利用定积分求平面曲线弧长的极坐标公式探讨

杨梅 王泽军 杨立敏 高洁

【摘要】用定积分求平面曲线的弧长是定积分在几何上的一个典型应用.在用微元法推导极坐标下平面图形面积公式过程中，用小扇形面积近似代替小曲边扇形面积，受此启发，本文先提出猜想：极坐标下弧长的计算公式是否可由s=∫βαr（θ）dθ给出？接着用例题及严格的证明指出极坐标下弧长公式一般只能是s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ，而不能为s=∫βαr（θ）dθ.但在特殊情形下，即当r′（θ）=0时，s=∫βαr（θ）dθ与s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ两公式都适用.

【关键词】微元法;极坐标;定积分;平面曲線弧长

【基金项目】中国石油大学（北京）克拉玛依校区教学改革项目（JG2020042）

一、基本概念

1.光滑曲线：若x′（t），y′（t）在[a，b]上连续，且[x′（t）]2+[y′（t）]2≠0，则由参数方程x=x（t），y=y（t）t∈[a，b]确定的曲线称为光滑曲线.

2.极坐标形式下的弧长定义：设平面曲线弧C的极坐标方程为r=r（θ），θ∈[α，β]，则由直角坐标与极坐标关系可得

x（θ）=r（θ）cos θ，y（θ）=r（θ）sin θ θ∈[α，β].

设P={θ0，θ1，…，θn}是[α，β]的一个划分，即

α=θ0<θ1<…<θn=β，

它们在曲线弧C上对应的点为

M0=（x（θ0），y（θ0）），

M1=（x（θ1），y（θ1）），…，

Mn=（x（θn），y（θn））.

从端点M0开始用线段依次连接分点M0，M1，…，Mn，得到曲线的一条内接折线，用|Mi-1Mi|（i=1，2，…，n）来表示折线Mi-1Mi的长度，则内接折线总长度为

Ln=∑ni=1Mi-1Mi

=∑ni=1[x（θi）-x（θi-1）]2+[y（θi）-y（θi-1）]2.

令λ=max{Δθi}（i=1，2，…，n），若极限

limλ→0∑ni=1Mi-1Mi=

limλ→0∑ni=1[x（θi）-x（θi-1）]2+[y（θi）-y（θi-1）]2

存在，那么称此极限为曲线弧C的弧长，并称此曲线弧C是可求长的.

3.极坐标形式下的弧长公式：设平面曲线弧由极坐标方程r=r（θ），θ∈[α，β]给出，r（θ）在[α，β]上具有连续导数，则弧长元素为

ds=r2（θ）+r′2（θ）dθ，

从而所求弧长为

s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ .（1-1）

4.利用微元法求分布在区间[a，b]上不均匀的量Q总量的步骤：

（1）在区间[a，b]中任取小区间[x，x+dx]，将[x，x+dx]上分布的量ΔQ用f（x）dx近似表达;

（2）检验f（x）dx是否满足f（x）∈C[a，b]且

ΔQ-f（x）dx=ο（dx），（dx→0）;

（3）若ΔQ-f（x）dx=ο（dx），（dx→0）成立，则

Q=∫baf（x）dx.

上述步骤中，最为关键的是第二步.对于实际应用中的大部分问题，我们都容易找到满足条件的f（x）dx，比如：在直角坐标形式下计算平面图形的面积时，可用小矩形的面积近似代替小曲边图形的面积;在极坐标形式下计算平面图形的面积时，可用小扇形的面积近似代替小曲边扇形的面积.但在与曲线弧长有关的计算中，如在极坐标形式下计算平面曲线的弧长时，则不可用小扇形的弧长近似代替小曲边扇形的弧长.

二、关于极坐标形式下弧长公式的一点疑问

设有极坐标方程r=r（θ），θ∈[α，β]所确定的一段光滑曲线弧（见图3）.现任取一小区间[θ，θ+dθ][α，β]，若有圆弧MM″近似MM′，则弧长元素ds=r（θ）dθ，于是得弧长公式

s=∫βαr（θ）dθ .（2-1）

这个公式形式更简单，但是否正确呢？接下来先举例说明.

这里尝试用两种弧长公式计算弧长，以下将公式（1-1）求出的弧长记为s1，将公式（2-1）求出的弧长记为s2.

例1 求曲线弧r（θ）=c0≤θ≤π2的长度（见图1）.其中c为正常数.

解 s1=∫π20r2（θ）+r′2（θ）dθ

=∫π20cdθ=c·π2，

s2=∫π20r（θ）dθ=∫π20cdθ=c·π2.

显然有s1=s2.

例2 求曲线弧r（θ）=csin θ+cos θ0≤θ≤π2的长度（见图2）.其中c为正常数.

