数形结合思想在高中数学教学中的应用

薛国清

[摘 要]数形结合思想能够将抽象的理论知识和直观的数学图像紧密结合，从而让学生构建完善的知识架构，提高对数学知识的理解能力，增强实践解题能力。文章分析了数形结合思想在激发学生热情、提升学生能力和传递信息方面的作用，并结合高中数学课堂的具体教学内容，提出了在新授课和课后练习中应用数形结合思想的策略，同时列举了数形结合思想在实际解题中的应用实例。

[关键词]数形结合;高中数学;教学应用

[中图分类号]    G633.6            [文献标识码]    A          [文章编号]    1674-6058（2022）18-0062-03

高中数学是一门较为复杂的学科，也是一些学生的短板科目。许多教师深入研究高中数学教学方法，试图在授课模式、技能传授等方面有所创新。数形结合思想能够有效帮助学生思考，增强学生对数学知识的记忆，让学生在解决实际问题的过程中形成数学思想，提高数学学习兴趣，它是高中数学教学中常用的思想方法。高中数学教师基于数形结合思想讲述数学基础知识，直观展现数学原理，可让学生了解数形结合思想，形成良好的数学思维。

一、数形结合思想与高中数学的关系

“数”和“形”是高中数学的重要概念，也是最為基础的数学形式，大部分的数学问题和数学知识都围绕着这两个基本概念。在数学学科的演变和发展中，“数”和“形”越来越融会贯通。在高中数学教学中，通过数形结合可以揭示数学条件和数学问题之间存在的内部规律和联系，融合几何直观和代数意义，获得良好的教学效果。高中数学的很多知识都与数形结合思想有关，比如曲线与方程的问题、实数在数轴上对应点的问题、复数问题、三角函数问题、代数式结构问题等。

数形结合思想能够达到“以形助数”和“以数解形”的效果。在一些抽象的数学问题中，“以形助数”能够让原本抽象的数学问题具体化，使问题变得更加简单。学生可以通过图形把握数的规律，灵活运用数学解题方法，抓住数学问题的本质。反之，针对一些图形问题，比如平面几何、立体几何等，学生可以运用“以数解形”，让图形问题的数量关系更加明确，使图形数量化。这样，他们就可以用传统的代数方法解决复杂多变的几何问题，提高解题过程的精确性和严谨性。通过数形结合，学生可以将新掌握的数学知识与实践方法相结合，在画图、对比的基础上，深入吸收数学知识，增强数学综合能力。在教学实践过程中，教师需要引导学生对数形结合思想的应用进行总结，在不同的知识模块中简化其使用过程，进而使学生的学科技能获得质的提升。

二、数形结合思想的价值

（一）有助于激发热情

高中数学学科具有特殊性，大部分数学知识都具有符号化和形式化的特点，数学原理抽象且复杂，学习难度较大。通过调查可以发现，当前有部分学生认为高中数学枯燥乏味，即便掌握了数学基础知识和原理，也难以解决千变万化的数学问题。在解决上述问题的过程中，数形结合思想能够起到重要的作用。教师可以图为辅，提高学生解决数学问题、钻研数学原理的热情。数形结合思想能够引导学生正确解读数学结构和数学关系，帮助学生找到数学结构和数学关系的验证方法，指引学生反复探究数学问题的本质，并从多个角度展开论证。如在讲解几何问题时，教师可以先将几何知识抽象为代数知识，再将代数知识通过几何手法展现出来，从而降低几何问题的难度。又如在学习求曲线方程的相关知识时，学生需要掌握直接法、几何法、代入法等。学生要明确，运用几何法求曲线方程，只要结合曲线分析动点存在的几何特征，并融入平面几何的定理，就可以找到动点轨迹和平面几何之间的联系，然后从中抽象出已知量和动点的坐标，以等式的方式表达出来，经过化简和整理后得到轨迹方程。教师必须引导学生抓住数形结合思想的精髓，掌握数形结合的方法，进而激发学生的学习热情。

（二）有助于提升能力

在高中数学教学中，大部分的基础知识、数学思维都会在解题中有所呈现。如果学生缺乏解题能力，只会纸上谈兵，那么数学教学目标便难以实现。通过数形结合能够让问题以更加清晰、直观的形式展现出来，让学生在最短的时间内找到解题思路和解题方法，获得数学思维的发展。比如，一道解析几何题通常会涉及多个模块的知识点，因此解题时学生必须在知识网络中搜索解题思路，将题干给出的信息进行转化、整合，充分挖掘隐含条件，通过画图、对比，做到深入研究。解析几何中常见的问题形式有求直线的斜率、求两点之间的距离等，很多问题还涉及最值问题。学生需要抓住题目中的代数式结构、等式结构所蕴含的几何特征，尝试用图形来展现问题，建立直角坐标系，将圆、直线、曲线等几何图形描绘出来，从而顺利解答问题。比如，直线上的两点坐标分别为（2，7）和（8，1），求直线的斜率。在解这道题时，学生首先可以建立平面直角坐标系，然后标出这两个点，画出直线的几何图形，最后运用斜率公式，求出直线的斜率。高中数学知识是复杂的、系统的，而数形结合思想能够帮助学生拓展数学思维，发掘想象空间，构建问题模型。在解决一些比较复杂的问题时，可以优先考虑数形结合的方法，但这种方法并不是万能的，只有抓住其使用规律，才能充分发挥其价值。

