基于数形结合思维的高中数学解题探究

鞠淑敏

【摘 要】  数形结合思想是高中最常见的数学思想之一，能够帮助学生更快速且更加准确地解决一些数量关系，甚至直接算出题目的答案.之所以数形结合的方法会如此有效，是因為“形”与“数”的结合，让题目的解题逻辑变得更加清晰.数形结合在高中数学的集合、函数、数列、不等式、向量、解析几何、复数等方面都有应用.本文主要从数形结合思维在方程式、函数、三角函数和不等式等方面进行举例说明.

【关键词】  数形结合;高中数学;解题能力

1 数形结合思维在方程式中的解题探究

例1   方程2a 2x 2+2ax+1-a 2=0的两个根在 -1，1 之内，求a的取值范围.

解   由题意可知a 2≠0，根据已知方程绘制二次函数f（x）=2a 2x 2+2ax+1-a 2草图（如图1所示），从图中可知，抛物线与x轴的交点在（-1， 1）之内，要满足条件：f（-1）= （a-1）  2>0，f（1）= （a+1） 2 >0，Δ=8a 2（a 2- 1 2 ）≥0，从而解得a的取值范围为a≤-  2  2 或a≥  2  2 ，

且a≠±1.

2 数形结合思维在函数中的解题探究

例2   对a，b∈ R ，

记 max {a，b}= a，（a≥b）b，（a

则f（x）=max{|x+1|，x 2-2x+ 9 4 }（  ）

（ A ）有最大值 3 2 ，无最小值.

（ B ）有最大值 1 2 ，无最小值.

（ C ）有最小值 3 2 ，无最大值.

（ D ）有最小值 1 2 ，无最大值.

解   由题意可知，此题是利用数形结合思想求函数的最值.

函数f（x）=max{|x+1|，x 2-2x+ 9 4 }是指两函数y=|x+1|与y=x 2-2x+ 9 4 在同一个x时取函数值较大的那一个函数值，在同一平面直角坐标系中分别作出两函数的图象，如图2所示.两函数的图象在y轴右侧有两个交点，f（x）的图象为图中实线部分所示，令

x+1=x 2-2x+ 9 4 ，解得x 1= 1 2 ，x 2= 5 2 ，由图可知，当x 1= 1 2 时，f（x）有最小值f（ 1 2 ）= 3 2 ，因此，选（ C ）.

3 数形结合思维在三角函数中的解题探究

例3   证明三角函数不等式.设α为锐角，求证：1< sin α+ cos α<  π  2 .

证明   如图3所示，在平面直角坐标系中建立一个单位圆，并设锐角α的终边为OP，过点P做PQ⊥x轴于Q，由三角函数的定义可知， sin α=QP， cos α=OQ在锐角ΔOPQ中，有QP+OQ>OP，即 sin α+ cos α>1.（1）

另一方面，设单位圆与x的正半轴、y轴的正半轴的交点分别为A、B.由图可知，四边形OAPB被扇形AOB覆盖，所以S  OAPB 

过P作PR⊥y轴于R，

则S  ΔOPB +S  ΔOAP 

即 1 2 OB·PR+ 1 2 OA·PQ< 1 2 ·  π  2 ·OA 2.（2）

又 OA = OB =1， PR = OQ = cos α， PQ = sin α，

所以（2）可以化为 1 2  cos α+ 1 2  sin α< 1 2 ·  π  2 ，

即 sin α+ cos α<  π  2 .（3）

综合（1）（3）可知，1< sin α+ cos α<  π  2 .

例4   对于给出函数

y=A sin （ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<  π  2 ）

的图象如图4所示，求该函数的解析式.

分析   此题是利用三角函数图象求解析式.由图4可知，-2≤y≤2，所以A=2，于是可设y=2 sin （ωx+φ），因为y=f（x）的图象过点P（ - 7 π  12 ，0 、Q 0，1 ，

所以有2 sin （- 7 π  12 ω+φ）=0且2 sin φ=1，即 sin φ= 1 2 ，又 φ <  π  2 ，所以φ=  π  6 .由圖可知，点P - 7 π  12 ，0 ，可以看做是正弦曲线的第三个点向左平移了一个周期，所以- 7 π  12 ω+φ= π ，又φ=  π  6 ，所以- 7 π  12 ω+  π  6 =- π ，解得：ω=2.

所以，所求函数的解析式为y=2 sin （2x+  π  6 ）.

4 结语

数形结合思维在所有数学知识中都有体现，但高中数学教材的编写是以传授数学理论知识为重点，其中蕴含的数形结合思想需要和老师同学一起探索发现.学生需要有意识培养自己的数形几何思维，在解题过程中抓住题目关键信息，提高解题能力.

参考文献：

[1] 王宏伟.高中学段数学思想方法的建立与培养——以高中学段函数概念、函数性质的教学为例[J].数学教学通讯，2022（09）：48-49.

[2]钱春艳.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J].文理导航（中旬），2022（03）：64-66.

[3]徐纪凤.数形结合思想在高中数学中的应用[J].新课程教学（电子版），2022（01）：84-85.