引入质心概念帮助学生准确理解高中力学中的质点

吴克军

在高中物理教学中，经常会遇到这样一些问题：

1.当学生学习力学到一定程度的时候会问：高中物理课本讲，牛顿力学的适用对象是质点。质点概念是一种理想化的模型，是忽略了物体的形状和体积的。但是真实生活中，物体都是有形状和体积的。那么，高中力学规律解决的问题，不就跟真实的生活中有一定的差异？特别是用它来解决体积比较大的物体时，结果跟真实情况不就有更大的差异？

2.学到平抛运动时，很多同学会问：平抛运动公式告诉我们，物体的运动轨迹是抛物线。相应的运动公式也都是按抛物线给出的。但是我们生活中看到的物体在平抛运动时都是在旋转的啊！物体上各个点的实际轨迹像蜜蜂的行进线路一样旋进啊！那么，平抛运动的公式求出结果跟真实生活中物体的运动情况岂不是也有很大的差异？

3.学到动量守恒，在做到有关弹簧物块在光滑水平面上运动的题目时，学生也会对物体的具体的运动情境想象不清楚，会问老师，两个物块究竟怎么运动的啊？

对于这些问题，高中课本和各种资料都没有给出明确的阐述。

笔者结合多年辅导学生物理竞赛的经验，找到了一种方法可以一揽子解决所有这些问题。那就是，给高中学生稍微补充一下质心概念，并把它跟质点概念结合，让学生懂得高中物理中的质点概念并非只是一个理想化模型，而是有真實含义的，那就是物体的质心。高中力学规律求出的质点的数据并非是近似，而是物体上某一点（质心）的准确运动情况。

若能帮学生理解到高中力学的理想化模型质点其实就是质心，那就可以很容易理解质点概念在现实生活中得准确含义了，也就可以把抽象的质点模型准确地具体到现实生活中了，上面的平抛运动的轨迹问题和动量问题也就很容易解决了。

下面我来说说质心的概念。所谓“质心”就是物体质量的中心。质心概念有点像高中所学过的重心概念，但又不同于高中的重心。重心跟当地的重力加速度是有关系的，而质心跟重力加速的是没有关系的。形状规则质量又均匀分布的物体的质心准确地就在物体的几何中心。例如均匀的球体、均匀的正方体和均匀的长方体，它们的质心都在他们的正中心。而形状规则质量又均匀分布的物体的重心严格地讲并不在物体的几何中心。而在物体的几何中心稍微偏下一点点。

质心的计算公式是：

然后我再说说他们在高中力学各知识点中的运用：

1.牛顿运动定律。高中课本讲牛顿运动定律适用条件是质点，具体到现实生活中对体积大不能忽略体积的物体其实就是质心。所以，我们用牛顿运动定律求出的就是质心的准确运动情况。对于平动的物体，物体上的其它各点的运动情况其实都跟质心的运动情况一样，也就意味着其他各点运动的准确情况都可以知道了。如果物体是转动的，那么他们的转动就是相对质心的转动。我们再结合一个转动公式也可以求出各个点的准确运动情况了。

2.抛体运动。我们平常说的抛体运动的轨迹是抛物线，相应的公式用抛物线公式，其实都是求出的物体的质心的运动情况。我们抛物体时，最初抛的力并不都穿过质心，所以抛出的力相对于质心有一个力矩，导致了物体相对于质心有旋转。所以我们实际抛出的物体，一方面质心按照抛物线规律运动，另一方面，物体上各部分又绕着质心在匀角速度旋转。所以，我们用抛物线公式求出了质心的运动情况。再求各个点绕着质心的圆周运动的情况，就可以准确地知道其它各个点的运动情况了。

3.万有引力。万有引力的所有公式也是针对物体系的质心的。譬如利用万有引力研究地月系在太阳系中的运动时，其实只是地球和月亮的质心绕着太阳转。地球和月亮又绕着他们的质心旋转，构成一个双星系统。

双星多星问题其实是他们几个星共同绕着他们的质心匀角速度转动。转动中心就是他们的质心，各部分都绕着质心在做匀角速度转动。

4.机械能问题。我们用机械能公式求物体的运动时，其实也是求出的质心的运动情况。如果想知道其他部分的运动情况，再结合那部分跟质心之间的位置关系，就可以求出那部分的运动情况。

5.动量问题。动量定理也是对质心成立的。动量守恒的条件是系统所受的合外力为零，系统所受的合外力为零，那么系统的质心就保持静止状态或者是匀速直线运动状态，所以动量守恒其实就是系统的质心保持静止或者是匀速直线运动。

例5、三星问题：三颗星体ABC分别位于等边三角形的三个顶点上，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同点O在三角形所在的平面内做圆周运动。忽略其他星体对它们的影响。A星体的质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求C星体的轨道半径RC。

解：多星系统的转动中心就是他们的质心。BC两个星质量相等，所以BC的质心在BC连线的中点，等效质量为2m。故BC跟A构成三个星的质心O在BC中垂线AD的中点

例6：光滑水平面上的弹簧物块模型：光滑水平面上面静止着两个等价物质量都是物块A和B，用轻弹簧连接。给A物块一个向右的初速度v，试描述之后物块A和B的运动情况。

分析：看到这道题时，很多同学能够用动量守恒和机械能守恒求两个物体在弹簧自然长度时的速度，但是对物体的具体运动情景就想不清楚了。

如果能用质心概念来理解这个问题，两个物体的运动情景就很简单了。

当两个物体随着弹簧的一张一合在水平面上运动时，系统的质心实际上向右一直做匀速直线运动。质心匀速运动的速度大小就是A、B两物体共速时候的速度v共=v/2。所以我们可以先求出质心的运动速度v共。就可以求出各个时刻质心的位置。两个物块相对于质心实际作简谐运动，再用简谐运动的公式还可以求出物体那一时刻相对质心的位置。把两个公式结合在一起，还能求出了物体A、B某时刻t的位置。

答：之后A、B系统的质心向右做匀速运动，速度为v/2。同时A、B相对于质心先靠拢，后又远离，作简谐运动。