例谈初中数学二次函数问题的解答

2022-05-30生红

数理天地(初中版) 2022年14期

生红

【摘要】二次函数是初中数学的难点.相关习题能很好地检验学生的理解以及分析问题的能力.初中数学教学中应在为学生系统讲解基础知识的同时，注重提升学生解答二次函数习题的能力，为其数学学习成绩的有效提升奠定坚实基础.本文围绕二次函数与方程问题、二次函数与实际问题、二次函数综合问题展开论述，以供参考.

【关键词】初中数学;二次函数;问题解答

1 二次函数与方程问题

例1 已知二次函数y=ax2+bx-1的最小值为-2，则方程|ax2+bx-1|=2的不相同实数根的个数为（）.

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.

该题较为典型，间接地考查了二次函数图象问题.解题时需要构建已知条件与要求解问题之间的内在联系，能够联系所学的二次函数图象画出带有绝对值二次函数图象，通过观察图象的交点得出根的个数.

解析求方程|ax2+bx-1|=2根的个数，可将其看成函数y=|ax2+bx-1|和y=2图象的交点个数.

其中y=|ax2+bx-1|图象可由y=ax2+bx-1位于x轴下方的部分向上翻折得到.

因二次函数y=ax2+bx-1过定点（0，-1），且其最小值为-2，则可大致画出其图象，如图1，则y=|ax2+bx-1|图象的图象如图2：

y=2是和x轴平行的直线，由图2可知两个函数图象的交点个数为三个，即有三个不等实根，选择B项.

2 二次函数与实际问题

例2 如图3所示，某建筑物的截面图由抛物线和矩形OAA′B构成，其中矩形的长、宽分别为16m、4m，构建图中坐标系，则抛物线可表示为y=-116x2+bx+c表示，其中CD为一排和地面平行的灯带.若灯带的长度至少为12m，求灯带和抛物线顶点的距离.

用二次函数解决实际问题是各类测试以及中考的重要考点.解答该类问题的关键在于能够充分吃透题意，提炼出题干中的有用信息，通过合理的抽象将实际问题转化为数学问题，运用二次函数的性质定理求解.

解析因为OB=16，OA=4，可知抛物线过点（0，4），（16，4），将其代入解得c=4，-16+16b+4=4，b=1，则y=-116x2+x+4.

因为y=-116x2+x+4=-116（x-8）2+8，

当x=8时，抛物线取得最大值8.

因灯带至少为12m，则可求得C点的横坐标为16-122=2.

将其代入到抛物线方程中可得

y=-116（x-8）2+8=-116×36+8=5.75，

即，C点坐标为（2，5.75），则灯带和抛物线顶点的距离为8m-5.75m=2.25m.

3 二次函数综合问题

例3 如图4所示，二次函数y=-x2+bx+c的图象和x轴交于点A（-3，0），B（1，0）和y轴交于点C（0，3），其中C、D是二次函数图象上一对对称点，一次函数图象经过B、D两点.（1）写出二次函数值小于一次函数值x的取值范围.（2）设点E为直线BD和y轴的交点，连接AD、AE，求△ADE的面积.

函数综合问题考查的知识点较多，难度较大.解答该类问题不能有知识漏洞，同时还需要具体问题具体分析，注重运用数形结合思想，降低计算复杂度，尤其应大胆的想象，通过做出合理的辅助线，确保问题得以顺利解决.

解析问题（1）由图可知B点坐标已知，则需要求出点D坐标.点C、D均在抛物线上则其关于抛物线的对称轴对称.

因抛物线过点A（-3，0），B（1，0），代入y=-x2+bx+c解得b=-2，c=3，即，y=-x2-2x+3，则其对称轴为直线x=-1，

由C點坐标为（0，3），则D的坐标为（-2，3），则满足条件的x的取值范围为x<-2或x>1;

问题（2）设直线BD方程为y=kx+b，B（1，0）、D（-2，3）两点坐标已知，代入求得k=-1，b=1，则直线BD的方程y=-x+1，则点E的坐标为（0，1）.

S△ADE=S△ABD-S△ABE

=12×AB×yD-12×AB×yE

=12×4×3-12×4×1

=6-2

=4.

4 结语

综上所述，结合具体例题探讨二次函数常见习题类型的解答过程，不仅巩固了学生所学，加深了学习者对二次函数知识的理解，而且使其掌握了不同题型的突破思路以及在解题过程中应把握的细节，帮助其积累一定的解题经验，达到了预期的教学目标.