（三）有助于传递信息

通过数形结合可以有效传递数学信息，帮助学生更好地理解数学知识，增强学生的记忆力。高中数学中有很多抽象的定理和概念，如果教师单纯依靠解说开展教学，学生就会容易混淆概念，抓不住学习的重点，同时，教学过程也会变得枯燥。针对这种情况，教师可以通过数形结合的方法为学生展示概念背后的含义，让数学知识可视化、直观化。比如在教学函数时，教师可以通过图形展现反比例函数、指数函数等不同的函数类型，并在此基础上归纳和系统化函数知识。通过数形结合，学生可以深入理解函数背后的意义，掌握函数的定义域、值域、单调性等性质，在脑海中呈现不同函数的图像。教师还可以为学生展示平移变换、对称变换、伸缩变换等函数变换方法，引导学生对基础函数进行变形，全方位学习函数知识。可见，函数的相关知识与数形结合有着紧密的联系，如果不利用图形，函数的意义就无从体现。再比如，如果教师单纯采用推导公式的方式讲解中值定理的相关知识，那么学生就会在大量的公式中迷失方向，难以理解中值定理。中值定理能够反映函数和导数之间的特定关系，对公式推导具有重要作用。教师可以运用数形结合的方法，指导学生通过图形来理解中值定理的意义，鼓励学生深入探究，开发学生的数学逻辑思维。

三、数形结合思想在高中数学教学中的应用

（一）在新授课中的应用

在课堂教学中，教师可以将数形结合思想与知识讲解相结合，帮助学生更加顺利地理解和掌握知识内容，提高学习效果。在新授课中，学生对数学知识还比较陌生，教师可以运用图形辅助教学，引导学生深入思考数学问题，充分复习已经学过的知识内容，让学生建立完善的知识架构，用旧知识辅助新知识的学习，并增强课堂教学内容的直观性。比如，在教学指数函数时，教师可以展现a>1和0

（二）在课后练习中的应用

高中阶段是运用数形结合方法的重要时期，很多数学题都需要借助图像进行解答。教师可以在课后练习中渗透数形结合这种方法，以提升学生的解题思维。教师需要引导学生主动运用这种方法，以使学生养成良好的思考习惯和做题习惯，提高做题效率。如“中心投影和平行投影”的课后习题中，有关于三视图的题目。学生需要根据一个图形的三视图，画出直观图。这一类数学题目非常考验学生的空间想象能力和作图能力。有些学生经常在画直观图时出错，这是由于没有做好前期分析，对图形本身不够了解，以致脑海中呈现的立体图形与实际情况存在差距。通过数形结合，学生可以从三视图中分析出立体图形的整体面貌，还可以用实际工具进行模拟，进而做出不同假设模型，最终完成直观图。这一类的课后习题有很多，教师要不断渗透数形结合思想，以使学生及时发现问题当中蕴含的几何信息，最终得到答案。数形结合思想的渗透需要循序渐进，学生只有真正体会到数形结合思想的价值，才能在头脑中构建代数与几何的联系，熟练掌握这种思想方法。

（三）在实际解题中的应用

教师需要在不同类型题目的解题过程中渗透数形结合思想，让学生找准该思想的使用方法，包括如何寻找几何信息、如何作图等，抓住所求问题，不断挖掘条件。教师的引导和渗透是一方面，而另一方面，学生必须学会独立使用数形结合思想，这样才能在高考和现实问题的解决中做到有效应用。

1.在集合中的应用

集合在整个高中阶段是非常基础的知识，学生需要在必修一中学习，以打下坚实的理论基础。面对高一新生，数学教师不但要透彻地展示数学原理，而且要帮助学生摆脱初中的不良学习习惯，灵活运用数学知识。并集和交集是集合知识中的难点问题，学生需要理解并集、交集、补集等概念。集合之间的关系可以用Venn图来表示。例如，已知全集U={x|x小于10，且x?N}，A={3，4，6，8}，B={1，2，6，8}，求[?u]（A∪B），[?u]（A∩B）。讲解这道题时，教师可以运用图示法，清晰地呈现A集合和B集合，让学生了解两个集合之间的交集和并集，用图像来打开学生的思路。集合知识是非常基础的内容，图形的表示过程也比较简单，教师只需要将重点放在文字与图形的转化上，以促使学生自主解答问题，增强其求知欲望。在數形结合思想的应用过程中，教师不但要展现解题过程，而且要让学生了解每一步的解题思路，将数形结合思想传递给学生，全面提高学生的自主学习能力。

2.在不等式中的应用

不等式是高中数学的重点和难点，高考中出题频率较高。部分学生面对不等式问题时常常会摸不着头脑，以致解题正确率较低。针对这种情况，教师需要让学生全面了解不等式的相关题型，为不等式类的题目提供解题思路。例如， f （x）是R上的偶函数，已知这个函数在[0，+∞）上是减函数， f （a）=0（a>0），求不等式xf （x）<0的解集。对于这道数学题，教师可以鼓励学生结合题干内容画出f （x）的函数图像，再根据xf （x）<0的条件，判断出x和f （x）异号，得出x的取值范围，即x>a或-a对高中数学而言，数形结合思想是一种极其重要的数学思维，它主张将代数与几何相结合，让抽象的数学知识更加直观，并以展现问题的本质，降低学习难度。数形结合思想可以在新授课和课后练习中应用。在函数问题、解析几何问题、代数问题等的解决过程中，数形结合思想都发挥着重要作用。值得注意的是，教师和学生必须正确认识数形结合的可行性和有利性，挖掘问题中的隐含条件，这样才能充分发挥数形结合思想的价值。

[   参   考   文   献   ]

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