走进生活，培养符号意识，建构数学模型

[摘  要] 古希腊人在遥远的欧洲古典时代就提出，我们的世界是一个符合逻辑、简单，且能用数学表达的世界. 确实，数学源于生活，符号能帮助我们用数学的方法表达生活. 文章以建构分式模型的教学为例，引导学生用数学的眼光看待生活问题，并从以下几方面展开论述：引用实例，提出问题;深入探索，启发思维;加强分析，提炼结论;拓展延伸，提升能力.

[关键词] 生活;符号;模型

新课标提出：义务教育阶段的数学教学应借助概念、公式、法则等的教学，尽可能地创设现实的生活情境，让学生在理论联系实际中，不断培养符号意识，获得用符号对现实生活问题进行抽象与表达的能力[1]. 发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的过程就是从符号的抽象表达开始，进入运算、分析与推理的过程. 因此，教师应利用一切教学手段，带领学生经历这一完整的过程，为培养学生的符号意识奠定基础，从而提高学生的建模能力. 下面以建构分式模型的教学为例，谈一谈如何让学生用数学眼光看待生活问题.

引用实例，提出问题

数学源于生活，生活是数学的源泉. 初中阶段的学生已有一定的生活经验与认知水平，在教学中，教师适当地引入贴近学生生活实际的问题，常常能有效地激发学生的探究兴趣，达到良好的教学效果. 这节课，笔者以学生熟知的糖水问题为例，引导学生感知生活中的数学知识，为提升建模能力奠定基础.

问题1 如果我们在一个杯子里加一些水，再加一些糖，加不同量的水和糖会获得不同浓度的糖水. 我们可以用怎样的数学方法来表达获得的糖水浓度呢？

此问学生并不陌生，很快就激起了学生的探究热情. 学生经独立思考与合作交流后，一致认为糖水浓度.

问题2 给一杯糖水中继续加一些糖，此时糖水会发生怎样的变化？请从数学的角度来描述.

教师点拨：①如何表示原来杯子中糖水的浓度？②加糖之后，此时该如何表达糖水的浓度？③我们俗称的“变甜”，具有怎样的意義？如何用数学的方式来表达？

（根据教师的点拨，学生独立完成）

归纳：“问题2”需区分出原来的浓度与加糖后的浓度的表达方式，“变甜”的本质是浓度增加了.

设计意图 糖水是学生熟悉的生活实际问题，从这个问题出发，学生能主动发现糖水浓度问题的本质就是糖的质量与糖水溶液质量之间的比值问题. 将这些量分别用字母表示，就能建构出用符号表达的基本模型——分式. 教学此过程的关键点是引导学生充分感知符号的抽象过程，获得基本的表达方法，让学生形成初步的符号意识.

问题3 对于分式（a>0，b>0），若分子、分母同时加一个正数，结论会发生怎样的改变？

问题4 如何从数学的角度解释在一杯糖水中继续加水，糖水的甜味就变淡了？

（学生独立思考，同桌之间交流）

设计意图 从数学的角度分析一杯糖水的甜味变淡，要求学生在用符号表达生活问题的基础上，尝试应用符号进行合理的推理与运算，也就是将探索糖水浓度问题转化为分子、分母发生改变后，分式值发生变化的问题. 问题3和问题4的提出，意在让学生感知生活与数学之间的转化往往需借助数学符号与数学运算.

深入探索，启发思维

问题5 有两杯不同浓度的糖水，现在将它们进行混合，混合后口感会发生怎样的变化？请用数学方法来表达.

教师点拨：①怎样分别表示两杯不同浓度的糖水？②如何用式子表达混合后糖水的浓度？

（要求学生独立思考后与同伴分享自己的想法）

归纳：对于此问，学生首先需要思考如何表达不同浓度的糖水，其次学会用数学表达式表达生活实际.

问题6 两杯不同浓度的糖水混合后的浓度是两杯糖水的平均浓度吗？

教师点拨：①这个问题涉及三个浓度的数学表达方式. ②如何从数学的角度准确地表达问题的意思呢？③从特殊值的角度出发做一些尝试，可获得一些规律. ④怎样解释是否相等？

（学生在独立思考的基础上与同伴交流）

归纳：对于“问题6”，学生不仅要思考问题涉及的概念，还要解释混合后的浓度是否与平均浓度相等.

