用"截长补短法"巧解线段和差问题

贾立娟

【摘要】在初中数学几何问题中，常见一种求线段和差的问题.这类问题如何解決，确实对学生造成了一定困扰.接下来，本文尝试利用"截长补短法"巧妙化解.

【关键词】截长补短;线段和差;几何问题

例如

分析在寻找本题的解题思路时，可从本题的结论出发，采用"截长，或"补短，都能将问题巧妙的转化成证明两条线段相等的问题.

思路1

分析"截长补短法，分为"截长法，或"补短法，.细观图1不难发现，可以先将 AC延长，然后构造出等腰三角形，通过角的关系为全等三角形准备条件.最后，通过全等三角形将边转化.具体解题过程如下：

解

思路2

分析受思路一的启发，既然可以延长 AC构造出等腰三角形，那么完全可以延长 BC也构造出等腰三角形.于是延长 BC，然后构造出等腰三角形ACF，再通过"∠ACD=2∠B，、"AD平分∠BAC"两个条件证明得到第二个等腰三角形 ADF.最后，将边的问题巧妙转化.具体解题过程如下：

解

思路3

分析思路一和思路二都是"补短法，，那么接下来可以尝试"截长法，.该法只需在 AB上截取一条与 AC相等的线段，然后通过全等三角形、等腰三角形实现角的转换和边的转换，最终证明AB=AC+CD.具体解题过程如下：

解

变式

分析本题与例题有异曲同工之妙，受例题启发，本题也可以用截长或补短的方法构造出全等三角形，然后将边的问题转化.因此，有以下三种不同解法：

解法1

解

解法2

解

解法3

解

需说明的是，变式题解法二、三的旋转方法与"截长"、"补短"会达到相同的解题效果，所以，变式题的最后两种解法中的作辅助线可由旋转实现.

综上所述，在证明两条线段的和或差时，可以利用"截长补短法"将问题转变为求证一条线段与另一条线段相等.这时候，只需构造出三角形，然后利用全等三角形便可完成证明.在各种不同的解法当中，灵活的思维能力尤为重要，这是一题多解、变式解题中的关键所在.这方面能力，一线初中数学教师们要对学生进行有针对性的培养或者训练.