高中数学教学过程中培养学生逻辑推理能力的策略探究

苏碰美

摘 要：英国著名数学家、哲学家罗素曾说“数学是符号加逻辑”，逻輯推理能力不仅是数学学科的重要内容，而且是解决数学问题的基本技能。在教育部印发的《普通高中数学课程标准》中，将逻辑推理能力作为六大核心素养之一。在高中数学教学中，我们必须注重对学生逻辑推理能力的培养。本文阐述了在高中数学教学过程中培养学生逻辑推理能力的必要性，并在此基础上提出了具体策略，包括：制订计划，融于教学过程之中；贯穿始终，落实到不同内容领域；重视基础，加强基本概念的教学；设置问题，暴露推理的思维过程；表达准确，锤炼严谨的数学语言；言必有据，学会多角度认识问题等。旨在通过对学生逻辑推理能力的培养，推动高中数学教学质量的提升。

关键词：高中数学；逻辑推理能力；符号

随着以核心素养为导向的教学目标深入人心，部分教师也积极尝试在高中数学教学中渗透逻辑推理能力的培养。但从现实情况来看，似乎并未取得明显的成效。这主要是由于当前既缺少科学的理论体系，也没有足够的逻辑推理能力培养经验，不能给高中数学教学提供有效的指导。可见，对逻辑能力培养的重要性及高中数学教学策略展开研究，就显得十分迫切了。

一、高中数学教学过程中培养学生逻辑推理能力的必要性

（一）课程标准对教学的要求

《普通高中数学课程标准》明确指出，逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析以及数学抽象是本学科的六大核心素养。所谓逻辑推理，即从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。高中数学所涉及的逻辑推理主要有两类：一是从特殊到一般的推理，推理形式多为归纳、类比；二是从一般到特殊的推理，推理形式主要为演绎。课程标准是对课程计划的具体化，是以学科纲要的形式编订的，有关学科教学内容的指导性文件，更是教学活动开展的最根本依据。高中数学教学必须按照课程标准的要求，有目的、有计划地培养学生的逻辑推理能力。只有这样才能顺利实现本学科的培养目标，使学生在掌握数学知识的基础上，形成适应个人发展和社会发展的能力和素养[1]。

（二）个体成长必备的技能

儿童心理学家皮亚杰将个体认知发展，按照年龄划分为四个阶段：0—2岁为感知运动阶段，个体只能借助身体感官来了解外部环境；2—7岁为前运算阶段，个体初步具备了符号语言功能，但在思维上仍是以自我为中心；7—11岁为具体运算阶段，个体逐渐掌握分类、排序、运算的能力；11岁之后进入形式运算阶段，个体开始具备逻辑思维，能够以命题的形式对现实问题进行归纳总结。可见，逻辑思维的形成与发展标志着个体从幼稚走向成熟，从刻板地遵守规则过渡到灵活地运用规则。高中生年龄大多在14—19岁，正是逻辑思维快速发展的黄金期。在高中数学教学中培养学生的逻辑推理能力，恰好符合他们的身心发展规律，对他们人生必备品格和关键能力的形成具有重要意义。

二、高中数学教学中培养逻辑推理能力的策略

（一）制订计划，融于教学过程之中

过去之所以高中生逻辑推理能力薄弱，很大程度上归咎于教师没有制订明确的培养计划。他们或是完全忽视逻辑能力的培养，或是在教学过程中偶有涉及却未形成系统，因而教学效果不太理想。正所谓“十年树木，百年树人”，素养与能力的培养绝非一蹴而就，它需要一个日积跬步的过程。教师应结合教学内容，在设计教案、制作课件时，将逻辑推理能力的培养融入知识点讲解中，这样既达到了提高学生逻辑推理能力的目的，也有助于他们对当堂课重难点的理解。

比如在《函数的概念》一课的教学中，笔者在黑板上罗列了若干组函数，并带领学生绘制出它们的函数图像。很快有细心的学生发现，这些函数图像均为左右对称。此时，笔者再引出偶函数，要求学生与我一起归纳出偶函数的概念。经过一番讨论，学生结合教材上的定义得出，偶函数就是在该函数的定义域内，任意一个都能得出。之后笔者还要求学生运用类比的形式，尝试去界定奇函数的概念。通过这节课的练习，学生不仅掌握了奇函数、偶函数这两个知识点，而且还在学习的过程中灵活运用了归纳、类比这两种特殊到一般的推理形式，使他们逻辑推理能力得到了不同程度的发展[2]。

