构建数学概念网络 发展学生阅读能力

申烨晖 李苗

[摘  要] 数学概念是数学学习的核心内容，在对数学教材的阅读过程中要注重对数学概念的阅读理解，教育数学通过对概念、命题、例题和习题等内容的再创造式整理，促进概念从陈述性知识向程序性知识的转变，发展学生的创新意识和实践能力.

[关键词] 概念;认知策略;知识分类;教育数学

学生对数学教材的阅读是发展学生数学阅读能力的重要方式，因为数学学习的核心问题是概念学习，所以对数学教材的阅读主要是针对概念的阅读理解. 教材知识的常见呈现方式为概念、命题、例题和习题等形式，由于例题和习题在数学教材中所占比例较大，评价方式也多是以习题的形式出现的，在数学学习中经常会出现“轻概念，重练习”的情况，概念教学也经常是“告诉”而非“生成”. 由于忽略了概念阅读在数学学习中的统领和起始作用，使得学生对数学阅读的路径比较模糊，很难获得数学阅读能力的发展.

数学阅读能力是对数学阅读起调节作用的个性心理特征，它是一种数学关键能力. 广义的知识分类认为：其中陈述性知识主要是概念和命题等内容，程序性知识主要是例题和习题等解题过程.程序性知识又可以分为智慧智能和认知策略两大类，智慧智能是指通过练习，其操作能达到相对自动化程度，很少或不需要受意识控制的程序化知识;而受意识控制难以达到自动化程度的程序知识就是认知策略. 学生数学能力的发展在很大程度上是在以认知策略为主要目标的教学形式中实现的[1]，而培养学生数学关键能力的途径是从知识理解到知识迁移，最终实现知识创新.知识理解、知识迁移和知识创新又依次为学生数学核心素养的三级表现形态[2]. 所以从知识理解到知识创新的过程也是把陈述性知识向程序性知识转化，再利用程序性知识解决新问题的过程. 从教材知识常见呈现方式上研究，就是首先形成对概念、命题等知识的动态认知，其次在解决例题和习题等过程中形成对概念的认知策略，最后将概念的认知策略在新的问题情境中再次应用的过程.

在学生学习的过程中，如果把一个概念作为静态的知识来处理，它们就是陈述性知识;如果把它们用于解决问题，它们就是程序性知识，陈述性知识是可以转化为程序性知识的. 张景中院士站在教育数学角度提出从几个核心知识点出发，向数学的整个知识体系进行拓展，在新知识体系的应用过程中培养学生的创新能力. 张奠宙教授也提出把数学知识从学术形态转化成学生容易接受的教育形态，并且指出教育形态的数学就是教育数学. 很明显数学知识的学术形态主要是陈述性知识，而其教育形态是要形成程序性知识，在解决问题的过程中深入理解概念. 李尚志教授在对教育数学的进一步阐述中认为：不是把问题的答案作为新知识灌输给学生，而是把它们作为应用旧知识解决新问题的习题来讲解，希望学生在用旧知识做新习题的过程中提高解决问题的能力，在不知不觉中发现新知识[3]. 这是当前教育数学对教学内容再创造式整理的界定. 这里问题的答案往往是学术结果，把它灌输给学生，明显就是以陈述性知识为主要目标的教学形式，而在用旧知识解决新习题的过程中发现新知识，明显就是以认知策略为主要目标的教学形式.

不论是从信息加工心理学角度，还是从教育数学对数学知识的再创造式整理角度，教师都要让概念在知识理解、知识迁移和知识创新的过程中成为便于学生认知的动态的知识，能够用于解决一系列有足够难度的题目. 因此在例题和习题的教学中，教师要引导学生深入理解概念在它们中的作用，形成概念网络，明晰阅读数学教材的路径，发展学生的数学阅读能力.

知识理解：在例题学习中形成概念网络

利用数学概念解决数学问题，使得数学概念的认知过程成为一个动态的过程，使得学生理解的概念不是简单的文字描述，更多的成为认知策略. 学生学习例题和解决习题，一方面形成数学基本技能，一方面也加深了对知识之间各种联系的理解，形成数学知识网络.

