故选(C).
3 因式分解法
例3 求证:对于任何整数x和y,下式的值不会等于33:
x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5.
证明 当y=0时,原式=x5≠33.
当y≠0时,原式
=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)
=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)
=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)
=(x+3y)(x2-y2)(x2-4y2)
=(x+3y)(x-y)(x+y)(x-2y)(x+2y),
当y≠0时,x+3y,x-y,x+y,x-2y,x+2y互不相同,而33不可能分解为3个以上因式的积,所以原式不会等于33.
4.错位相减法
例4 观察下列运算过程:
S=1+3+32+33+…+32015,①
①×3,得 3S=3+32+33+…+32016,②
②-①,得2S=32016-1,S=32016-12.
根据上面的计算方法计算:
1+5+52+53+…+52015.
解 设S=1+5+52+53+…+52015,①
①×5,得 5S=5+52+53+…+52016,②
②-①,得 4S=52016-1,S=52016-14,
即1+5+52+53+…+52015=52016-14.
5.整體代入法
例5 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,记S1=x1+1993x2,S2=x21+1993x22,…,xn=xn1+1993xn2,则aS1993+bS1992+cS1991=.
解 因为x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以ax21+bx1+c=0,
ax22+bx2+c=0.
所以原式
=a(x19931+1993x19932)+b(x19921+1993x19922)+c(x19911+199319912)
=(ax19931+bx19921+cx19911)+(1993ax19932+1993bx19922+1993cx19912)
=x19911(ax21+bx1+c)+1993x19912(ax22+bx2+c)
=0.
6.巧取特殊值
例6 m,n,p,q为自然数,对一切x>0,(x+1)mxn-1=(x+1)pxq恒成立,则(m2+2n+p)2q=.
解 由于(x+1)mxn-1=(x+1)pxq对一切x>0恒成立,取x=1,则有2m-1=2p,
由于2p≠0,2m-1为奇数,因此m=1,p=0.
再取x=2,则有32n-1=12q,
即3-2n=2n-q,
当n>q时,则上式左边为奇数,右边为偶数,矛盾.
当n所以只能n=q=1,
于是原式=32=9.
7.巧用乘法
例7 若x,y,z,w为整数,且x>y>z>w,2x+2y+2z+2w=2058,求(x+y+z+w-1)2010的值.
解 已知等式两边同乘以8,得
2x+3+2y+3+2z+3+2w+3=165,
因为x>y>z>w且为整数,
所以x+3>y+3>z+3>w+3,且为整数,
因165为是奇数,
所以w+3=0,
所以w=-3.
所以2x+3+2y+3+2z+3=164,
所以2x+1+2y+1+zz+1=41,
所以z+1=0,z=-1.
所以2x+1+2y+1=40,
两边都除以8,得
2x-2+2y-2=5,
所以y-2=0,y=2.
所以2x-2=4,
所以x-2=2,x=4.
所以原式=(4+2-1-3-1)2010=1.
8.配方法
例8 求证:x4+y4+z4-2x2y2-2x2z2-2y2z2能被x+y+z整除.
证明 原式
=x4+2x2y2+y4-(2x2z2+2z2y2)+z4-4x2y2
=(x2+y2)2-2z2(x2+y2)+z4-4x2y2
=(x2+y2-z2)2-(2xy)2
=(x2+2xy+y2-z2)(x2-2xy+y2-z2)
=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]
=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z),
所以x4+y4+z4-2x2yx2-2xx2zx2-2yx2zx2能被x+y+z整除.