搭建数学建模平台，培养学生建模能力

[摘  要] 文章基于“数据的波动程度”的教學设计，将教材的引入部分做了简化处理，为学生搭建数学建模平台，重点突出数学模型的建立和优化过程，以丰富学生的数学建模体验，培养学生数学建模能力，促使学生更好地把握模型思想.

[关键词] 数学建模;模型优化;建模体验;建模能力

在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，数学建模是六大数学核心素养之一. 在《初中数学新课程标准（2022年版）》中，明确要求在数学课程中，应当注重开展学生的模型思想，进一步提升学生学习数学的兴趣和应用意识. 模型思想是初中数学中非常重要的数学思想，当学生具备了一定的建模能力，便能够更好地应用模型思想解决实际问题. 因此在初中数学教学过程中，为学生搭建好数学建模平台，培养学生数学建模能力，促使学生更好地把握模型思想是非常重要的任务.培养学生的数学建模能力，既有利于提高学生解决问题的效率，更有利于培养学生的思维能力.

为学生搭建数学建模平台，培养学生数学建模能力，笔者在设计“数据的波动程度”一课过程中深受启发，现将本课的教学设计以及笔者基于培养学生数学建模能力的教学反思予以呈现.

教学设计

1. 化繁为简巧引入，搭建平台引建模

在前面的学习中，我们知道可以利用平均数、中位数、众数来刻画数据的集中趋势. 观察甲、乙两组数据，甲：6，6， 6，6，6，6，6;乙：5，5，6，6，6，7，7.

问题1：甲、乙两组数据的平均数、中位数、众数都一样，那哪一组数据更集中呢？

生：甲组数据都是6，所以更集中，而乙组数据的对应更分散.

师：很好，乙组数据更分散，这在统计学中称为数据更离散，或称数据波动程度更大，这也是本节课的探究课题《数据的波动程度》.

观察下列三组数据，直观感受其波动程度，如何刻画？（1）6，6，6，6，6;（2）6，6，6，6，7;（3）6，6，6，6，5.

问题2：以上三组数据的波动程度可否用一个数加以刻画？

生：第一组数据都是6，记它的波动为0. 类似地，第二组数据波动记为1. 第三组数据的波动记为-1.

师：也就是说在日常生活中，数据的波动程度是可以量化的. 类比于衡量数据的集中趋势，我们有平均数、中位数、众数这些统计量，那么衡量数据的波动程度是否也存在类似的统计量呢？

设计意图 问题1让学生观察两组数据的平均数、中位数、众数三类统计量都相同，但是集中程度不同，揭示课题，引出矛盾. 问题2通过三组数据让学生初步感知，是可以用一个统计量来刻画一组数据的波动程度，教师设计并提出问题，提供思路启发学生的思考，为学生搭建数学建模平台.

2. 历模型优化过程，晰方差模型算理

观察下列三组数据及其散点图，

甲：6，6，6，6，6，6，6;

乙：5，5，6，6，6，7，7;

丙：4，4，5，6，7，8，8.

问题3：结合散点图，观察甲、乙、丙三组数据，有什么发现？

观察：一组数据中，各个数据与平均数差得越多，则数据的波动程度越大.

猜想：求出各个数据与平均数的差的和，刻画数据的波动程度.

验证：

A组：5，5，6，6，6，7，7;

B组：4，4，5，6，7，8，8.

反思 观察以上模型的计算，事实上就是数据之和减数据之和，这样结果必然为0，因此无法衡量数据的波动程度.

问题4：以上模型问题出在哪里呢？

观察：A组各个数据与平均数的差-1，-1，0，0，0，+1，+1，其中-1和+1都为数据的波动做了贡献，但在求和时却抵消掉了. 故可以考虑非负性，如绝对值、取平方等.

猜想：求出各个数据与平均数的差的绝对值的和，刻画数数据的波动程度.

验证：

C组：9，1，0，-1，-9;

D组：6，4，0，-4，-6.

反思 模型2通过取绝对值刻画数据的波动程度的适用性仍有不足，可考虑平方或者偶次方.

猜想：求出各个数据与平均数的差的平方的和，刻画数据的波动程度.

验证：

E组：9，1，0，-1，-9;

F组：7，6，4，0，-4，-6，-7.

反思 利用优化模型3刻画数据的波动程度，会受到数据个数的影响，可再取平均避免数据个数的影响.

猜想：求出各个数据与平均数的差的平方的和，再除以数据个数，刻画数据的波动程度.

