一道2021年高考题的深入研究
2022-05-30王振民苏凡文
王振民 苏凡文
【摘要】笔者大胆揣测新高考数学试卷22题的右侧不等式的命制过程，结合题源分析，给出了切线放缩、割线放缩证明不等式这一方法，并在高考题目的基础上给出了变式，发展出了直线放缩与曲线放缩，丰富了证明不等式的方法.
【关键词】切线放缩;割线放缩;变式;直线放缩;曲线放缩
题目原创命制的流程，一般是先明确要考查的知识，在命题者固有知识的基础上，通过具体逻辑推理，借助数学软件，进行相应的数学运算，经过反复验证、修证、查重等过程，最终形成一道新的题目.原创题要满足题目叙述的完整性、简洁性与准确性，提供的答案要满足知识考查的全面性与解题过程的一般性、多样性，满足答案最终结果的简单性.一道比较成功的数学原创题，考察的知识与方法要有极强的针对性，同种形式的问题考察不同的知识与方法，最大限度的发挥数学题目对知识全面考查的作用.多问之间有所衔接，达到多一问则简，少一问则繁的目的.
2021年新高考数学22题的第2问，左侧不等式属于极值点偏移问题，直接构造φ（x）=f（x）-f（2-x）即可，而对于右侧不等式来说，答案给出的方法是构造g（x）=f（x）-f（e-x），同一个题目中的两个不等式证明，虽然具体证明过程不完全一样，但是证明的数学思想与方法相同，这对于一道高考题目来说是令人惊讶的.笔者根据自己长年命题的经验知道，当命题人命制出一道题目后，命题人提供的解题方法最能体现命题人的命制过程与命制思想.当题目被广大的教师与学生解答后，会呈现出更多的出乎命题人意料的解法.本文大胆揣测命题人的题目命制的题源与过程，给出对应的解法，并加以推广.
1沿波讨源
题目1切线放缩
已知函数f（x）=nx-xn，x∈R，其中n∈N*，n≥2.
（1）讨论f（x）的单调性;
（2）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）;
（3）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实根x1，x2，求证：|x2-x1| 图1 （2015年天津卷） 分析本题的第（2）问为第（3）问的切线放缩做了铺垫，提示了在原点处亦作函数的切线进行放缩.原点处的切线方程为y=nx， 由（2）可知在点P（n1n-1，0）处的切线方程 g（x）=（n-n2）（x-n1n-1）， 设y=a与两条切线交点的横坐标分别为x3，x4，如图1所示， 易证得x3 则|x2-x1|<|x4-x3|， 易得x3=an，x4=an（1-n）+n1n-1， 所以|x4-x3|=a1-n+n1n-1， 因为n≥2时， 2n-1=（1+1）n-1≥1+C1n-1=1+n-1=n， 所以2≥n1n-1，|x4-x3| 即|x2-x1| 总结直线y=a与上凸或下凸的单峰函数交点A、B的横坐标分别为x1、x2，与函数峰值两侧的切线交点C、D的横坐标分别为x3、x4，则 AB 即|x2-x1|<|x4-x3|（|x2-x1|≤|x4-x3|）. 题目2割线放缩 已知f（x）=xlnx与y=a有两个不同的交点A，B，其横坐标分别为x1，x2（x1 （1）求实数a的取值范围; （2）求证：x2-x1>ae+1. 图2 分析如图2，x2-x1表示线段AB的长度，通过图象可以看出，可以将线段AB适当缩短为长度为ae+1的线段.因为函数图象是上凸的，所以可以考慮割线放缩.函数f（x）的极小值点为M（1e，-1e），与x轴的交点为N（1，0），连接OM、MN，割线OM的方程为y=-x，割线MN的方程为y=1e-1（x-1）. 设直线y=a与两条割线交点的横坐标分别为 x3，x4，且x3 易证得x1 则x4-x3 易解得x3=-a，x4=ae-a+1， 得x4-x3=ae+1， 所以x2-x1>ae+1成立. 总结直线y=a与上凸或下凸的单峰函数交点A、B的横坐标分别为x1、x2，与函数峰值两侧的割线交点C、D的横坐标分别为x3、x4，则AB>CD，即|x2-x1|>|x4-x3|. 题目1利用的是切线放缩，题目2利用的是割线放缩，能否在一个题目中同时利用切线与割线放缩呢？ 2应用拓展——切、割线放缩的综合应用 题目3已知函数f（x）=x（1-lnx）. （1）讨论f（x）的单调性; （2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1a+1b 分析由第（2）问可知 1a1-ln1a=1b1-ln1b， 令x1=1a，x2=1b， 则x1（1-lnx1）=x2（1-lnx2）， 所以f（x1）=f（x2）=t， 只需要证明x1+x2 图3 函数f（x）的最大值点为P（1，1），与x轴的交点为E（e，0）. 如图3，割线OP方程为 y=x， 过点E的切线方程为 y=-x+e. 设直线y=t与割线、切线的交点分别为x3，x4. 