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借数学文化之力 悟位值记数之妙

2022-05-30屈婷沈丹萍

湖北教育·教育教学 2022年6期
关键词:记数竖线象形

屈婷 沈丹萍

十进位值制记数法是理解数概念及其运算算理、算法的依据。如何引导学生体会“位值制”和“十进制”的简洁性与价值性,下面,笔者谈谈自己的做法。

一、借“埃及象形数字”之力,感悟“值”的思想

学习《百以内数的认识》时,笔者借助古埃及象形数字,引导学生解读其记数规则:1~9的表示采用了一一对应的方式,符号的个数与要记录的数的大小是等值的;对于10、100、1000等较高单位的数,则需要创造一些新符号,通过对单个或多个符号的累加来记数。

师:如下图,古埃及象形数字有什么特点?

生1:数字1~9都是画竖线表示,要表示几,就画几条竖线,表示10的时候画了另外一个符号。

师:古埃及人为什么没有画10条竖线来表示10?

生2:一直这样画下去太麻烦了。

师:借助这些符号,古埃及人可能怎样表示12?

师(展示学生作品:这两种表示方法有什么不同?

生3:第①种是把1和2组合在一起,第②种是用10加2得到12的。

师:古埃及人采用了第②种方法来表示12。根据这样的规则,你认为能用“”符号表示12吗?

生4:不行,这样就表示20了。

生5:20应该是10加10,不是2加10。

生6:埃及数字是加的,不管哪个符号在前面,都是把它们合起来,2加10还是12。

师:按照这样的规则,21可以怎样用古埃及象形数字表示?

师(展示学生作品::你认为这三种方法都对吗?

生7:第①种不对,古埃及的2就是2,不能表示20。

生8:古埃及的规则是加,按照前面的规则,第①种方法表示的数应该是3。

生9:第②种和第③种都对,都是把20与1加起来,都能表示21。

师:三千多年前,符号“”的出现是一个伟大的发明。想一想,有了这个符号,当时的古埃及可以表示的最大数是多少?怎样表示?

生10:最大只能表示99,把表示“10”的符号画9次,再加个“9”。

师:如果没有这个符号,99要怎样记录?

生11:要画99条竖线,太麻烦了。

师:如果要表示更大的数,可以怎么办?

生12:可以发明“百”“千”这些更大单位的符号。

在比较中,学生逐渐体会到古埃及象形数字中符号“10”的产生蕴含着“化大为小”的思想,从而感悟到古人的智慧。

二、借“中国古代算筹”之力,凸显“位”的价值

中国古代算筹既有“满十进一”的思想,也有数位的概念。教学《10000以内数的认识》时,笔者出示我国古代算筹中“1~9”的符号并告诉学生:我国古人用算筹来记数,大家观察一下,看看用算筹表示数有什么特点?学生发现:1~5都用画横线或竖线的方式表示,纵式的6~9中用“一横”来表示5,横式的6~9中用“一竖”来表示5,如下图所示。

接着,笔者利用课件呈现“12”的摆法,引导学生观察:算筹摆出的12与阿拉伯数字表示的12有什么相同的地方?学生提出:12是由1和2两个符号组合而成,1放在左边,表示十位,2放在右边,表示个位,即“─││”。

随后,笔者向学生介绍了算筹表示多位数的一般方法:个位用纵,十位用横,百位用纵,千位用横,遇零则空,并提问:根据这个规则,你认为21可以怎样用算筹表示?有学生回答:把1和2交换一下位置就可以了。还有学生提出:要将1变成“纵式”,2变成“横式”。笔者追问:交换位置后,数的大小发生变化了吗?2表示的意义还一样吗?学生回答:交换位置后,数变大了,2摆在个位时,表示2个一,交换后,2在十位上,表示2个十。笔者追问:你能用算筹摆一个更大的数吗?学生通过操作摆出999、9999等较大的数,并发现:用算筹可以摆出无限大的数,9所在的数位越高,表示的数就越大。

最后,笔者引导:与古埃及象形数字相比,算筹少了表示“10”的符号,为什么表示的数反而多了?学生讨论后得出:古埃及象形数字中数的大小与符号摆放的位置没有关系,9只能表示9,要表示更大的数,更要不断发明新的符号来表示更大的单位,而算筹只要把一个数摆在不同的位置,就能表示更大的数。

三、借“其他进制”之力,挖掘“十进”的内涵

进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数方法。除了“十进”关系,相邻单位之间还可以是其他倍数关系,如计算机常用的“二进制”、古人计算质量时“半斤八两”的“16进制”,以及现今仍广泛使用的时、分、秒之间的“60进制”。教师在教学中引入其他进制,可以让学生在对比中对“十进制”的记数规则与原理有更深的体会和理解。

教学《十进制计数法》时,笔者引导学生思考:用计数器数数时,我们常说“满十进一”,为什么要“满十进一”?可以“满九进一”吗?大部分学生都认为“满十进一”是规定,不能“满九进一”。接着,笔者提问:如果规定“满九进一”,你认为这些苹果(利用课件呈现9个苹果的实物图)可以怎样表示?在计数器上数一数,画一画。学生思考、操作后,有以下三種方法。

笔者引导学生讨论:这三种画法有什么不同?哪些方法你认为不对?学生都认为方法③是正确的;方法②的个位上已经有8颗珠子了,再加1颗就够了,但这一颗不能拨在十位上;对于方法①,学生意见不一致。有的学生认为方法①不对,因为在十进制的计数器上,10只能在十位上拨1颗珠子,个位上是没有珠子的;也有的学生认为方法①是对的,因为十进制中十位上的“1”是由个位上的“10”进位得到的,方法①表示的是“满九”后还没有进位的状态。笔者顺势引导学生在计数器上拨一拨,数一数,体会从1数到9,右边数位“满九”向左边数位“进一”的过程,并提问:在九进制中,这个数怎样书写?还能读作“十”吗?左边的这颗珠子所在的数位还是十位吗?学生讨论之后,认为这个数虽然写作“10”,但应该读作“九”,左边珠子所在的数位就叫“九位”。笔者继续提问:现在增加到18个苹果,你能在“九进制”的计数器上数一数、画一画吗?这个数又该怎么读、怎么写?操作、思考后,学生达成共识:个位满“九”,向“九位”进一,18里有2个九,需要向“九位”进两次,这样“九位”就要画两颗;写数时,在“九位”写2,“个位”写0。读数的过程中,学生又有不同的看法,有的学生赞同读“二零”,有的学生认为在“十进制”中读数要先读“数量”再加上“计数单位”,十进制的“20”读作“二十”,九进制的“20”要读作“二九”。

经历了以上活动,学生体会到:同一数量,即使都采用阿拉伯数字符号来记录,但在不同进制中表示的方式也可能不同。十进位值制与其他进制的记数原理和规则是相通的,都是在“低位”累积到一定数量的数之后,用“高位”上的“1”来替代。“满几进一”的进位过程创造了“位”,也使这一位上的数有了“值”。

责任编辑  张敏

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