设计意图 此环节为本课例的重难点，也是耗时最多的环节，采用师生合作、交流、探究的教学方法，让学生经历模型1的建立，以及模型2、模型3、模型4的优化过程，体会模型建立的过程以及用方差刻画数据波动程度的合理性，丰富了学生数学建模的体验.

3. 计算分解成步骤，明晰算理固技能

例1 试说明下列哪组数据的波动程度大，

甲：6，5，4，3，7;

乙：3，0，6，5，1.

设计意图 计算方差过程中进行步骤小结，步骤1，求出各组数据的平均数→步骤2，求各个数据与平均数之差的平方和→步骤3，取平方和的平均数→步骤4，分别求得方差并比较大小.在模型优化的过程中，学生能更好地理解方差模型算理，而通过步骤分解，应用方差公式判断两组数据的波动大小，使学生形成技能.

4. 复盘建模之历程，积累经验再创造

本节课我们经历了发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程. 一是发现问题，我们发现数据的波动程度会影响平均数、中位数、众数对集中趋势的刻画. 二是提出问题，我们想要探究，衡量数据波动程度的统计量. 三是分析问题，通过观察，猜想，验证，优化，最终确定利用方差衡量数据的波动程度. 四是解决问题，巩固了求方差的一般步骤，形成技能.

设计意图 在课堂小结环节，帶领学生复盘数学建模的主要过程，即发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题. 使学生积累探究经验，有利于学生在今后解决问题的过程中能够基于此经验进行再创造.

教学反思

1. 优化课堂活动设计，搭建数学建模平台

教师在日常教学中要为学生搭建数学建模的平台. 初中数学教学过程中有众多课程适合为学生搭建数学建模的平台，但有的教材内容因为其表征过于烦琐，如“数据的波动程度”一课的例题阅读量大且计算复杂，使得大部分学生望而却步，失去了参与探究的勇气，从而错失参与数学建模的机会. 所以本课例在课前引入时便采用简单数据揭示课题，从而避免学生受困于烦琐的材料阅读及数字运算中，错过了参与模型建立的过程. 因此对于教材所呈现的课程内容，教师不能照本宣科，要根据学生实际，始终把握好为学生搭建数学建模平台的初衷，对内容加以处理，优化课堂活动设计，由此才能发挥其搭台作用.

2. 经历合作交流探究，丰富数学建模体验

为确实丰富学生的数学建模体验，建模过程必须有“浓墨重彩”的突出. 在初中数学教学中，秉持为学生搭建数学建模平台的初衷，优化课堂活动设计，在建立模型以及模型优化的活动环节中要舍得花大手笔，让学生亲身感受到建立模型以及优化模型的过程，丰富其数学建模体验，在师生合作、交流、探究过程中确确实实的产生思维的碰撞. 例如在课例“数据的波动程度”中，在经历观察、猜想的基础上建立模型1，不断地通过验证、反思、猜想等环节对所建立模型进行优化，得到优化2、优化3、优化4. 这样的模型建立和优化历程，能够真正丰富学生的建模体验，使学生更好地理解方差模型的算理，为后面模型运用的步骤化奠定了基础，有利于学生更快地掌握应用技能.

3. 重视建模能力培养，为学生创造发展空间

培养学生数学建模能力是极有必要的，一是有利于教师正确认识数学学科的教育价值. 数学教育的本质是理性思维的教育，只有具备了理性思维的人才能在社会日常生活的问题解决过程中保持理性的思考. 姜伯驹先生曾经说过“数学是科学的语言，数学是思维的体操，这是过去的认识，现在应该加上另外两句：数学是生活的需要，数学是最后取胜的法宝.”二是有利于教师正确评价学生素质，促进学生全面发展. 培养21世纪的人才首要手段就是素质教育，只有注重培养学生的数学建模能力，才能够确实提高学生的创新意识和应用意识，利用这种方式培养出来的学生更能为社会的发展做贡献.

结束语

数学建模之魅力在于它揭示了数学学科的教育价值，数学教育不仅仅是教会学生学习数学知识，更是让学生运用所学知识解决日常生活中的实际问题，所以说数学建模是连接数学世界与现实世界的桥梁. 教师在初中数学教学过程中要善于将解决问题的方法进行模型化，为学生搭建好数学建模平台，培养学生数学建模能力，使得学生在掌握数学基础知识的基础上，能够应用所学知识解决生活和生产中出现的问题.

基金项目：厦门市直属中小学2019年度课题“依托数学实验提升学生数学建模能力的案例研究”（课题编号：zsx2019099）.

作者简介：苏丽菊（1991—），硕士研究生，二级教师，曾获福建省第十六届三优联评活动省“三等奖”，厦门市第七届基础教育优质微课比赛市“一等奖”.