解一元二次方程的几种技巧例析

夏鸣

【摘要】本文将详细介绍几种一元二次方程的技巧和方法，以期帮助同学们拓展思维，提高解题效率.

【关键词】一元二次方程;解题效率

1 妙用韦达定理.

韦达定理能够有效反应两个根之间的关系，是求解一元二次方程的有效手段，对于形如ax2+bx+c=0a≠0的一元二次方程，当a+b+c=0时，方程必定存在一个根等于1，另一个根等于ca;当a-b+c=0时，方程必定有一个根等于-1，另一个根为-ca.

利用此方法求解的主要步骤为：①根据题意确定a+b+c=0或a-b+c=0;②由上述结论分析两个根的取值，利用韦达定理计算求解.

例1 解方程：9406x2-8289x-1117=0.

剖析 此方程的各个系数的绝对值都很大，但通过分析可知，上述方程的各个系数之和恰好等于零，进而可知原方程必定有一个根等于1，则利用韦达定理即可求解.

解析 因为9406-8289-1117=0，

所以原方程一定存在一个根等于1，

假设x1=1，

所以根据韦达定理可解得其另一根的值为x2=ca=-11179406.

2 妙用a2+b2=a+b2→ab=0.

求解一元二次方程的解还可以通过a2+b2=a+b2→ab=0求解，当a2+b2=a+b2，即已知的方程两边的次数相等，并且等号右边幂的底数与左边两项的幂的底数的和a+b相等时，存在ab=0.利用此方法求解的主要步骤为：①根据题意分析已知方程的两边的次数与底数的特点;②直接利用a2+b2=a+b2→ab=0计算求解即可.

例2 解方程：4-x2+x2=16.

剖析 已知方程等号两边的次数和底数的特点可知，满足a2+b2=a+b2，则直接可得ab=0成立，进而求解.

解析 由题意可得，原方程可以转化为：4-x2+x2=42，

因为4-x+x=4，

所以4-xx=0，

解之得x1=0，x2=4，即为方程4-x2+x2=16的解.

3 妙用换元.

换元法是求解一元二次方程问题的常用手段，主要是指引入一个或几个新的变量替换某些旧变量，将变量求出结果以后再返回求解原变量的值.利用此方法求解的主要步骤为：①根据题意分析，确定换元的变量，并进行换元;②求解换元后的一元二次方程的解;③利用换元后的变量的取值计算原一元二次方程的解.

例3 解方程：144x2-36x+2=0.

剖析 本题首先对原式进行换元，发现原式存在144x2=12x2，且-36x=-312x，则利用整体换元将12x替换，进而求解，化繁为简.

解析 令y=12x，

所以y2-3y+2=0，

所以y1=2或y2=1，

等价于12x=2或12x=1，

因此x1=16，x2=112.

4 妙用零点分段讨论.

当求解含有绝对值的一元二次方程问题时，可以利用零点分段法讨论求解，主要是利用绝对值的几何性质或者在数轴上标出零点后再分类讨论进行求解.利用此方法求解的主要步骤为：①根据题意计算绝对值等于零时自变量的取值，即确定零点;②根据零点分段讨论，分析每一段的取值;③整理解得待求一元二次方程的解.

例4 解方程：x2-2x-1-4=0.

剖析 本题是很明显的含有绝对值的一元二次方程问題，故直接利用零作为临界值对其进行分段讨论.

解析 令2x-1=0，

故x=12，

经检验可得x=12不是原方程的解，

故当2x-1>0，即x>12时，原方程可转化为x2-2x-1-4=0，

等价于x2-2x-3=0，

解之得x=3或x=-1舍，

当2x-1<0，即x<12时，原方程可转化为x2+2x-1-4=0，

等价于x2+2x-5=0，

解之得x=-1- 6或x=-1+ 6舍，

综上所述，原方程的根为x1=3

或x2=-1- 6.

5 妙用配方法.

配方法是把一个算式或者一个算式中的某一个部分以恒等变形的方式变成完全平方或者几个完全平方式的和.在初中数学解题过程中，适当运用配方法解答相应的问题，有利于提升解题的正确率与解题速度.

例5 解方程：x2-4x-2018=0.

剖析 该例题中的方程中的二次项系数为1，一次项系数为偶数-4，因此，在该例题中应用配方法进行解题较为简便.配方法可以对任何一个有解的一元二次方程进行解答.

解析 移项得到x2-4x=2018，

配方得到x2-4x+4=2018+4，

即（x-2）2=2022，

开平方可到得到x-2=± 2022，

即x-2= 2022或x-2=- 2022，

所以x1=2+ 2022，x2=2- 2022.

6 妙用因式分解.

因式分解法是解一元二次方程首先应当考虑并使用的方法，因式分解能够简便易行且快速的对问题进行求解.但是它的缺陷只适合一些特殊的方程，即方程的左边能分解成两个因式的乘积，且方程右边是0.

例6 x（2x-1）=3（1-2x）.

剖析 把方程右边的式子整体移到方程的左边，可以通过提公因式的方法把左边的内容分解成两个因式的乘积，因此在该例题中借助因式分解法较为简单.

解析 移项可以得到x（2x-1）-3（1-2x）=0，

即x（2x-1）+3（2x-1）=0，

分式因解可得（2x-1）（x+3）=，0

所以2x-1=0或x+3=0，

所以x1=12，x2=-3.

7 结语

求解一元二次方程的方法有很多，最重要的是要学会观察方程的特点，熟练掌握相关公式和性质并能够灵活运用，就能顺利求解一元二次方程.

本文介绍的这几种技巧对某些陌生且抽象的一元二次方程尤为有效，同学们务必灵活使用.