（二）贯穿始终，落实到不同内容领域

实际上，推理作为数学学科内容的一部分，在高中数学教材中有专门的章节——“推理与证明”，这无不反映出教材编委的专家们对逻辑推理能力的重视。很多一线教师也逐渐认识到逻辑推理能力培养对于高中数学教学的重要意义，尤其是更强调逻辑性的几何。但笔者发现，教师对学生逻辑推理能力的培养局限于部分章节，比如在教授《推理与证明》这一章时以专题的形式开展培养，此后就很少提及。这就导致高中生虽然接受了所谓的“逻辑推理能力”专项培养，但实际上这项能力素养并不扎实，也很少有机会将其运用到解决其他数学问题的实践中。针对这一问题，教师必须将逻辑推理能力的培养贯穿数学教学的始终，将逻辑推理能力思维落实到每一个章节、每一个知识点。只有这样，才能确保学生逐渐形成相应的能力和素养。

比如在学习代数知识时，由于学生逻辑推理能力比较薄弱，以往只是运用演绎的形式对几何问题进行推理，但代数问题的解决更加依赖公式、法则的运算。起初很多学生有些摸不着头脑，不知该如何厘清代数问题的思路。鉴于此，笔者用不等式、函数来进行引导，借助这些明确的变量关系来启发学生。学生通过观察，并借助猜想，最终论证了这些公式法则。比如，在《数列》一章的教学中，教师引导学生观察连续数字之间的规律，归纳出结论；此外，在概率与统计教学中，同样可以渗透逻辑推理能力的培养。总而言之，逻辑推理能力培养绝不能停留在某个或某几个章节中，而是要贯彻落实到每一个知识点的讲解中，使学生在学习具体知识点的过程中逐渐内化形成逻辑推理能力。

（三）重视基础，加强基本概念的教学

大量研究表明，基础知识是影响逻辑推理能力发展的重要因素之一。尽管部分教师已经相当重视逻辑推理能力的培养，也积极地在教学中有意识地开展培养，但收效甚微，原因主要是高中数学涉及很多抽象的概念和知识点，学生掌握得并不扎实，逻辑推理能力培养的开展情况自然就受到影响。比如在《集合》一课的教学中，由于很多学生没能厘清“子集”与“真子集”两个概念的区别，导致后续在判断两个集合是交集、并集还是补集时得出了错误的结论。数学是讲究思维严谨的学科，如果学生连本学科的基础知识都未能扎实掌握，相关的概念和涉及的数学原理也都一知半解，那么就不能够结合材料，体会数学题目中的思维过程，并在其中发展自己的逻辑推理能力。笔者建议，教师今后应更加注重基础知识教学，确保学生掌握每一个章节的基本概念和基本原理，并在此基础上运用分析、判断、推理等一系列思维方式来解决具体的数学问题。

比如在《棱柱的体积》一章的教学中，笔者将逻辑推理能力的培养渗透到斜四棱柱体积计算问题中。首先，先向学生讲解棱柱的概念，使他们对棱柱体积计算公式有一个初步的了解；其次，介绍四棱柱与斜四棱柱的异同，进一步明确斜四棱柱体积计算应注意的问题；最后，引导学生根据四棱柱体积计算公式，类比、推理出斜四棱柱体积计算的方法。经过讨论和尝试，学生很快有了明确的思路，最终得出正确的答案。在这个过程中，得益于学生对棱柱、四棱柱、斜四棱柱等知识点的扎实掌握，使他们能够区分几个概念的异同，运用逻辑推理能力从正四棱柱体积计算公式推导出斜四棱柱体积的计算方法。可见，在培养学生逻辑推理能力时，巩固好他们的基础知识是非常必要的前提[3]。

（四）设置问题，暴露推理的思维过程

古语有云：“学起于疑，疑源于思。”可以说问题是学生最好的老师。尤其随着教学理念的革新，以教师为中心的课堂模式早已被摒弃，取而代之的是更凸显学生主体地位的课堂模式。前者往往是照本宣科，直接将知识点灌输给学生，学生无须思考，只要死记硬背就能在考试中取得不错的成绩。但是，由于整个学习过程中学生主观能动性未被调动，包括逻辑推理能力在内的各项思维能力都没能发展。后者则强调学生的主体性，引导、鼓励他们积极主动地探究问题，使他们的思维能力得到锻炼和发展。问题导向就是以学生为中心的课堂模式的特征之一，通过设置问题来激发学生的求知欲、探索欲，使他们从以往被动接受知识的情况转变为主动思考问题、解决问题。需要注意的是，抛出问题后仍不能“放养”学生，让他们闭门造车，而是要在一旁观察、了解学生的具体想法并适时地提供指导。

比如在《概率与统计》一课的教学中，笔者就尝试设置以下问题来引导学生发展逻辑推理能力：在一个不透明的盒子中装有4个红球和2个白球，此时从盒子中随机连续地取出4个小球，其中有1个白球的概率是多少。起初有学生主张用穷举法一一罗列，但以这种方法计算出的概率显然是错的。此时笔者又提出问题，仍然是不透明盒子中4个红球与2个白球，随机从中取出一个球并放回，连续抽取4次，其中有一个白球的概率是多少。在这个问题的启发下，学生豁然开朗，于是改变策略运用组合的办法来计算，最终得出了正确答案。在这节课中，笔者以两种不同的抽取方法，引导学生思考小球放回和不放回在概率上的区别，他们也成功地运用逻辑推理能力找到解决问题的办法。

