数学教学要“讲理”

齐铁清

摘要：数学源于对现实世界的抽象，学习数学讲究弄懂道理、明白算理、研究推理。小学生学习数学的特点是以具体形象思维为主，逐渐向抽象逻辑思维过渡，在小学数学学习中如何处理好抽象与形象之间的关系是解决教与学之间矛盾的关键。《义务教育数学课程标准（2022年版）》关注这一矛盾，在考虑学生学习兴趣和接受能力的同时，适时、适度地进行渗透、引导，从学生熟悉的情境入手，使学生在感受具体情境中、在亲身参与的动手活动中去感悟数学原理。数学教师要及时关注这一变化，探索相应教学策略，在课堂上为学生营造良好的数学学习环境。

关键词：课程标准;课堂教学;数学原理

数学本身是一门“讲理”的学科。学生认识事物、学习数学的心理特征决定了小学数学教学应以形象思维、具体活动为主，但这不等于就“不讲理”。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的变化中我们可以看到，其在考虑学生学习兴趣、接受能力的同时，尽量让学生感悟、理解、表述数学道理，真正做到“逐步形成会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”。“讲理”这一理念贯穿于整个新课标之中，在课程内容中的实例部分尤为突出，本文仅以认数、计算、推理三个实例来分析这一理念对小学数学课堂教学的影响。

一、认数讲道理

“数与代数”是义务教育阶段学生数学学习的重要领域。数的认识包括对整数、小数和分数的认识。在这部分内容的学习中，学生经历由数量到数的形成过程，需要理解和掌握数的概念。对数的概念的建立，教师必须从基础开始，让学生明白道理。

（一）整数比较讲对应

在学习整数的大小比较时，新课标要求了解符号[<]、=、[>]的含义，会比较万以内数的大小;通过数的大小比较，感悟相等和不相等关系;通过数量多少的比较，理解数的大小关系。其设计了“通过对应理解大小关系”的实例：图1中第（1）题是小华完成的，你能像他一样完成其他两道题吗？

这样设计，意在使学生通过两个集合中元素之间一一对应的方法判断集合中元素的多少，这种对应的方法是数学学习的基本方法。通过对应的方法，学生可以感受到由数量抽象到数、由数量的多少关系抽象为数的大小关系。在这个实例中，学生可以通过“连一连”比较两个集合中元素的多少，进一步感知用一一对应的方法能够进行数量多少的比较，建立数感。

在直观比较中，学生建立起的一一对应概念是学生认识数、认识数的大小的最基本的理念，是学生以后学习各种数学比较的基础与起点，在学生认数的学习中起着非常关键的作用。

（二）分数比较讲单位

在学习分数的认识时，新课标要求结合具体情境，初步認识分数，感悟分数单位，设计了“比较[12]和[13]大小”的实例。课程标准通过“把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，比较其中1份面积大小”的方法，意在引导学生直观理解分数的大小;然后，进一步把两个圆都平均分成6份，通过[12=36]，[13=26]，[36>26]，所以[12>13];帮助学生理解分数单位之间的关系，使学生知道只有在相同的单位下才能比较分数的大小，这个法则与整数比较大小的法则是一致的。

同样的单位下才能比较大小，这是“通理”，无论是整数、小数还是分数都适用。但在以往的小学数学教学中，有些教师更多的是通过具体情境来让学生观察，很少让学生感悟、理解道理。其实，这里的感悟非常重要，因为在学生打基础的过程中这种感悟的缺失是导致其后续学习衔接不畅的根本原因。