（人教版九下P76例5）如图1所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处. 这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？

解：如图1所示，在Rt△APC中，

PC=PA·sin65°=80×sin65°≈72.505.

这是一个很常见的例题，各个版本教材都选择了类似的题目. 此题学生解决了三个问题：①对于非直角三角形，需要根据题目需要，过顶点作对边的高，形成两个直角三角形，强化了使用正弦时的前提条件是在直角三角形中，這是对概念前提条件的理解. ②已知一个角的正弦值和斜边，可以求角的对边. ③已知一个角的正弦值和对边，也可以求斜边. 这两个问题是对正弦概念的等价定义，与正弦的概念一起形成了关于正弦概念的知识网络，这样正弦的概念就是动态的.

知识迁移：解决习题中发现新策略

知识迁移时要在新情境中应用知识，促进新知识的学习或者解决不同情境的问题[2]. 教育数学对于教材的习题赋予了新的价值，在解决习题的过程中，应用旧知识解决新问题，实现对数学知识的再创造式整理，这也是教育数学对现行数学教材的重要提升作用.

（人教版九下P85第12题）？荀ABCD中，已知AB，BC及其夹角∠B（∠B是锐角），能求出？荀ABCD的面积S吗？如果能，用AB，BC及其夹角∠B表示S.

（北师大版九下P27第20题）一块四边形空地如图3所示，求此空地的面积.（结果精确到0.01 m2）

（湘教版九上P137第14题）在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，如图5所示.

（1）△ABC的面积S与∠A，b，c之间的关系？

（苏科版九下P121第15题）证明：锐角三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半.

尤其是北师大版和湘教版是比较典型的把利用正弦计算面积的公式转化成利用概念解决习题的方式. 让学生在应用正弦概念的过程中进一步理解正弦概念，使得学生对正弦概念的理解和使用是一个动态的过程，使得正弦概念发展成为一个更大的知识网络.

知识创新：在新情境中应用新策略

2021年南京第16题）如图7所示，将？荀ABCD绕点A逆时针旋转到？荀A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E. 若AB=3，BC=4，BB′=1，则CE的长为______.

此题原来命题者是过点A作AM⊥BB′，过点E作EG⊥BC，通过△AMB∽△EGC，构建相似比，还利用勾股定理，在平行四边形和等腰三角形等图形之间进行计算，过程十分复杂. 通过面积法可以大大简化思维和计算过程.

很明显，教育数学应用面积法解决此题时，首先少添加了一条辅助线，其次选择的相似三角形是十分明显的，不需要进行复杂的证明，最后降低了计算的难度，明显比原解法简单. 并且教育数学的解法并没有任何超纲的地方，所用的方法不是靠学生死记硬背得到，而是从概念发展来的认知策略. 学生表现出具有探究问题的意识和能力，能够用数学的眼光判断和分析事物，形成数学思维认识事物的世界观和方法论，这就是数学创新[2].

可见，教师在数学阅读过程中引导学生形成概念网络，可以揭示概念和命题，例题和习题之间的内在联系. 例题和习题的教学价值是为了帮助学生建立概念网络，突出概念的核心地位，明晰数学阅读的途径，促进概念从陈述性知识向程序性知识的转化，使数学阅读能力的培养符合学生的认知心理，培养学生的创新意识和实践能力.

参考文献：

[1] 喻平. 知识分类与数学教学[J]. 数学通报，2000（12）：12-14.

[2] 喻平. 数学核心素养评价的一个框架[J]. 数学教育学报，2017，26（02）：19-23+59.

[3] 李尚志，李立斌，赖虎强. 新思路数学[M]. 长沙：湖南科学技术出版社，2021.

基金项目：长沙市教育科学“十三五”规划2019年度立项资助课题“初中生数学阅读能力培养的实践研究”（课题编号：CJK2019023）.

作者简介：申烨晖（1976—），本科学历，中学一级教师，从事初中数学教学工作.