（五）表达准确，锤炼研究的数学语言

数学语言是培养逻辑推理能力的重要工具，使用正确的数学语言是有效推理的重要前提。在高中数学教学中，教师应当要求学生正确使用数学语言，令他们形成严谨的逻辑思维。从现实情况来看，很多学生的数学语言使用不规范、不准确，在推理过程中就可能出现谬误，而很多教师对此不以为意，结果自然是给学生逻辑推理能力的发展造成了严重的负面影响。因此，教师需要有意识地引导学生使用正确的数学语言来表达思维过程和书写解题思路。

首先，教师要以身作则，在授课的过程中确保数学语言使用准确、书写规范。教师作为学生的榜样权威，他们的一言一行对学生有着潜移默化的影响，如果教师在数学语言上“不拘小节”，就有可能导致学生养成坏習惯，在逻辑推导中干扰、误导判断。其次，在课堂互动、日常作业和考试中，要注重对学生数学语言使用的严要求。一旦他们出现了使用不规范、不准确的情况，就要及时地提出，并要求他们改正。最后值得一提的是，教师还可以借助一些概念、规则来加强学生对数学语言的理解和运用。比如在一次作业批改中，笔者发现某学生在书写函数单调性时，用U来连接多个单调区间，如此一来就把本来函数的局部性质扩大到一个区间集合，造成了谬误。于是，笔者在评语中要求该生将U替换为逗号，并认真回顾函数单调性相关的知识点。经笔者指正后，该生数学语言的使用变得更加规范，这些都是逻辑推理能力环节非常可靠的依据，对他能力素养的发展大有帮助。

（六）言必有据，学会多角度认识问题

一方面，数学是一门逻辑严密的学科，逻辑推理能力更是强调整个过程的严谨性，每一个步骤都是环环相扣，整个过程逻辑自洽。要做到这一点，就必须有健全的规则来约束。但是，很多学生在解决数学问题时，总是以自己捏造的、假想的规则为逻辑基点，之后层层推理。其过程看似严谨有序，实则早已违背了公式定理。在高中数学教学中要想培养学生的逻辑推理能力，还需要做到言必有据。每一个论点、论据的提出，都要经得起推敲，而不是信口开河，更忌讳凭空臆造。只有明确了这一点，学生才能对逻辑推理能力有一个正确的认知。

另一方面，任何一项思维能力的发展，都需要个体让自己的思维发散，从不同的角度来审视问题。比如运用类比的思路，从某个数学现象、数学原理中，推导出所需要的结论，以这种举一反三的方式来辅助逻辑推理能力；又或者基于已经掌握的知识，去演绎推导出关于新知识的一些结论。比如在学习“三角函数”这部分知识时，笔者提问是否为周期函数。有学生尝试从函数的定义域内选取若干个值，代入周期函数定义公式进行验证。但这种方法不仅十分烦琐，而且也不能确定该函数是否为周期函数。此时，笔者给出前提，所有的三角函数均为周期函数。如此一来，学生就可以运用演绎推理的思维，先论证为三角函数的一种，遂得出为周期函数。经过这次培养，学生意识到在解决数学问题时，应当以更发散的思维，灵活运用归纳、类比、演绎等多种逻辑推理形式，从已经掌握的知识中推导出所需的结论，使问题迎刃而解。

结束语

逻辑推理能力不仅是《普通高中数学课程标准》中提到的学科六大核心素养之一，也是认知发展阶段论认为的高中生思维形成与发展的重要一环。在高中数学教学中，培养学生的逻辑推理能力是非常必要的。但在过去很长一段时间里，师生不重视以及缺乏科学有效的教学策略，导致学生逻辑推理能力十分薄弱。本文针对这一问题展开研究，并最终结合高中数学教学实际情况提出如下建议：第一，要明确逻辑推理能力培养计划，并将其融入教学过程；第二，要将逻辑推理能力培养贯穿始终，而不是局限于某几个章节；第三，要重视基础知识教学，这是培养逻辑推理能力的前提；第四，还要问题引导、规范数学语言，让学生形成逻辑推理能力所必需的良好习惯；第五，还必须遵从数学定理，同时要学会发散思维，多角度审视问题。

参考文献

[1]池毓海.逻辑推理在高中数学教学中的培养[J].文理导航，2023（2）：70-72.

[2]杨晶凤.逻辑推理能力在高中数学中的培养策略与教学策略分析[J].数学学习与研究，2022（6）：20-22.

[3]朱菊花.语言理解·逻辑推理·问题解决：例谈高中数学能力培养的三个基本点[J].数学教学通讯，2018（15）：26-27.

本文系2022年度福建省南安市教育科学“十四五”规划研究课题立项课题“深度学习，基于‘跨学科素养的教学设计研究”（课题批准号：NG1452—090）的研究成果。