通过“把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，比较1份面积大小”的方法，可使学生直观理解分数的大小。这种直观感受的方法对于小学生来说是可以接受的，通过观察得出“同样一个圆，分得份数越多，其中的1份就越小”的结论，学生也可以做得到。问题是只凭这种直观感觉，学生并没有真正理解分数单位。如果教师能在此基础上再深入一步，把两个圆都平均分成6份，使学生通过[12=36]，[13=26]，[36>26]，得出[12>13]的结论，这里比较的是3个[16]和2个[16]之间的关系，学生感悟到的就是只有在同样的单位下才能比较分数的大小。单位相同，个数多的数就大，这与学生对整数的理解是相通的。教师不必计较这里学生懂不懂什么是通分，不必计较怎么想到的要分成6份，更不必计较学生知不知道[36]-[26]怎样计算。数学学习是需要逻辑性和循序渐进的，有些内容不是学生见到之后马上就能完全学会的。很多内容正是这种有计划地反复呈现，才逐渐内化成学生知识体系中的有机组成部分。

这样，通过一一对应来比较集合中元素多少的办法来比较大小，讲的是事实;在单位相同的情况下，通过比较单位个数的方法来比较大小，讲的是道理。这些道理是通过看得见、摸得着的事实得出来的，“事”“理”相通，即为讲道理。

二、计算讲算理

计算是小学数学学习的主要内容之一。小学数学中的计算主要是整数、分数、小数的四则运算。新课标要求经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法。在以往的教学中，有些教师习惯以计算方法为主，很少引导学生去理解算理。从新课标的调整变化中我们可以看出，其对算理的重视，无论是过程的探索还是结论的理解，在整数乘法和分数除法教学的变化上体现得非常典型。

（一）乘法意义讲关系

新课标对整数乘除法的要求是：探索乘法和除法的算理与算法，会简单的整数乘除法;在具体情境中了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系。课程标准在“运算与运算之间的关系”的实例中列举了“二年级（3）班有8个学习小组，每组5人，这个班一共有多少人？”的例子（如下页图2）。针对问题背景，教师要让学生经历用图形表示数量关系的过程，理解乘法运算以及乘法与加法的关系。

这个关系在课堂教学中一般不太容易引起教师的注意，大多数教师只是用来让学生看看乘法和加法计算的结果是相等的。其实，这个关系的理解能力对于学生理解乘法算理、感悟运算之间的关系非常重要。图2中三个双向箭头连接的三个方框实际上是对一个事件的三种不同解释。三种解释从语言描述到图形表示再到算式，是一个逐渐抽象的过程，表示的都是“这个班一共有多少人”，特别是通过这种关系让学生明白图中的乘法算式和加法算式表示的意义完全相同。学生的感悟能力无论是对算理的理解还是算法的运用都是至关重要的。

（二）除法运算讲等量

以往的很多教材在教学分数除法时主要是对“除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数”这一算法的掌握，很少探究算理。分数除法的算理一直是小学数学的一个难点，也是学生理解算理的一个盲点。很多教材在处理一个数除以整数、一个整数除以分数之后就得出“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”的结论，然后应用这个结论来计算分数除以分数。这很难让学生信服，因为学生很难理解其中的算理。这样，虽然不影响学生计算的正确性，但是影响对算理的理解，影响其以后的学习。

新课标在描述“整数除法与分数的关系”时很好地解决了这一问题，其要求结合具体情境理解整数除法与分数的关系。课程标准在“除法可以写成分数的形式”这一实例中探讨了“为什么4÷2可以写成[42]”。这里主要是理解除法可以写成分数形式，这是理解分数运算的关键。

新课标先是通过除法运算的意义和分数的意义理解它们之间的等价关系：除法运算可以表示把4个苹果平均分给2个人，每人分到2个;分数可以表示4个苹果的[12]，等价于2个苹果。

然后，新课标通过算理进行一般性说明。怎样知道“4÷2=△”中的“△”是多少？由于除法是乘法的逆运算，因此“4÷2=△”等价于“4=△×2”。根据等式的基本性质，等式两边同乘[12]等式不变，得到4×[12]=△。根据基本事实“等量的等量相等”，得到4÷2=4×[12]成立。因为4×[12]表示4个[12]相加，可以写成[42]，所以4÷2=[42]。4÷2=4×[12]这个结果表明，除以一个数等于乘这个数的倒数。

