减性由单一到分段，题型由简单到复杂，这些图象和性质上的复杂性导致学生在认识函数的结构特征和相互联系时还无法深入，在解决具体问题的方法、策略上还有待完善. 例如，灵活求解函数解析式、图象特征与系数关系的深度互译、特定区间内求函数最值、二次函数与几何图形的综合等.

3. 教学流程设计

基于以上分析，本节课需要立足基础知识，梳理知识结构，精选问题进行变式教学，增加对上述难点问题的开放性探究，及时提炼解决问题的方法和策略，积累分析、探究、归纳、反思等多方面的学习经验. 具体课堂教学流程如图2所示.

4. 教学过程设计

（1）问题先导，回顾知识点.

问题1：回顾二次函数的定义，结合图3回答表1中的问题.

【设计意图】从四个由简单到复杂的具体二次函数入手，回顾二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值这五个方面的性质，明确二次函数的研究重点，比较位置不同的二次函数在性质上的异同点，为接下来梳理二次函数平移规律做好准备.

（2）知识梳理，建立关系结构.

问题2：结合上述四个二次函数图象的位置关系，说说本单元的研究思路和顺序.D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

【设计意图】结合图3，比较问题1中四个二次函数图象的位置，再由特殊到一般，回顾图象的平移规律：上加下减，左加右减（如图4），引导学生从平移的角度理解不同二次函数之间的内在联系，渗透转化的数学思想. 在此基础上明确本单元的研究思路：由简单到复杂，由具体到抽象.

（3）变式教学，融合思想方法与策略.

问题3：如图5，观察二次函数[y=ax2+bx+c]（a ≠ 0）的图象，你能得到哪些信息？

问题4：如图6，若图象与[x]轴的一个交点为[A1，0]，[a，b，c]有何相等或不等关系？如何比较[a，c]的大小关系？

【设计意图】对于问题3，通过一个开放性的问题，使学生思考、讨论、总结，得到判断[a，b，c]符号特征的一般方法，感受字母系数与图象的关系. 对于问题4，通过增加具体的点的坐标，量化[a，b，c]之间的相等和不等关系，如[a+b+c=0]，[a-b+c<0]，[2a+b>0]等，提炼从对称轴入手寻找[a，b]关系的方法. 对于[a，c]的大小关系，需要引导学生联立相等和不等关系，即[2a+b>0，a+b+c=0，] 再通过消元建立参数[a，c]之间的联系，在此基础上揭示数形结合和消元的思想方法，感受数与形的密切联系.

问题5：如图7，增加抛物线的对称轴为直线[x=2].

（1）你又能得到哪些信息？

（2）若点[P2.5，y1]，[Q4，y2]，[M-1，y3]，[N1.5，y4]是函数图象上的四个点，则y1，y2，y3，y4的大小关系是         .

【设计意图】第（1）小题使学生体会二次函数的对称性，并据此描述二次函数的增减性，也可以得到与x轴的另一交点坐标，以及a，b，c的更多相等关系. 对于第（2）小题，由于解析式不确定，无法通过计算直接比较，学生只能通过描点观察或者运用函数的增减性和对称性解决问题，在解决问题的过程中提炼出一般方法，深入理解函数性质.

问题6：如图8，抛物线与y轴的交点坐标[C0，-3].

（1）求二次函数的解析式.

（2）当[0

【设计意图】第（1）小题回顾待定系数法求解析式的一般步骤“设、列、解、代”，引导学生从一般式[y=ax2+bx+c]（a ≠ 0）、顶点式[y=ax-h2+k]（a ≠ 0）、交点式[y=ax-x1x-x2]（a ≠ 0）這三个不同角度思考问题，在分析、比较、计算的过程中感受解法的多样化和最优化，积累灵活运用待定系数法的经验. 第（2）小题的目的是引导学生比较自变量在不同区间内对函数最值的影响，明晰处理此类问题的分类标准，加深对二次函数增减性和对称性的理解.

问题7：如图9，直线CB的解析式y1 =        ;若[y1>y]，则x的取值范围是         .

问题8：如图10，点N为线段BC上一动点（不与点B，C重合），过点N作x轴的垂线l，交抛物线于点M，求线段MN的最大值.

【设计意图】问题7将一次函数与二次函数相结合，通过两个图象的相对位置判断函数值的大小关系，从数和形两个角度构建对函数的多方位理解，发展学生的几何直观能力，也为后续探究线段和三角形面积最值问题提供素材. 对于问题8，学生交流讨论，根据解析式分别表示出点M，N的坐标，推导出线段长度的表达式[MN=-x2+3x]，再利用配方法求出线段长度的最值. 之后提炼解析法求线段长度最值的一般思路，体会二次函数在解决图形运动问题中的独特作用.

问题9：如图11，当[0

问题10：如图12，作[MP⊥BC]于点P，求线段MP的最大值.

【设计意图】对于问题9，教师引导学生运用割补法推导出三角形面积的表达式[S=12MN · OD+12MN · ][BD=12MN · OB=12MN · xB-xC=32MN]，将面积问题转化为线段MN的最大值问题进行求解，在此基础上提炼出求三角形面积的铅垂法[S=12MN · xB-xC]. 问题10的解题方法多样：一方面，可以采用“化斜为直”的策略，由[∠PMN=∠OCB=45°]，寻找MP和MN的数量关系（事实上△PMN ∽ △OBC），再转化为问题9求解;另一方面，可以利用问题9的结论，将线段MP看作三角形的高线，运用面积法求MP的最大值. 此环节运用了转化思想和面积法，突出了处理斜线段问题的一般策略.

