注重整体设计 凸显数与运算的一致性

陈惠芳

摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》确立了核心素养导向的课程目标，强调课程内容组织“重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”，强调重视单元整体教学设计：“体现数学知识之間的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。”教学中，教师要从课堂实践出发，选择典型案例，重点凸显素养导向下的数学教学设计;要突出结构化、整体化，力求体现数与运算的一致性。

关键词：整体设计;数与运算;一致性

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）确立了核心素养导向的课程目标，强调课程内容组织“重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径，强调重视单元整体教学设计“体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”。由此可见，素养导向下的数学教学实践，尤其是小学阶段的计算教学，教师要突出结构化、整体化，要体现数与运算的一致性。

一、打通关联，凸显理法相融

新课标在课程目标中强调了数学课程要培养学生的核心素养，具体要达到“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”这一要求。数学核心素养具有整体性、一致性和阶段性。

例如，在教学 “小数加法和减法”时，教师不妨可以从整数加、减法切入，使学生从“计算单位”角度重新认识数，理解小数加减法的算理和算法，凸显整数、小数、分数的理法相融。

新课伊始，教师可先让学生回忆低、中年级时学过的“整十数加整十数30+20、一位小数加一位小数0.5+0.7，同分母分数加减法[28]+[58]”，提出问题：它们的算法和算理是怎样的？以唤醒学生的已有知识和解决问题经验。

接着，教师可出示教材例题，根据其中文具店里笔记本、讲义夹、水彩笔等商品的单价，让学生尝试提出不同的问题。教师出示两个问题和相应算式：一个讲义夹和一本笔记本一共多少元？一个讲义夹比一本笔记本多多少元？（4.75+3.4，4.75-3.4）

在学生尝试探究时，教师指名两个学生上台板演：（如图1）

在讲评算理和算法时，教师可以让学生说明理由，提问：第二种方法为什么是错的呢？你能用自己的方法进行验证吗？

生：我利用原有元、角、分的知识来进行说明。4.75元，就是4元7角5分，3.4元就是3元4角，加起来，应该是8元1角5分。

生：我利用图形来摆一摆，先用正方形分别表示出4.75和3.4，然后相加。利用几何直观可以发现，百分位上是5，十分位上是7个十分之一加4个十分之一，就是11个十分之一。因此，向个位进“1”，个位上“4和3合起来是7”，再加1就是8，结果也是8.15。

生：我要抓住“计数单位”来说明算理。4.75=4×1+7×0.1+5×0.01（就是4个1、7个0.1和5个0.01），3.4=3×1+4×0.1（就是3个1、4个0.1）。从这里可以看到，5个0.01就是0.05，7个0.1加4个0.1就是11个0.1（满十进一），就是1个1和1个0.1。整数部分，4个1加3个1，就是7个1，合起来一共是8个1，1个0.1，5个0.01。

此时，教师可引导学生观察这3种不同的解题方法与之前学过的整数加减法有什么相同的地方，同时追问：计算小数加减法要注意些什么？通过观察、比较，学生清晰地看到，小数加减法与整数加减法的算理算法是一致的：小数加减法要把小数点对齐，这样才能做到数位对齐。然后，教师引导学生重点从计数单位来分析、观察，4.75和3.4分别表示什么意义？我们在计算时是如何相加的？这样的分析与比较，一方面打通了“数域”之间的关联，凸显了算理算法的融通;另一方面，通过前面的复习导入到新课学习过程，学生经过尝试练习、观察比较，对整数、小数、分数加减法的计算一致性有了深刻体悟。

二、聚焦本质，实现经验迁移

新课标在第三学段的教学提示中指出：通过整数的运算，感悟整数的性质;通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数范围在运算中的作用，感悟运算的一致性。小学阶段的数与运算主要包括整数、小数、分数及其四则运算，从横向（数的认识发展）与纵向（不同运算发展）的联系看，在“分数除以整数”的教学中，教师可以帮助学生聚焦本质，从整数除法、分数意义、分数乘法入手，理解分数除法的意义和计算方法，实现经验的有效迁移。

例如，教师在出示例题后，可以引导学生列出算式：[45]÷2 ，这个分数除以整数的题目，如何计算呢？教师请学生利用已有的知识经验先尝试解决。接着，教师选择了三份不同的作品进行展示，让三位“小老师”进行讲解。

生：如图2，我把[45]升果汁化成800毫升，800÷2=400（毫升），400毫升=[25]升。

教师指名两名学生上台板演。

师：为什么想到把[45]化成[1215]呢？

生：因为4÷3除不尽，所以根据分数的基本性质，把[45]先化成[1215]，12个[115]，平均分成3份，每份就是4个[115]。

教师对后一名学生的想法进行了肯定，随即呈现了“小数除法”中的例题，当12除以5，第一次商是2余2的情况下，我们在余下的2后面添0 ，表示20个十分之一，继续除下去， 20个十分之一除以5就是4个十分之一。所以，最后的商是2.4。

由此学生可得出，把整数除法的经验迁移到小数除法、分数除法，同样是适用的（如图6）。教师引导学生在观察、比较中探究算法，进一步聚焦计算的本质，感悟从计算单位入手，就能很好地理解一个数除以分数，为什么等于它乘以这个分数的倒数。

