“中点”联想,巧破几何
2022-05-30郭芳
郭芳
【摘要】“中点”是初中几何的重要概念,线段的中点将所在线段分为长度相等的两条线段,是线段上最为特殊的点.在实际解题时要学会基于“中点”开展联想,构建解题思路.中点联想实际上也是一种重要的解题方法,本文举例探究.
【关键词】中点;初中几何;解题思路
1 构中线,可倍长
“构中线,可倍长”,即在三角形中出现中点时,可基于中点构造中线,通过延长或倍长中线来构造全等三角形或平行四边形,进而由特殊图形的性质来推导几何关系.
例1 (1)如图1所示,△ABC和△DCE均为等腰直角三角形,有∠BAC=∠EDC=90°,且点B、C、E在同一直线上,点P为线段BE的中点,试证明AP=DP.
(2)若将上述的“△ABC和△DCE均为等腰直角三角形”替换为“△ABC∽△DEC”,其他条件不变,再次证明AP=DP.
解析 上述求证三角形中的两线相等,条件存在关联性,点P为线段BE的中点,可采用倍长中线法.
(1)延长DP至点F,使得DP=PF,连接BF、AF和AD,如图2所示,易证△ABF≌△ACD,由全等性质可得∠BAF=∠DAC,所以∠FAD=90°,△FAD为直角三角形.又知点P为FD的中点,所以AP=DP,得证.
(2)同样延长DP至点F,使得DP=PF,连接BF、AF和AD,如图3所示.已知△ABC∽△DEC,则AB:AC=DE:DC,又知DE=BF,所以AB:AC=BF:DC.通过角度代换可得∠ACD=∠ABF,所以△ACD∽△ABF,可得∠BAF=∠CAD,所以∠FAD=90°,△FAD为直角三角形.同理可证AP=DP.
评析 上述问题突破时充分利用中线倍长法,把握线段中点,构造倍长线段,形成全等三角形,推导出等长线段,为后续的结论推导作铺垫.中线法有转移线段和几何角的作用,探究学习要领悟其中的构造思想.
2 斜边“中”,是一半
斜边“中”,是一半,即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.因此解题时若出现直角三角形斜边三角形的中点,则可以把握该特性,联想斜边中线,由中点转换为斜边中线.
例2 如图4所示,BN和CM分别为△ABC的两条高,点D和E分别为BC和MN的中点,试证明DE⊥MN.
解析 本题目求证两线垂直,可先连接DM和DN,由直角三角形斜边上的中点联想中线,利用中线推导结论,具体如下.
连接DM和DN,已知BN和CM分别为△ABC的兩条高,则BN⊥AC,CM⊥AB,所以∠BMC=∠CNB=90°.
又知点D为BC的中点,则DM和DN分别为Rt△BMC和Rt△BNC对应斜边上的中线,则有DM=12BC,DN=12BC,所以DM=DN,从而可知△DMN为等腰三角形.
而点E为MN的中点,所以DE⊥MN.
评析 上述问题解析充分利用了直角三角形斜边中线的性质,由斜边中点展开联想,构造中线,推理线段关系,进而推导出等腰三角形,完成证明.解题探究中需充分理解定理特性,形成“直角三角形→斜边中点→三角形中线→线段关系”的系统解题思路.
3 等腰底,中垂分
“三线合一”是等腰三角形重要的性质定理,即等腰三角形底边上的高、中线和垂线重合.故问题中出现等腰三角形底边中点时,可过中点作垂线,构造垂直平行线,可在等腰三角形中实现性质结论转换.
例3如图5所示,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=BC,BD是∠ABC的平分线,且AD⊥BD于点D,交AC于点E,试证明BE=2AD.
解析 本题目要求证明线段关系,图形中存在众多的特性,BD平分∠ABC,则可以把握该特点,通过补形构造等腰三角形,利用特性逐步推导,过程如下.
延长AD和BC,设两线的交点为F,则△ABF为等腰三角形,如图5所示,由于BD⊥AD且BD平分∠ABC,由等腰三角形的三线合一可得AD=FD.
通过等角代换可得∠FAC=∠CBD,又知∠FCA=∠ECB=90°,AC=BC,可证△AFC≌△BEC,由全等特性可推知AF=BE,所以AD=12BE,即BE=2AD.
评析 上述问题突破时充分利用了等腰三角形的特性“三线合一”,充分把握图中的角平分,构造等腰三角形,基于底边“中点”展开联想,推导线段关系.解题探究时需要充分理解“三线合一”,把握其中的中点、垂足、平分点,形成等角、等边、垂直三者关系之间的互推.
4 结语
总之,把握几何“中点”,善于联想构图,可以高效解题.基于中点开展的构图及思路展开,核心是几何定理,如上述的斜边中线特性、“三线合一”、垂径定理,在初中几何中有着重要应用.因此开展中点联想探究,要立足几何定理,总结构图方法,形成有效的解题策略.