2-扭自由素环上的左（θ-θ）-导子

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2111-5042-4418

摘  要：环论是代数学的重要组成部分，导子理论是算子代数的重要研究内容。通过环上的导子的性质探索不同环的结构一直是热门研究课题。随着环理论的不断发展，环上的导子也被不断丰富和扩展，并且相继出现了许多衍生导子，如广义导子、左导子、广义（θ-θ）-导子及左（θ-θ）-导子等。该文以左-导子的定义为切入点，采用代数学中的常用方法替换法讨论了2-扭自由素环的Lie理想上左（θ-θ）-导子的性质.得到如下结论：设是2-扭自由素环，是的中心，是的Lie理想，且，是上的左（θ-θ）-导子，则。

关键词：2-扭自由素环  Lie理想  导子  左（θ-θ）-导子

中图分类号： O153.3    文献标识码：A      文章编号：1672-3791（2022）04（b）-0000-00

Left - Derivations of 2-torsion Free Prime Ring

LU Chunxue

（Graduate School of Jilin Normal University，Changchun，Jilin Province，130000  China）

Abstract： Ring theory is an important part of algebra.Derivation theory is an important research content of operator algebra.It has always been a hot research topic to explore the structure of different rings through the properties of derivation on rings.With the continuous development of ring theory，the derivations on rings have been enriched and expanded，and many derived derivation have appeared successively，such as generalized derivation，left derivation， generalized -derivation，left -derivation and so on.This paper takes the definition of left -derivation  as the breakthrough point， the properties of the left -derivation on  Lie ideal of 2- torsion free prime ring are discussed by the substitution method.The conclusion is as follows：Let  be a torsion free prime ring with center ， a Lie Ideal of  and  ，where  is the left -derivation on .Then.

Key Words： torsion free prime ring; Lie ideals; Derivation; Left -derivation

1957年Posner[1] 提出了著名的Posner定理，為后续环上导子的研究奠定了坚实的基础。1989年，Bell和Kappe[2]证明了：设为素环，为上的右理想，为上的导子。若在上作为同态或者反同态，则。1999年，M.Ashraf， N.Rehman和M.A.Quadri[3]证得若为素环，为上的右理想，为上的-导子。若在上作为同态或者反同态，则。2003年，A.Asma，N.Rehman和A.Shakir[4]将结论推广到了2-扭自由素环的Lie理想上的（θ-θ）-导子，研究了作为同态或者反同态的相关结论。2004年，Rehman[5]进一步研究了素环的非零理想上的广义导子的性质。近年来环上导子之间的关系[6]及导子的种类[7]不断扩展。2019年，钟佩伶证明了有关素环上左-导子[8]以及广义-导子[9]的性质。2021年，许莹提出了有关2-扭自由素环的非零Lie理想上的广义（θ-θ）-导子的性质[10]。受到李思晔[11]的启发，该文中将研究2-扭自由素环的Lie理想上左（θ-θ）-导子的性质。

1 预备知识

2 主要结果

3 结语

该文讨论了两方面内容，包括素环上的左-导子的性质以及2-扭自由素环的Lie理想上的左（θ-θ）-导子的性质。得到结论如下：若素环上的左-导子作为同态或反同态，则为0。由此结论受到启发，通过在2-扭自由素环上弱化了同态或反同态的条件进一步得到结论如下：2-扭自由素环的不在中心的Lie理想上左（θ-θ）-导子为0。以上两个结论对进一步研究左（θ-θ）-导子有一定帮助。

参考文献

[1] POSNER E C. Derivations in Prime Rings[J].Proceedings of the American Mathematical Society，1957，8（6）：1093-1100.

[2] Bell H E，Kappe L C.Rings in which derivations satisfy certain algebraic conditions [J].Acta Mathematica Hungarica，1989，53（3-4）：339-346.

[3] Ashraf M，Rehman N，Quadri M A.On -derivations in Certain Classes of Rings[J].RadMat，1999，9（2）：187-192.

[4] Ali S，Rehman N，Shakir A.On Lie Ideas with Devations as Homomorphisms and Anti-homom-orphisms[J].Acta Math.Hungar，2003，101（1）：79-82.

[5] Rehman M.On Generalized Derivation as Homomorphisms and Anti -homomorphisms[J].Glasnic Mat，2004，39（59）：27-30.

[6] 冯伟.环上广义Jordan*-导子的结构研究[D].长春：长春理工大学，2021.

[7] 常洪亮.李代数的一种新的广义导子[D].长春：东北师范大学，2020.

[8] 钟佩伶.素环上的左-導子[J].洛阳师范学院学报，2019，38（2）：9-10.

[9] 钟佩伶.素环上的广义-导子[J].商丘师范学院学报，2019，35（3）：15-17.

[10] 许莹.素环上的广义-导子[J].洛阳师范学院学报，2021，40（5）：5-6.

[11] 李思晔，杜弈秋.2-扭自由*素环的一个交换性条件[J].宁夏师范学院学报，2020，41（1）：9-12.

[12] Smiley M F.Remarks on the commutativity of rings[J].Proceedings of the American Mathematical Society，1959，10（3）：466-470.

[13] Bergen J，Herstein I N，Kerr J W.Lie ideals and derivations of prime rings[J].Journal of Algebra， 1981，71（1）：259-267.

作者简介：路春雪（1998—），女，硕士在读，研究方向为环论。