新课标下初中学生数感的培养

卢德天

【摘  要】本文从数感结构的数、运算、估计、情境四方面入手，结合实例，提出了从数的认识、数的运算与估算以及数感在解决问题中的应用这三个角度，在课堂中渗透数感思维的数感培养方法。

【关键词】新课标;数感;运算;估计

数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算及运算结果估计等方面的感悟，以及运用数字关系和数字模式进行推理与解决问题的能力，即在一定程度上能主动地、自觉地理解数和运用数的态度与意识，亦即学会“数学地”思考。在《义务教育数学课程标准（2022版）》中指出，在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力（包括数感、 量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。

数的认识是数学学习的基础。从认识自然数，到有理数、实数、复数，我们学习的数越来越复杂、抽象。但是数字的学习逃不开对于数的意义、数的关系的学习。认识数、理解数是良好运用数字的基础，也是数感建立的基础。

一、数的认识

在小学，学生认识了基本的自然数、小数。学生通常是在丰富的实际生活背景中抽象出数字的概念。进入初中后，人教版初中数学第一课是正数与负数。在学习新知识“负数”时，我们也应利用学生熟悉的情境，让学生觉得负数的出现是有必要的。

例1：（1）北京冬季里某一天的气温为-3℃～3℃。“-3”的含义是什么？这一天北京的温差是多少？（2）某年，我国花生产量比上一年增长1.8%，油菜籽产量比上一年增长-2.7%，“增长-2.7%”表达什么意思？

本章引言中给出两个具体的生活实例。温度是学生熟悉的，产量增长是生产实践中常用的数据，都是具体生动的例子。由于生活和生产的需要，产生了新的数——负数。其中，-3℃表示零下3摄氏度、增长-2.7%表示减少2.7%。在给出更多的具体例子后，我们能引导学生归纳总结：如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们。

上述的案例中，学生通过对现实世界中数量关系的观察，理解负数的现实背景和产生的必要性，也能感受到数学来源于生活，生活中处处有数学。

认识数字后，学生要意识到数字不是孤立的，学生要懂得寻找数字之间的关联。进入初中后，数的范围扩大到了实数。因此，每个数字都有所属的集合。

例2：属于下列哪个集合（   ）。

A.分数集合    B.无理数集合     C.正数集合

经过测试，50名初三学生中有32名学生选择B、C，6名学生选择A、C，10名学生选择B，2名学生选择C。对于单独选B的学生，可以认为是没想到题目多选，审题时只看了B就选了。问题是6名选择A、C的学生，经过提问了解到，学生认为的分母为3，分子为，因此很疑惑为什么不为分数。这体现学生对于数字的概念理解不扎实或遗忘。课堂上应回顾概念：既约分数的分子与分母应都是整数，分数可以化为有限小数或无限循环小数;而无理数是无限不循环小数，因此两个概念之间是互斥的。而是无限不循环小数，因此它不为分数，是无理数。数的分类是数的概念的理解与应用，也是数与数之间关系的第一部分。

再者，两个数字之间的关系有：①相等与不等关系;②相反数、倒数等关系;③平方与算术平方根等关系。数的相等关系也体现了同一个数的不同表示法，例如0.5==50%;数的不等关系就是比大小，在初中学习了正负数后，我们引入数轴这一工具。在实数章节，我们认识到数轴上的点与实数一一对应。因此不仅可以用数轴上的点表示所有的实数，还能借助数轴比大小、学习数的加减法、理解数的绝对值相反数等概念。数轴将抽象的实数具体地展现在学生面前。

例3：在数轴上画出表示的点。

表示整数、分数对学生来说是相对简单的，而表示如的二次根式，学生需要利用勾股定理，构造直角边为2，3的直角三角形，得到斜边为，从而用圆规在数轴上截出。这一结果也让学生直观感受到，是真实存在的数，是可以在数轴上表示出来的，它就在3，4之间，因此3<<4，甚至可以用二分法逼近得到3.5<<4，进而逐步求它的近似值。这些过程都可以加深学生对无理数的认识，发展学生的数感。

数的意义与关系是学习数的重点，认识数的概念，理解实际问题中的数量关系，是发展数感的关键，也是灵活运用数的基础。

二、数的运算与估算

数感的应用首先是运算，所有复杂的运算都是由基本的运算复合而成的。学生依次学习了加减乘除、乘方、开方等运算，对于运算的灵活运用建立在对于运算符号的理解上。如果没法理解根号的意义，那么就没法求出的值。因此，对于每一个运算，学生都要掌握：这个运算的目的是什么;为什么這个情境下要使用这个运算;这个算式表达的意思是什么;这个运算的结果会是怎样，即预测运算结果的范围以及判断结果的合理性。

例4：|-2|+2sin30°-（？仔-1）0

初三学生在面对本题时，50名学生中41名学生得到正确答案，其余9名学生的错因体现在：①7人对三角函数符号的理解有误;②2人绝对值运算出错。在与7名学生询问错因时，得到一个啼笑皆非的说法：当天sin30°的符号在打印时，打印成sin300。学生在同一个题目中看到sin300与（？仔-1）0，反复对比打印的结果，认为sin30°表达的是sin30的0次方。一个打印的失误暴露了学生对符号理解得不深刻。在学习三角函数时，学生有学习sin230°的记号，当时已经认识到这个记号表达的是sin30°这个数的平方，等于。联想学习下，sin30°的0次方应该写作sin030°。若老师们从更高的视角来看，高中学习了弧度制和角度制后，sin30°与sin30的含义是截然不同的。

