借数学文化之力 悟位值记数之妙

屈婷　沈丹萍

十进位值制记数法是理解数概念及其运算算理、算法的依据。如何引导学生体会“位值制”和“十进制”的简洁性与价值性，下面，笔者谈谈自己的做法。

一、借“埃及象形数字”之力，感悟“值”的思想

学习《百以内数的认识》时，笔者借助古埃及象形数字，引导学生解读其记数规则：1～9的表示采用了一一对应的方式，符号的个数与要记录的数的大小是等值的;对于10、100、1000等较高单位的数，则需要创造一些新符号，通过对单个或多个符号的累加来记数。

师：如下图，古埃及象形数字有什么特点？

生1：数字1～9都是画竖线表示，要表示几，就画几条竖线，表示10的时候画了另外一个符号。

师：古埃及人为什么没有画10条竖线来表示10？

生2：一直这样画下去太麻烦了。

师：借助这些符号，古埃及人可能怎样表示12？

师（展示学生作品：这两种表示方法有什么不同？

生3：第①种是把1和2组合在一起，第②种是用10加2得到12的。

师：古埃及人采用了第②种方法来表示12。根据这样的规则，你认为能用“”符号表示12吗？

生4：不行，这样就表示20了。

生5：20应该是10加10，不是2加10。

生6：埃及数字是加的，不管哪个符号在前面，都是把它们合起来，2加10还是12。

师：按照这样的规则，21可以怎样用古埃及象形数字表示？

师（展示学生作品：：你认为这三种方法都对吗？

生7：第①种不对，古埃及的2就是2，不能表示20。

生8：古埃及的规则是加，按照前面的规则，第①种方法表示的数应该是3。

生9：第②种和第③种都对，都是把20与1加起来，都能表示21。

师：三千多年前，符号“”的出现是一个伟大的发明。想一想，有了这个符号，当时的古埃及可以表示的最大数是多少？怎样表示？

生10：最大只能表示99，把表示“10”的符号画9次，再加个“9”。

师：如果没有这个符号，99要怎样记录？

生11：要画99条竖线，太麻烦了。

师：如果要表示更大的数，可以怎么办？

生12：可以发明“百”“千”这些更大单位的符号。

在比较中，学生逐渐体会到古埃及象形数字中符号“10”的产生蕴含着“化大为小”的思想，从而感悟到古人的智慧。

二、借“中国古代算筹”之力，凸显“位”的价值

中国古代算筹既有“满十进一”的思想，也有数位的概念。教学《10000以内数的认识》时，笔者出示我国古代算筹中“1～9”的符号并告诉学生：我国古人用算筹来记数，大家观察一下，看看用算筹表示数有什么特点？学生发现：1～5都用画横线或竖线的方式表示，纵式的6～9中用“一横”来表示5，横式的6～9中用“一竖”来表示5，如下图所示。

接着，笔者利用课件呈现“12”的摆法，引导学生观察：算筹摆出的12与阿拉伯数字表示的12有什么相同的地方？学生提出：12是由1和2两个符号组合而成，1放在左边，表示十位，2放在右边，表示个位，即“─││”。

随后，笔者向学生介绍了算筹表示多位数的一般方法：个位用纵，十位用横，百位用纵，千位用横，遇零则空，并提问：根据这个规则，你认为21可以怎样用算筹表示？有学生回答：把1和2交换一下位置就可以了。还有学生提出：要将1变成“纵式”，2变成“横式”。笔者追问：交换位置后，数的大小发生变化了吗？2表示的意义还一样吗？学生回答：交换位置后，数变大了，2摆在个位时，表示2个一，交换后，2在十位上，表示2个十。笔者追问：你能用算筹摆一个更大的数吗？学生通过操作摆出999、9999等较大的数，并发现：用算筹可以摆出无限大的数，9所在的数位越高，表示的数就越大。

最后，笔者引导：与古埃及象形数字相比，算筹少了表示“10”的符号，为什么表示的数反而多了？学生讨论后得出：古埃及象形数字中数的大小与符号摆放的位置没有关系，9只能表示9，要表示更大的数，更要不断发明新的符号来表示更大的单位，而算筹只要把一个数摆在不同的位置，就能表示更大的数。

三、借“其他进制”之力，挖掘“十进”的内涵

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数方法。除了“十进”关系，相邻单位之间还可以是其他倍数关系，如计算机常用的“二进制”、古人计算质量时“半斤八两”的“16进制”，以及现今仍广泛使用的时、分、秒之间的“60进制”。教师在教学中引入其他进制，可以让学生在对比中对“十进制”的记数规则与原理有更深的体会和理解。

教学《十进制计数法》时，笔者引导学生思考：用计数器数数时，我们常说“满十进一”，为什么要“满十进一”？可以“满九进一”吗？大部分学生都认为“满十进一”是规定，不能“满九进一”。接着，笔者提问：如果规定“满九进一”，你认为这些苹果（利用课件呈现9个苹果的实物图）可以怎样表示？在计数器上数一数，画一画。学生思考、操作后，有以下三種方法。

笔者引导学生讨论：这三种画法有什么不同？哪些方法你认为不对？学生都认为方法③是正确的;方法②的个位上已经有8颗珠子了，再加1颗就够了，但这一颗不能拨在十位上;对于方法①，学生意见不一致。有的学生认为方法①不对，因为在十进制的计数器上，10只能在十位上拨1颗珠子，个位上是没有珠子的;也有的学生认为方法①是对的，因为十进制中十位上的“1”是由个位上的“10”进位得到的，方法①表示的是“满九”后还没有进位的状态。笔者顺势引导学生在计数器上拨一拨，数一数，体会从1数到9，右边数位“满九”向左边数位“进一”的过程，并提问：在九进制中，这个数怎样书写？还能读作“十”吗？左边的这颗珠子所在的数位还是十位吗？学生讨论之后，认为这个数虽然写作“10”，但应该读作“九”，左边珠子所在的数位就叫“九位”。笔者继续提问：现在增加到18个苹果，你能在“九进制”的计数器上数一数、画一画吗？这个数又该怎么读、怎么写？操作、思考后，学生达成共识：个位满“九”，向“九位”进一，18里有2个九，需要向“九位”进两次，这样“九位”就要画两颗;写数时，在“九位”写2，“个位”写0。读数的过程中，学生又有不同的看法，有的学生赞同读“二零”，有的学生认为在“十进制”中读数要先读“数量”再加上“计数单位”，十进制的“20”读作“二十”，九进制的“20”要读作“二九”。

经历了以上活动，学生体会到：同一数量，即使都采用阿拉伯数字符号来记录，但在不同进制中表示的方式也可能不同。十进位值制与其他进制的记数原理和规则是相通的，都是在“低位”累积到一定数量的数之后，用“高位”上的“1”来替代。“满几进一”的进位过程创造了“位”，也使这一位上的数有了“值”。

责任编辑  张敏