易证得x1 则x1+x2 易解得x3=t，x4=e-t， 所以x3+x4=e， 于是x1+x2 总结直线y=a与上凸或下凸的单峰函数交点的横坐标分别为x1，x2，在函数峰值两侧分别作割线、切线，直线y=a与割线、切线交点的横坐标分别为x3，x4，则x1+x2 高考题的精彩之处就是在学生具备的知识与方法的基础上再提高，既着眼于学生的最近发展区，又有较高的思维含量，考查学生的发散性思维与创新能力.我相信本题的命制是命题人研究切线放缩与割线放缩时两种思想方法碰撞的结果. 3高考题目变式 变式1切割线放缩 题目4已知函数f（x）=x（1-lnx）. （1）讨论f（x）的单调性; （2）存在两个不相等的正数x1，x2使得f（x1）=f（x2）=a，证明：x1+x2>a（2-e）+e-1e. 分析因为均与a有关，可以考虑切、割线放缩将x1与x2缩小.如图4，图象是上凸的，所以可以通过切线将x1缩小，通过割线将x2缩小.函数f（x）的最大值点为P（1，1），与x轴的交点为E（e，0）. 由于不等式中含1e，故在点A1e，2e处的切线方程为y=x+1e;图4 连接EP，割线EP的方程为 y=11-e（x-e）， 设y=a与切线、割线的交点的横坐标分别为x3，x4，易证得x3≤x1，x4 则x1+x2>x3+x4. 易解得x3=a-1e，x4=e+a（1-e）， 所以x3+x4=a（2-e）+e-1e， 于是x1+x2>a（2-e）+e-1e得证. 变式2切线放缩 题目5已知函数f（x）=x（1-lnx）. （1）讨论f（x）的单调性; （2）存在两个不相等的正数x1，x2（x1 x2-x1 图5 分析因为函数图象是上凸的，证明关于f（x）与y=a交点的距离小于某个值的不等式，可以考虑切线放缩.由于不等式中含1e，故在点A1e，2e处做切线，切线方程为y=x+1e;f（x）与x轴的交点E（e，0）处的切线方程为y=-x+e.直线y=a与两条切线的交点的横坐标分别为x3，x4， 易证得x1≥x3，x2 所以x2-x1 易解得x3=a-1e，x4=e-a， 则x4-x3=e+1e-2a， 于是x2-x1 变式3割线放缩 题目6已知函数f（x）=x（1-lnx）. （1）讨论f（x）的单调性; （2）存在两个不等的正数x1，x2（x1 图6 分析因为函数图象是上凸的，证明关于f（x）与y=a交点的距离大于某个值的不等式，可以考虑割线放缩.函数f（x）的最大值点为P（1，1），与x轴的交点为E（e，0）.连接OP、EP， 割线OP的方程为y=x， 割线EP的方程为y=11-e（x-e）， 两条割线与直线y=a交点的横坐标分别为x3，x4， 易证得x1 则x2-x1>x4-x3. 易解得x3=a，x4=a（1-e）+e， 则x4-x3=e（1-a）， 于是x2-x1>e（1-a）得证. 4切割线放缩应用的推广 题目7函数f（x）=xex，若f（x）=a有两个根x1，x2，证明：x2-x12>1-ae. 分析要证x2-x12>1-ae成立， 需证x2-x1>2-2ae， 图7容易想到割线放缩.函数f（x）的最大值点为P1，1e，连接OP，割线OP的方程为y=xe，与直线y=a交点的横坐标为x3，易证得x3>x1，解得x3=ae.在直线x=1的右侧，显然过点P的割线部分在曲线f（x）的上方，部分在曲线f（x）的下方，无法实现x2的有效放大，故放弃割线放缩. 因为x3>x1， 所以x2-x1>x2-x3=x2-ae>2-2ae， 得x2>2-ae. 过点P1，1e的直线设为y-1e=k（x-1）， 将点（2-ae，a）代入直线方程解得k=-1e， 所以直线y=-1e（x-2）. 直线y=-1e（x-2）与y=a交点的横坐标为x4， 易证得x4 则x2-x1>x4-x3. 解得x4=2-ae， 所以x4-x3=2-2ae， 于是x2-x1>2-2ae得证， 即x2-x12>1-ae成立. 题目8已知函数f（x）=lnx-ax，若x1，x2（x1 x2-x1>21-eaa. 分析由f（x）=lnx-ax有两个零点可得 0 由21-eaa可联想到Δa，即x3，x4（x3 显然x3<1a 因为函数f（x）与g（x）的极值点相同， 所以只需要满足g（x1）>0，g（x2）>0， 图8 即ax21-2x1+e>0，ax22-2x2+e>0， 因為lnx1-ax1=0，lnx2-ax2=0， 即a=lnx1x1，a=lnx2x2， 所以x1lnx1-2x1+e>0，x2lnx2-2x2+e>0. 令h（x）=xlnx-2x+e，h′（x）=lnx-1， 所以h（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数. 因为f（e）=1-ae≠0， 所以h（x）的定义域为（0，e）∪（e，+∞）， 可得h（x）>h（e）=0， 故h（x1）>0，h（x2）>0，得g（x1）>0，g（x2）>0， 因为g（x3）=g（x4）=0， 所以x1 则x2-x1>x4-x3. 因为x4-x3=（x3+x4）2-4x3x4 =4a2-4aea2=21-aea， 于是x2-x1>21-eaa得证.
