大观念下的融合让直观插上想象的翅膀

夏厦　杨亢尔

【摘要】直观想象在数学学科核心素养体系中具有重要地位，本文以“将军饮马”为例，利用大观念引导教学，让学生所学知识形成观念性系统化的理解，实现知识的正迁移.通过探讨代数与几何、直观与抽象、感性与理性、传统与现代、一般与特殊的多角度融合，以期丰富直观想象体验，提升直观想象素养.

【关键词】大观念下;知识融合;直观想象;素养培养

用数学知识内在力量进行教学已成为当前数学教学研究的热点问题和改进教学的一个方向.随着课程改革的不断深入，超越具体的知识技能深入到思维层面的一般性思维，整体把握数学内容，实现学生数学核心素养连续性和阶段性提升，帮助学生获得“四基”，发展“四能”，这些都直指“怎样培养人”的“大观念”教学的核心地带.

1数学大观念的内涵与作用

大观念也称为大概念、核心观念等.学科大观念并非指学科中某一具体的概念、定理或法则，而是指向具体知识背后更为本质、更为核心的方法、思想和素养等[1].数学大观念指向数学学科核心素养和教学核心主题任务，是奥苏伯尔所说的知识迁移所需要的“知识结构”，或者布鲁纳提出的“发现学习”，是从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的过程.笔者参考国内外有关文献，结合多年教学经验思考提炼后认为：数学大观念是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的一般性回答，具有知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、思维的系统性和方法的普适性等表征，是研究数学对象的方法论，对于学生学习具有指路明灯的作用，对教师教学是研究问题路径和方法的向导.从数学学科知识整体构架（如图1）来看，学科大观念在数学知识构架五个层次中起到了承上启下的作用，所处的地位在达成课程教学目标方面来讲是不可或缺的，但在现实教学中往往被忽视.

2直观需要插上想象的翅膀

直观想象是发现数学结论和解决数学问题的重要素养.直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识.正如数学家克莱因所说：“数学的直观就是对概念、证明的直接把握.”[2]史宁中教授指出，数学的结论常常是“看”出来的，不是“证”出来的，这种“看”依赖的就是数学直观.章建跃则强调加强获得数学研究对象的过程发展直观想象素养.在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现结论、做出猜想的例子比比皆是.数学思维不是仅仅只存在于抽象层面，而是在很多场合中借助直观手段展开的.所以，直观想象在数学活动中“是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础”，这也使直观想象素养超越了几何直观和空间想象的限制，成为更具普遍意义的数学学科核心素养.为让学生理解数学知识的直观含义和直观思路，笔者以“将军饮马”问题为例，从代数与几何、直观与抽象、感性与理性、传统与现代、一般与特殊等多角度融合，以期丰富学生直观想象的基本活动经验，愿与各位分享，欢迎批评指正.

3大观念下多角度融合的尝试

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B营地，应该怎样走才能使路程最短？ 从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.

3.1代数与几何的融合

3.2直观与抽象的融合

3.3感性与理性的融合

3.4传统与现代的融合

3.5一般与特殊的融合

4结束语

大观念是反映数学学科本质的核心知识、思想价值、思维方式和关键观点.对于教师，它是提高教学站位，融合教学主题，策划教学和评价活动;对于学生，它是从学会到会学、探索知识本源、联结碎片化知识点、实现知识融合的学习模式.本文体现了大观念下的融合为从零散知识中统整或提炼出来的上位观念，将分散的、深层次的重要观念进行有意义的联结，构成“求最值问题”内核知识的锚点.讨论的“将军饮马”问题，归根到底是“两点之间线段最短”原理的引申，这一基于大观念下由直观想象派生的朴素结论启发我们，一个原理，一个图形，一个方法，构成一幅绚丽的数学画卷.在课堂上，充分体现直观想象的多角度融合，发展学生高阶思维，是核心素养培养的重要内容与途径.

参考文献

[1]盛慧晓. 大观念与基于大观念的课程建构[J]. 当代教育科学，2015（18）：27-31.

[2]F.克莱因.古今数学思想（第四册）[M].上海：上海科技出版社，1979.

[3]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通報，2000（05）：1.

作者简介夏厦（—），男，奉化高级中学，一级教师;

杨亢尔（—），男，宁波市奉化区教师进修学校，浙江省特级教师.