例谈初中数学二次函数综合性题目的解题技巧

季峰

【摘要】与二次函数相关的认知是人教版初中数学九年级上册的重要内容，二次函数综合性题目更是各市区中考中常见的压轴题.这类综合性题目主要考查学生的数学建模能力、抽象思维能力，通过题目的操练学生能有效地将零落的知识转化为解决问题能力.问题是数学的心脏，对二次函数综合性题目的研究能帮助学生挖掘题目中隐含的问题的本质，提升他们的解题技巧，进而进入二次函数的“心脏”.

【关键词】二次函数;综合性题目;解题技巧

教师指导学生掌握二次函数综合性题目的一些解题技巧能开阔他们的思路，培養他们的创新能力，促进他们的数学素养.当学生能将二次函数中建构的图形迁移到平时积累的模型中，在生题中找寻旧题，在多次发散与联想中生成思路，那么他们就形成一定的解题技巧，进而在具体解题时如囊中探物.

1 与最值、定值相关的二次函数综合性题目的解题技巧

在解决与最值、定值相关的二次函数综合性题目时，教师先要让学生复习初中阶段有关线段最值的问题.就是通过简单的图形展示让他们说出两点之间线段最短;垂线段最短;在三角形中两边之和大于第三边，求第三边的最小值;还有综合一点的，就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最值.

例1 已知抛物线C：y=ax2-2ax+c经过点C（1，2），与x轴交于A（-1，0）、B两点，如图1所示.

（1）求抛物线C的解析式;

（2）直线y=34x交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值;

（3）如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y=kx-2k-4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ=90°，求点D的坐标.

对于第1问，利用待定系数法即可得出结论y=-12x2+x+32.

对于第2问，教师先让学生讨论，他们认为先要确定出ME，MF与t的关系，再建立ME+MF与t的函数关系式.他们设直线OT交ME于G，设M（t，-12t2+t+32），则ME=-12t2+t+32，G（t，34t），OG=54t，MG=-12t2+14t+32，sin∠OGE=sin∠MGF=45，MF=45MG=-25t2+15t+65，ME+MF=-910t2+65t+2710=-910（t-23）2+3110，

由y=34xy=x22+x+32得x1=-32x2=3，所以xS=-32，xT=3，且-32<32<3，且a<0，当t=23时，ME+MF的最大值为3110.对于第3问，如图2所示：过D作E′F′∥x轴，作PE′⊥E′F′于E′，QF′⊥E′F′于F′，设D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），列方程组 y=kx-2k-4y=-12x2，得x2+2kx-4k-8=0进而求得x1+x2=-2k，x1x2=-4k-8.由题目中的平移条件，推出△PE′D∽△DF′Q，进而得，DE′·DF′=PE′·QF′，即，（a-x1）（x2-a）=（b-y1）（b-y2），所以，b=-12a2，y1=-12x21，y2=-12x22，最终求得（a+2）（a-2）-2k（a+2）=0.因为k为任意实数，所以a+2=0，a=-2，b=-2，最终D（-2，-2）.

2 与几何动点相关的二次函数综合性题目的解题技巧

动点问题可分为三个类型，动点问题、动线问题、动形问题，就动点问题而言，又可以分为单动点和双动点.教师要让学生在“动”中求“静”， 进而化“动”为“静”，把想知道的“量”用常量或含自变量的关系式表示出来.

例2 抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4），如图3所示.

（1）求抛物线的函数表达式;

（2）设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，当△ADC面积有最大值时，在抛物线对称轴上找一点M，使DM+AM的值最小，求出此时M的坐标.

（3）点Q在直线AC上的运动过程中，是否存在点Q，使△BQC为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

对于第1问，学生可以用待定系数法可求出抛物线解析式.学生由二次函数y=-x2+bx+c的图象交x轴于点A（-4，0）和点B，交y轴于点C（0，4），就能列出式子

-16-4b+c=0

c=4，进而解得b=-3

c=4，所以二次函数的表达式为y=-x2-3x+4.对于第2问，教师先是引导学生分析解决这一问的要点是什么，学生发现要先求出直线AC的解析式，进而就可以求得由m表示的三角形ADC的面积.接着教师引导他们分析如何求得m的值.学生想到要先求D点坐标，这个由二次函数的性质可求出.教师提醒学生可再求出关于对称轴的对称点的坐标D1，求出直线AD1的解析式，进而求出M点的坐标.对于第3问，教师先是让学生设出Q点的坐标，然后指导他们就CQ=BQ，BC=BQ、BC=CQ这三种情况进而讨论，从而求解.学生先是设Q（a，a+4），因为C（0，4），B（1，0），所以CQ2=a2+a2=2a2，BQ2=（a-1）2+（a+4）2，BC2=42+12=17.第一种情况，当CQ=BQ时，a2+a2=（a-1）2+（a+4）2，即6a+17=0，解得a=-176，所以Q（-176，76）.第二种情况，当BC=BQ时，17=（a-1）2+（a+4）2，整理得2a2+6a=0，解得a=-3或a=0（不合题意舍去），所以Q（-3，1）.第三种情况，当BC=CQ时，2a2=1+16，整理得2a2=17，解得a=±342

，所以Q（342，4+342）或（-342，4342）.综上所述，点Q的坐标为Q（342，4+342）或（342，4-342）或（-3，1）或（-176，76）.可见基于几何动点相关的二次函数综合性题目需要学生掌握运用待定系数法求函数的解析式的能力;需要他们能够熟悉函数图象上点的坐标特征;需要他们能够计算三角形的面积、两点间的距离公式;同时还需要他们学会运用分类讨论思想和方程思想方法.教师需要在指导技巧的过程中不断地培养他们这方面的素养.

参考文献：

[1]许翠莉，王师森，于彬.“三会”视角下“二次函数与一元二次方程（1）”.教学实录及评析[J].数学教学通讯. 2021，（29）.

[2]王亚莉.核心素养视角下数学问题解决能力提升策略与实践——以“二次函数的概念”教学为例[J].数学教学通讯.2021，（29）.