有了这个基础，对于像[37]÷[23]这样一般情况的分数除以分数的题，为什么也适用“除以一个数等于乘这个数的倒数”的结论，学生就完全可以理解了。

虽然结论是一样的，都是想得出“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，都是想说明“加法运算与乘法运算之间的关系”，但是过程也非常重要，因为学生可接受、能信服。这个一般方法是通过理解算理的过程得出的，“法”“理”相通，即为讲算理。

三、推导讲推理

推理是数学核心素养的重要组成部分，是学生数学学习的基础。在小学数学的学习中特别强调感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和初步的推理意识，养成良好的数学学习习惯。推理对于数学学习，既是一种意识，又是一种习惯。

（一）进行推断讲规律

在研究数量关系的部分，新课标要求能解决生活中的简单问题，并对结果的实际意义作出解释，经历探索簡单规律的过程。新课标安排了“寻找规律进行判断”的实例：联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？这是在借助符号表示规律的基础上，使学生感知通过规律可以进行推断。解决这个问题，学生可以有多种方法，可以用字母来表示，用 A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，排列顺序可以表示为：AAABBCAAABBC……从中找出第 16个字母，由此推断第16个气球的颜色。

这里设计的“第16个气球是什么颜色”这个问题中的“16”很有讲究。此前研究的“用不同符号表示变化规律”（如图3），要求在横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。主要是启发学生在解决问题的过程中探索规律，引导学生感悟对具有规律性的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同。

这里要求学生寻找规律进行判断，对于第16个气球颜色的判断，既不必把前16个符号都写出来，也不是不能写出16个符号。这个“寻找规律进行判断”的尺度把握得非常好，它既不是完全具体形象化地去数，也不是按照成型的公式去算，而是根据发现的规律进行判断。

（二）方法转化讲迁移

在数与运算的学习中，新课标要求在具体情境中认识万以上的数，了解十进制计数法;探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化。新课标通过实例进行了具体的阐释：学校图书馆为同学们购买图书，其中绘本每本14元，如果买12本，需要付多少元？在知道两位数乘一位数的基础上，引导学生探索两位数乘两位数的方法，感悟从未知到已知的转化。

这里的重点是理解从一位数乘法到两位数乘法算理和算法的迁移。学生已知14×10的计算方法和14×2的计算方法，在此基础上去探索14×12的计算方法。教师可引导学生将12分解成10+2，然后利用横式体现算理：14×12=14×（10+2）=14×10+14×2，这样就可以把未知转化为已知。在分析的基础上建立乘法运算竖式，从算理过渡到算法，在这样的过程中可以发展学生的运算能力和推理意识。

对于这样的设计，以往的教材中是很少看到的。很多教材在处理14×12的竖式时都是在强调“1与4的乘积为什么要写在十位上”，很少有让学生感受到这一步为什么是14×10的。如果学生自己能推导出14×12=14×（10+2）=14×10+14×2这一过程，那对于竖式为什么要这样写，自然就从道理上弄明白了。

这些是在寻找规律的基础上进行的判断，是在分析的基础上建立乘法运算竖式，推导过程步步合情，“情”“理”相通，即为讲推理。

认数讲道理、计算讲算理、推导讲推理，步步紧扣，逐层深入。如果按照这个逻辑学数学，学生就会越来越有逻辑性，越来越懂道理。

数学学习中的讲理不等于教师和学生在课堂上去“讲”，数学学习中的“理”不是用来“讲”的，是用来感悟、用来分析、用来体验的。以“理”为前提，数学学习中的直观、形象、图形、情境才有意义。有“理”做保障，数学学习中的推导、迁移、类比、证明才有根基。

参考文献：

[1]史宁中. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订与核心素养[J]. 教师教育学报，2022 （3）.

[2]教育部.义务教育教学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

（责任编辑：杨强）