纵观小学阶段的计算学习，新知一般是在已有知识基础上进行建构的。通过整数除法、小数除法的回忆，可以唤醒学生对已有除法的认识。当学生在计算[45]÷2和[45]÷3时，自然会产生方法上的迁移。通过计算单位的细分，学生可以借助几何直观来探索和理解其算理，主动生成算法，完成对一个数除以分数计算方法的意义建构，并感受到“基于计算单位的视角，整数除法、小数除法、分数除法在计算方法上具有一致性”的道理。

三、注重勾连，促进深度学习

运算律是小学数学计算教学中的重要内容，利用运算律可以帮助学生进行简便计算，提高运算能力。苏教版小学数学教材四年級下册集中安排了加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律。学生在初学这些内容时，往往掌握得不错，但到期末复习阶段或者小学六年级再来梳理运算律时，在作业练习中往往出现很多错误。通过调研，我发现造成这个问题的主要原因是在教学运算律时，教师往往忽略了知识之间的勾连，学生获得的是碎片化的理解，导致其对运算律的理解不是很到位。如果站在一致性的角度，我们可以尝试这样来设计运算律的教学。

例如，在教学“乘法分配律”时，教师可将其分为六个板块有序推进。

1.复习旧知。最近，老师带领大家一起学习了加法、乘法的运算律。你能用字母表示吗？

加法交换律，加法结合律：。主要适用于加法运算。

乘法交换律，乘法结合律。主要适用于乘法运算。

请同学们猜想一下：加法和乘法之间是否也存在一种运算律呢？你打算怎样学？

2.创设情境。（情境一）庆祝“六一”节，学校给鼓号队表演的33位同学，每人买了一套运动服，每件上衣75元，每件裤子45元。一共用了多少钱？

（情境二）学校扩建一个长方形的花坛。原来花坛长6米，宽2米，扩建后的长增加了3米，求现在花坛的面积是多少平方米？

学生尝试练习、交流，教师引导学生通过图形表征，分析每个算式的意义，并用文字表征的方法，初步归纳得到：75×33+45×33=（75+45）×33 ，（6+3）×2=6×2+3×2。有的学生尝试用文字语言来描述：75×33加上45×33，等于75与45的和与33相乘;6与3的和与2相乘，等于6×2的积加上3×2的积。

此时，教师追问：“为什么每一个题目中左右两个式子是相等的呢？（学生小组合作，尝试进行验证）”有的学生从实际意义来说明：33件上衣的价钱加上33件裤子的加钱，就等于33套运动服的总价;而右边花坛的面积，我们既可以看作两个小长方形的和（用左边原来长方形的面积加上增加部分的面积），也可以从整体看（用现在的长乘原来的宽）。有的学生从计算结果来验证，有的采用数形结合来验证……其中，一位学生进行了这样的推理：（6+3）×2=（6+3）+（6+3）=（6+6）+（3+3）=6×2+3×2。

基于这样的分析，学生同样可以根据（75+45）×33，得到33个75相乘加上33个34相乘……联系乘法的意义去理解等式两边相等的道理。至此，无论从情境中的实际意义，还是从联系图形的几何意及算理推导，到最后的乘法意义说明，学生都对两个算式为什么左右相等，进行了解释和验证。

3.抽象概括。通过上面创设的情境，教师进一步引导学生把第一题、第二题的具体数字用字母来表示，再让他们尝试进行总结，借助几何直观，用字母表征。这样可帮助学生从更为一般的层面来完整理解乘法对于加法的分配律的意义。

4.回顾梳理。课始的复习环节，教师引导学生得到的猜想，已经得到验证。那么，我们刚才是怎么学习的呢？师生一起总结方法，进行巩固练习。

5.纵横勾连。教师启发学生思考：在已往的学习中，哪些地方已经运用了乘法分配律？经过讨论交流，师生一起回忆：原来在三年级学习计算长方形、正方形的周长、两位数乘一位数的口算以及两位数乘两位数乘法等内容时，我们都已经运用了乘法分配律进行简便计算。

6.拓展联想。既然乘法对加法有运算律，那么，乘法对减法有运算律吗？基于上面的学习和思考，学生也不难自主进行迁移。教师可引导学生观察得到乘法对于减法的分配律，并从乘法意义的角度，再次进行验证……

新课标在“课程内容”第二学段的教学提示中明确指出：通过实际问题和具体计算，引导学生用归纳的方法探索运算律，用字母表示运算律、感知运算律是确定算理和算法的重要依据，形成初步的代数思维。上面的教学设计，教师在学生已有经验的基础上，纵向勾连，横向生长，激活了新知与旧知之间的联系;运用数形结合，采用多元表征的方式，让学生充分理解了乘法分配律的意义，凸显了乘法分配律与乘法其他运算律实质性的区别;发展了推理能力，建构了模型思想，促进了学生的主动参与和深度学习。

参考文献：

[1]王玉彬，姚颖.探索运算本质 构建运算联系——数的运算“一致性”的探索实践与研究[J].小学数学教育，2022（9）.

[2]巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性[J].课程.教材.教法，2022（7）.

（责任编辑：杨强）