上述案例告诉我们，数学运算许多时候以数学符号为载体，因此正确计算的前提，是对运算符号、运算法则、运算律的正确理解。

一直以来，我们习惯于教导学生分析题目条件，匹配相应解题思路，套用公式，得到唯一而准确的答案。然而估算思想却是数感概念中不可或缺的一部分。估算，或叫作计算的感觉能力，是指个体懂得什么情况宜于估计而不必作精确计算，并会加以应用，特别适用于解决日常实际问题和判断一些计算结果的合理性。在《义务教育课程标准（2022版）》中指出：“在实际情境中，运用数和数的运算解决问题;在解决实际问题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”。估算的思想，在过去的数学课程中并没有得到太多的重视，然而，估算思想在许多时候能帮助人们快速解决问题。人教版七年级下第六章实数的数学活动2中，给出数学家华罗庚的故事。

例5：据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到邻座阅读的杂志上的智力题：一个数是59319，求它的立方根。华罗庚脱口而出：39，乘客很惊奇，问计算技巧。

作为一个智力题，大多时候我们是不能硬算的，得借助一些技巧，例如估算。由103<59319<1003，可得10<<100，故是两位数;由59319的个位数字上是9，将0到9的所有数的立方都计算后可知，只有9的立方个位数字是9，因此的个位上的数是9;忽略59319中的后三位，考虑到由27000<59000<64000，可得30<<40，能估算出的十位上的数是3，因此在默认59319为完全立方数的前提下，能确认=39。

老师在平时就要创造让学生估算的机会，让学生把握好使用估算的场合，优化估算的技巧。在掌握了基本解题思路的基础上，要有意识乃至无意识地去找寻条件及结论中关于数字的特征、规律，并进行总结、实证，培养自己面对数字的感觉。并通过多次练习、反复验证，磨练、强化这种直觉及信心。

三、数感在解决问题中的应用

数学来源于生活，应用于生活，最终要高于生活。数感从情境中来，并最终运用于情境的分析和构建上。情境综合了数、运算、估计三个方面的学习。在解决一个实际情境的问题时，既包括了对情境中数量关系的理解和表述，也包括了运算及对运算结果的估计。

例6.小明到学校旁的文具店買自动笔和圆珠笔。圆珠笔295元一支，自动笔1.50元一支。小明带了12元钱，他想买3支圆珠笔和1支自动笔，能买成么？

还没看完题目，学生就会嚷嚷着说题目打印错误了！普通的圆珠笔不可能295元一支。老师可以追问，那同学们认为应该是多少钱一支呢？学生回答应该是2.95元一支。这就是数感良好的反应，学生能判断情境中数据的合理性。题目更改数据后，学生可以从两个角度解决问题：①直接计算购买3支圆珠笔和1支自动笔需要的钱数为10.35元，比较发现10.35<12，所以能买成。该方法是直接计算，会遇到2.95×3+1.5的运算，有一点运算量，但能接受。②一些学生会说：“一支圆珠笔不到3元，三支就是9元不到，加上一支2元不到的自动笔，不到12元，可以买成。”该学生的回答用到了估计的策略，等价于设圆珠笔的价格为x元/支，自动笔的价格为y元/支，由x<3y<2得到3x+y<12，从而避开较复杂的计算，解决问题。在此，估算的思想方法一定程度上有简便的效果。

当然，估算也有其局限性，不一定适用于所有

情况。

例如，老师将题目更改：“圆珠笔2.85元一支，自动笔1.45元一支，小明带了10元钱在身上，他想买3支圆珠笔和1支自动笔，能买成么？”

实际上，由于2.85×3+1.45=10，此时小明刚刚好能够用10元钱买下3支圆珠笔和1支自动笔，不过，此时上述的估算思路就不适用了：3支圆珠笔9元不到，加上1.45的自动笔，总价不到10.45元，但是不代表此时的总价格就会超过10元，因此本题不适合用估算，只能踏踏实实地硬算。

在情境中讨论问题能让学生综合调动阅读能力、分析能力、建模意识，一些开放性较强的题目也能让学生发散思维，用多种办法解决问题。在上述问题的解决和变式过程中，学生能体验到良好的数感能寻找更快捷更合适的问题解决路径，也能逐渐学会在生活中发现数学，并将所学数学知识应用于生活中。

四、结束语

数感作为数学抽象能力中最基础的一环，是解决代数问题以及实际问题的基础。数感的培养让学生学会初步地用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，掌握运用数字关系和数字模式进行推理与解决问题的能力。因此，需要教师从认识数的定义，到数的运算估算，最后实际应用三个环节给学生以帮助。在平时的课堂教学、课后作业设置，甚至于在日常生活的点滴细节上，都应该多给学生机会感知数与数量关系的存在并用以解决问题。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022：5-9.