设计意图 通过之前的抽象过程，学生对用符号表示糖水浓度问题已经有了清晰的认识. 在此基础上，教师以两杯不同浓度的糖水问题启发学生思考，引发学生探究，让他们将分式的加减乘除运算参与到相应的推演中. 若推演后所获得的结论具有相同的表达式，则两杯糖水一样甜，反之，则不一样甜.

其实，符号应用与推演已经超越了对糖水问题研究的范畴，这是在以上问题的基础上进行的深入探索，能让学生的符号意识培养又上一个阶层. 至于两杯不同浓度的糖水混合后的浓度问题，这一问题对学生来说具有一定的挑战，因此，教师可鼓励学生应用一些特殊值进行假设、猜想，再通过推理、运算等过程验证其猜想的科学性，让学生充分感知运算符号的数学表达在学习过程中所蕴含的本质[2].

加强分析，提炼结论

问题7 将一大杯糖水倒入3个小杯，此时，大、小杯中糖水的浓度具备怎样的特征？

教师点拨：①此时糖水的浓度会发生变化吗？②从中你有什么发现？

（学生独立思考后与同伴交流）

归纳：学生得到了一个很重要的结论，即分式的性质（等比性）.

问题8 将一大杯糖水倒入5个小杯，你能从中获得怎样的数学性质？

设计意图 以初中生的生活经验，他们不难理解将大杯的糖水倒入小杯，浓度并不会发生变化. 解决“问题8”的关键在于学生如何将这种生活经验用数学符号表达. 此过程能有效地促进学生符号意识的形成与发展.

应用符号来表达“分式的分子、分母以相同的比例发生变化时，分式的值并没有发生变化”，此过程自然而然地生成了分式等比性质的基本模型. 其实，我们所应用的很多数学性质、定理、法则等都是从生活经验出发，通过符号运算的验证来获得的，因此，这种设计方式既符合中学生的认知规律，又能让他们充分感知符号作为生活与数学表达媒介的价值与意义.

拓展延伸，提升能力

师：这节课我们一起探讨了如何用数学方法来表达糖水浓度问题，这能促使我们用数学眼光观察与描述生活现象. 其实，之前我们也有过这样的尝试，请大家阅读下面的材料. 角度用来衡量角的大小，速度=用来衡量走路等的速度，电流强度用来衡量电流的大小，“远”“近”用来判断两点间的距离……这些都是用数学方法来描述生活现象的例子.

问题9？摇 生活中常有一些图形，它们不完全相同，但很像，我们可以从什么角度判断它们的相似程度呢？如图1所示，这是一个正三角形，图2和图3均为等腰三角形. 不难看出，图2和图3都与图1相像，但图2更像一些，这种情况应怎样用数学方式来表达呢？

对于“问题9”，在教师的适当点拨下，学生结合这节课所学的内容进行自主分析，而后进行小组合作，总结结论与经验.

设计意图？摇此过程是对糖水问题的拓展，引导学生站到一个宏观的角度应用数学符号，感知数学符号的一般性与概括性. 学生在将生活实际问题转化成符号表达时，需要从其本质出发，灵活、全方位地去理解符号特有的意义与符号之间的联系. 用数学符号表达生活内容的范围十分广泛，这需要我们平时多积累，勤思考，善表征，从而建构数学模型.

总之，世界本是一个符合逻辑、简单，且能用数学表达的世界，符号的应用为我们更好地用数学表达世界提供了支持. 因此，在注重生活数学化的今天，教师更需要在教学中关注学生符号意识的培养，引导学生应用符号运算来解决实际问题，形成自主建模能力[3].

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 朱立明，马云鹏. “数学符号意识”研究：内涵与维度[J]. 教育理论与实践，2015，35（32）：6-8.

[3] 陈蓓. 从PME视角看数学建模素养及其培养[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2017（04）：5-10.

作者简介：杨峻峰（1988—），研究生学历，中小学一级教师，从事中学数学教育工作.