关于错位角分线模型的探究

燕在军

【摘要】初中几何中含有众多的模型，往往模型的设定条件、几何结构具有鲜明的特点.探究学习中若能准确把握模型，充分总结破解策略，则可以生成一些结论，解题时合理运用可快速切入主题，提高解题效率.错位角分线模型是初中较为重要的模型，本文深入探究.

【关键词】初中几何;错位角分线模型

1 模型展示

如图1所示，点A、C、B共线，已知点C是AB的中点，且∠1=∠2，则AD=BE.

在该模型中具有鲜明的结构和性质结论，主要如下：

特点 两三角形相互依托，呈现堆叠关系底边在同一直线上;

特性 点C为AB的中点;∠1=∠2;

结论 AD=BE.

2 策略探究

上述模型由中点、等角特性，推导出等边结论，其证明方法有多种，可从不同视角来构建策略，下面选取常用的几种简单说明.

策略1 倍长中线法

该模型中，点C是底边AB的中点，即AC=BC，对于有中点的情形，可以考虑采用倍长中线法，通过延长中线，构建特殊圖形来实践等角等边转换.对于上述模型结论，有两种延长中线的方法，具体如下.

方法1 将CD视为是△ABD的中线，则延长DC至点F，使得DC=CF，再连接BF，如图1，分析可知点C平分AB和DF，故可证明四边形ADBF为平行四边形，可得∠1=∠3，AD=FB.结合条件∠1=∠2可得∠3=∠2，则△EFB为等腰三角形，即EB=FB，从而可得AD=BE，得证.

方法2 将EC视为是△ABE的中线，则延长DC至点F，使得EC=FC，如图2，类比上述方法2的分析思路，可证AF=AD，故可得AD=BE.

策略2 三角形全等法

分析模型可知，需要由等角条件推知等边，可采用构造全等三角形的方法，利用全等特性来推导，具体如下.

方法1 在CE上取一点F，使得BC=BF，如图3①，分析可知AC=BF，等角转换可得∠ACD=∠BFE，结合∠1=∠2可证△ACD≌△BFE（AAS），由全等特性直接可得AD=BE.

方法2 作点A和B分别作CE的垂线，设垂足分别为点F和G，如图3②，利用条件可证△ADF≌△BEG，由全等特性同样可得AD=BE.

策略3 平行转移角

在该模型中同样可以采用作平行线进行等角转移的方法，如图4所示，过点B作EC的平行线BF，并使得BF=EC.分析可知CD为△ABF的中线，点D为AF的中点，由条件可知△DEG和△BFG均为等腰三角形，结合DE∥BF，可知BE=DF，从而可推得AD=BE.

基于上述分析可知，错位角分线模型的解析策略有多种，但无论是何种方法.探究学习模型时需要把握条件与结论，建立三者之间的关系联系，即对于上述的模型中：C是AB的中点，∠1=∠2，AD=BE.三者中在满足其中任意两个时，第三个条件也同样成立，故可实现模型中条件与结论的互化.

3 应用探究

错位角分线模型在初中几何中十分常见，问题设置往往从两大方向进行考查：一是考查学生对模型的识别能力，条件的互化能力;二是从综合视角进行考查，考查学生的综合能力.下面结合实例，由浅入深，逐步探究.

探究1 初步探究，模型中巩固

例1如图5所示，在△ABC中，已知AB>AC，DE=EC，DF=AC，CH⊥AE，AF=3，试求EH的长度.

解析 该图形中条件较多，需要提取模型，提炼结论.结合错位角分线模型可知：DE=EC，DF=AC，则∠DFE=∠EAC.

再过点D作AE的垂线，设垂足为点M，如图6所示，由条件可证ADF≌△BEG（AAS），则AH=FM，所以AH-FH=FM-FH，即AF=HM=3.另外易证点E为HM的中点，所以EH=32.

评析 上述问题中错位角分线模型较为明显，可直接由模型特性获知∠DFE=∠EAC，就可基于该条件直接构造三角形全等，逐步推得计算.对于简明模型的探究，要理清其中条件之间的关联，合理采用“由二推一”的方法.

探究2 深入探究，强化分析

例2 如图7所示，在矩形ABCD中，点E位于CD边上，且CE=2DE，点F位于线段AE上，且满足∠EFC=2∠DAE，有DE∶AF=10∶4，矩形ABCD的面积为90，试求EF的长度.

解析 问题中模型的条件并不充分，此时可以考虑延长ED至点G，使得DG=DE，再连接AG，在FE的延长线上取一点H，使得FC=FH，如图7所示.

根据错位角分线模型可知：需要有∠EFC=∠DAE，故需要作等腰构造二倍角，促使模型成立.设∠DAE=α，DE=10a，则∠EFC=2α，AF=4a，由AG=FC=AE=FH，EH=AF=4a.易证△CHE∽△FHC，可推得FH=10a，则EF=6a，所以AD=310a.已知矩形ABCD的面积为90，由面积公式列方程可得310a2=90，可解得a=1，则EF=6，即EF的长度为6.

评析 上述问题中不存在明显的错位角分线模型，巧妙的通过作倍角来构造模型，然后充分利用模型特性获得关键条件AE=FH.对于隐性错位角分线模型，要善于利用图形特点来添加辅助线，转化条件.因此探究教学中要深刻把握模型特征，解读总结.

总之，关于错位角分线模型的探究学习，需要掌握模型的结构特征、性质结论，同时把握模型探究的方法，能够从不同视角来证明模型结论.该模型的图形结构虽较为简单，但其较好的将图形的位置关系与边角结论相串联，探究时要善于整合图形，发现模型，提升图形的直观性.