解 s1=c·∫π20r2（θ）+r′2（θ）dθ

=2c·∫π201（sin θ+cos θ）2dθ

=2c·∫π201（1+tan θ）2d（tan θ） =2c.

s2=∫π20csin θ+cos θdθ，

令u=tan θ2，

则s2=c·∫1012u1+u2+1-u21+u2·21+u2du

=2c·∫1012-（u-1）2du=2ln（2+1）c，

显然s1

由上述两个例题可知，用公式（2-1）计算弧长有时会得出错误结论.下面给出严格的推导，说明公式（2-1）的局限性.

三、极坐标下弧长公式的证明

定理 设光滑曲线弧MM′（见图3）：r=r（θ），θ∈[α，β]，其中MM′为连接M，M′的弦，MM″是圆心角为Δθ，半径为r（α）的圆弧，则有：3486C4F9-FC4A-40A5-B87A-AA7203FFB045

limΔθ→0MM′MM″2=r′（θ）r（θ）2+1;

limΔθ→0MM′-MM″Δθ·（r′（θ）+r（θ））=r′2（θ）.

证明 limΔθ→0MM′MM″2

=limΔθ→0MM′MM′·MM′MM″2 =limΔθ→0MM′MM″2

=limΔθ→0r2（θ+Δθ）+r2（θ）-2r（θ+Δθ）·r（θ）·cos Δθ（r（θ）·Δθ）2

=[CBC1]limΔθ→0r（θ+Δθ）-r（θ）2+2r（θ+Δθ）·r（θ）·1-cos Δθr（θ）·Δθ2

=limΔθ→01r2（θ）·r（θ+Δθ）-r（θ）Δθ2+

limΔθ→02r（θ+Δθ）·12（Δθ）2r（θ）·（Δθ）2

=r′（θ）r（θ）2+1.

另外，limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ

=limΔθ→0MM′2-MM″2（Δθ）2

=limΔθ→0MM″2·MM′MM″2-1（Δθ）2

=limΔθ→0r（θ）·Δθ2·MM′MM″2-1（Δθ）2，

则limΔθ→0MM′-MM″Δθ·MM′+MM″Δθ

=limΔθ→0r2（θ）·MM′MM″2-1

=limΔθ→0r2（θ）·limΔθ→0MM′MM″2-1=r′2（θ）.

又limΔθ→0MM′+MM″Δθ

=limΔθ→0MM′Δθ+limΔθ→0MM″Δθ=r′（θ）+r（θ），

即

limΔθ→0MM′-MM″Δθ·（r′（θ）+r（θ））=r′2（θ）.

因此，（1）当r′（θ）=0时，limΔθ→0MM′-MM″Δθ=0;

（2）当r′（θ）≠0时，

limΔθ→0MM′-MM″Δθ=limΔθ→0r′2（θ）r′（θ）+r（θ）≠0.

结合以上证明过程可知，若计算一般曲线弧的弧长，只能采用公式（1-1），而不能用公式（2-1），因为公式（2-1）不满足微元法的使用条件.

但当曲线弧的极坐标方程是r（θ）=c（其中c为正常数）时，两公式都适用.

下面再从误差和的角度说明公式s=∫βαr（θ）dθ，s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ的适用性.

设P=θ0，θ1，…，θn是[α，β]的一个划分，即

α=θ0<θ1<…<θn=β，

任取小区间θi-1，θi（i=1，2，…，n），记λ=max{Δθi}（i=1，2，…，n）.

考虑小区间[θi-1，θi]上两种算法的微元误差Δri：

Δri=r2（θi）+r′2（θi）Δθi-r（θi）Δθi

=r′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）Δθi.

则区间[α，β]上的误差和Δr为：

Δr=limλ→0∑ni=1r′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）Δθi

=∫βαr′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）dθ.

注意：（1）當r′（θ）=0，即曲线弧为圆弧时，Δr=0;

（2）当r′（θ）≠0时，有

r′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）>0.

根据定积分的性质可知：

∫βαr′2（θi）r2（θi）+r′2（θi）+r（θi）dθ>0，

即误差和Δr>0.

从误差和的角度分析可知，公式（2-1）依然不能用于计算一般曲线弧的弧长.

最后，我们利用公式s=∫βαr2（θ）+r′2（θ）dθ求心脏线的全长.

例3 求心脏线r（θ）=2a（1+cos θ）的全长.其中a为正常数.

解 s=2∫π0r2（θ）+r′2（θ）dθ

=2∫π04a2（1+cos θ）2+4a2sin 2θdθ

=2·2a∫π02（1+cos θ）dθ

=8a∫π0cos θ2dθ

=16asin θ2π0=16a.

四、结束语

利用微元法求解问题的关键步骤是选取适当的微元表达式.验证微元是否符合要求的关键在于近似代替所产生的误差是不是自变量改变量的高阶无穷小.本文利用高阶无穷小的定义及误差和来分析微元是否满足条件，严格论证了两种计算弧长的公式的适用范围.

【参考文献】

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[5]张新建，朱健民.关于“高等数学”教材对定积分元素法处理的几点注记[J].大学数学，2008（2）：163-166.

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