（4）总结反思，提炼方法策略.

问题11：结合图13，说说本节课在解决问题的过程中运用的知识点、解题方法和策略.

【设计意图】结合框图，将常见题型进行整理，把零散的思想方法及策略，如特殊到一般、数形结合、转化思想、待定系数法、配方法、面积法、消元法、化斜为直等置于整体结构中，并总结复杂问题的转化思路“图形问题—线段和角—点的坐标”，在回顾的过程中加深认识，并建立知识关联，把知识点、相互关系及方法策略结成三维一体的数学知识结构.

5. 课后作业设计

（1）抛物线y = x2 - 4x + 2不经过（  ）.

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（2）二次函数y = -2x2 + 4x + 1的图象怎样平移得到y = -2x2的图象（  ）.

（A）向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度D1F06254-D527-440D-AAF7-DBE3A549AB70

（B）向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

（C）向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度

（D）向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度

（3）抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表2所示.

由表2可知，下列说法中正确的是__________.

① 抛物线与x轴的一个交点为（3，0）;

② 函数y = ax2 + bx + c的最大值为6;

③ 抛物线的对称轴是直线x =[12];

④ 在对称轴左侧，y随x增大而增大.

（4）如图14，二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）图象的对称轴为x =[12]，且经过点（2，0）. 下列说法：① abc < 0;② -2b + c = 0;③ 4a + 2b + c < 0;④ 若[-52，y1]，[52，y2]是抛物线上的两点，则y1 < y2;⑤[14]a +[12b]> m（am + b）[其中m≠12]. 其中说法正确的是_______.

（5）如图15，在平面直角坐标系中，二次函数y = x2 + bx + c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B的坐标为（6，0），点M为抛物线上的一个动点.

① 若该二次函数图象的对称轴为直线x = 4时：

a. 求二次函数的表达式;

b. 当点M位于x轴下方抛物线图象上时，过点M作x轴的垂线，交BC于点Q，求线段MQ的最大值.

② 过点M作BC的平行线，交抛物线于点N，设点M，N的横坐标为m，n. 在点M运动过程中，m + n的值是否会发生改变？若改变，说明理由;若不变，求出m + n的值.

【设计意图】本环节针对单元知识点和方法策略进行精准作业设计. 第（1）小题考查顶点坐标公式和对函数图象的感知能力，需要从“数”和“形”两个角度同时入手;第（2）小题考查函数图象的平移规律和配方法，体会不同函数之间的联系与区别;第（3）小题考查二次函数的增减性、对称性、最值及分析推理能力;第（4）小题是图象信息问题，考查图象位置与系数关系的互译以及数形结合能力;第（5）小题是函数综合题，考查待定系数法、以数解形和代数运算能力.

三、基于“点线法”的单元复习模式构建

1. 基于整体架构的教学流程设计

图16是“点线法”三维一体的课堂教学四步实施流程. 整体的设计思路是通过低起点的问题先导、系统化的构建联系、螺旋式的变式拓展、多维度的反思提炼，促成知识点、关系结构，以及思想、方法、策略的深度融合. 上述流程設计兼顾了知识回顾（问题先导、知识结构）和解决问题（变式教学、总结反思），其中的问题先导、变式教学均是以问题为主线，强调知识与技能的融合，前者指向单元知识点的横向整理，后者指向新、旧知识的纵向综合运用和思维的生长. 在由静及动的过程中，问题由简单到复杂、由一维到多维、由单一到综合，追求的“动”是一种思维的生长，其中的知识结构、总结反思则以知识与方法的回顾为目标，前者强调知识的相互联系，后者强调思想、方法和策略的提炼，在由表及里的过程中，由建构知识结构提升至揭示思想方法，由初步感知到加深认识，甚至是重建关系.

2. 基于变式教学的问题设计

变式教学是破解课堂题海的有效手段，通过对问题的图形变化、条件增减、问题拓展，引导学生在有序的探究活动中运用基础知识和基本技能解决问题，从而将知识点串成线，将知识的内在联系呈现出来. 通过以点带面，减轻了学生的课堂学习负担，增强了学生的探究意识和学习兴趣. 正如波利亚所说，通过一道有意义但不太复杂的题目，帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.

基于变式教学的问题设计需要关注两个方面：一方面，选题要注重基础性、综合性和典型性，要覆盖单元知识点，强调通性、通法;另一方面，“变式”不同于习题课中简单随机的炫技，而是要有着明确的目的性和联系性，“变”要与单元知识点、知识结构及数学思想方法和策略密切相关. 因此，教师课前需要研究单元知识结构，精选综合性问题，并进行适当分解. 从知识体剖解到知识面，再从知识面剖解到知识点，在此基础上进行重构，逆向生成与单元知识密切关联的问题串. 教学时由浅入深，逐渐增加或变换条件，聚焦核心问题，屏蔽无关条件信息的干扰，在解决问题的过程中完善认知结构，领悟思想方法.

3. 基于教、学、评一致的作业设计

课后作业是单元复习的必要环节，也是教学评价的重要手段. 为了保证教、学、评的一致性，作业设计要在细致分析单元知识的基础上，围绕教学目标有针对性地选择作业内容，既要兼顾知识点的全面覆盖和方法策略的有效应用，又要做到重点突出、难易适度，还要考虑到作业量的多少，尽可能地通过精选问题将学生从题海中解脱出来，努力将作业打造成数学课堂的有益补充和自然延伸，使学生通过作业深化对课堂知识的理解，内化单元知识结构，掌握解题方法与策略，以达到理解与运用融会贯通的境界.

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