高考概率题分析及教学策略

2022-05-30赵永刚

数理天地(高中版) 2022年2期

赵永刚

【摘要】高中数学新课标重点立足于学生核心素养的提升，其中提升学生数据分析能力是六大核心素养的重点内容.以数据分析处理能力为考查指向的高考概率题为研究对象，分析提升高中数学核心素养为核心的数据分析处理能力培养的教学策略，从教师增强数据应用意识，在课堂践行自主课堂教学模式，使高中生在获取资料问题、分析数据信息、有效处理的过程中，培养高中生数据处理能力.

【关键词】数据分析处理;教学策略;核心素养

1 提升学生数据分析处理能力的重要意义

1.1 数据分析是数学六大核心素养之一

数学数据处理能力是高素质人才不可或缺的一项重要技能，在高中数学教学过程中，提高学生的数学数据处理能力是非常重要的一环.在核心素养培养的背景下，提高学生对数学知识的条理性和灵活运用能力，使其能够扎实的掌握数据分析能力是当前高中数学教师必须重视的重要课题.《普通高中数学课程标准（2017 年版）》将“数据分析”列为高中数学六大核心素养之一，具体主要表现为：收集并整理数据，理解并处理数据，获得并解释结论，概括并形成知识[2].从能力水平和要求上呈现金字塔结构.数据对于国家和企业的重要性不言而喻.学校是培养人才的主阵地，高中数学教学担负着挖掘并培养学生数据分析潜力的重要任务.

1.2 数据分析素养体现新时代育人方向和价值

通过高中数学的学习，学生能够提高定量分析和获得有效信息的意识和能力;积累通过数据分析探索事物本质和规律的经验;适应数字化学习需要，增强以数据为基础反映实际问题的意识，形成以数据为基础认识事物的思维品质[2].在此基础上，将育人方向落实到三个目标上：提升学生主动获取有效信息、定量分析的意识和能力;帮助学生积累数据分析的实践经验;形成灵活运用数据分析问题的思维习惯和品质.

1.3 数据分析素养是适应新时代的基本要求

数据分析是研究探讨随机现象的重要技术，是“互联网+”等相关领域的主要数学方法，也是大数据时代对于数学应用的主要方法，数据分析已经渗透到现代科学技术和社会生活的各个角落.大数据时代的主要特征就是信息技术和经济、社会活动深度融合，而推广大数据技术，提升人们的数据分析素养是这个时代的基本要求.

2 近几年数据处理能力的考查指向题分析

2.1 考查收集数据、描述数据的能力

数据处理能力考查的主要方面有：能够掌握运用调研、实验和查阅资料等收集数据的基本方法;根据问题的需要，选择随机抽样、分层抽样等不同的抽样方法收集数据;合理运用饼形图、条形图等统计图表对数据进行直观描述，能够通过统计图表识别数据的数字特征.

例1 （2018年全国统一高考数学试卷（理科））某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

解析设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a.

A项，种植收入37%×2a-60%a=14%a>0，

故建设后，种植收入增加，故A项错误.

B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，

建设前，其他收入为4%a，

故10%a÷4%a=2.5>2，

故B项正确.

C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，

建设前，养殖收入为30%a，

故60%a÷30%a=2，

故C项正确.

D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）×2a=58%×2a，

经济收入为2a，

故（58%×2a）÷2a=58%>50%，

故D項正确.

因为是选择不正确的一项，

故答案选：A.

点评本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力.

2.2 考查整理分析数据的能力

数据处理能力包括以下几个方面，能够运用恰当的数学方法处理数据;能够综合运用数字、文字、图形、表格等多种形式描述数据并认清数据之间的关系;能根据不同的条件适用正确的方法，并发挥想象力创造新的方法.

例2 （2021年全国高考数学甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

解析因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02 + 0.04=0.06=6%，故A正确;

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04 +0.02x3 =0.10=10%，故B正确;

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为

0.10+0.14 +0.20x2= 0.64= 64% > 50%，故D正确;

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

3x0.02+4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02 =7.68（万元），超过6.5万元，故C错误，选C.

点评该题考查学生概率统计中直方图.组中值、频数、频率、总体与样本等基本概念知识，考查学生综合运用文字、数字、直方图等多种形式对数据进行整理和描述，清晰反映资料数据之间的关系，并分析数据的数字特征，进而考查频数、频率的计算，通过样本的平均数估计值如何估计总体估计值的计算，以此考查学生运用直方图解决经济生活中出现的数据分析问题的能力.

2.3 考察通过数据处理进行预报、推断的能力

数据处理能力要求学生能根据问题的需要，用合适的度量来表达数据的差异性，通过常见的两点分布、超几何分布、二项分布以及正态分布等概率模型，从复杂的数据中提取有效的信息，为科学合理决策提供数据推理依据.

例3 （2021年全国高考数学乙卷）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x-和y-，样本方差分别记为s21和s22.

（1）求x-，y-，s21，s22;

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y--x-≥2s21+s2210，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

解析

（1）

依题意，

y--x-=0.3=2×0.5=20.152=20.0225.

20.036+0.0410=20.0076.

y--x-≥2S22+S2210.