利用数学文化促进高中生数学学习的研究及反思

杨承翰 黄鸿义

【摘要】本文基于《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》、“三新”（新课程、新教材、新高考）改革的具体要求，以实施百色市教育科学“十四五”规划2021年度立项课题“数学文化对于促进学生数学学习的研究”为例，提出将我国历史中的数学问题引入课堂讨论、将外国数学研究案例融入课堂教学、在课堂教学中引入古今中外数学家的例子、开展国内外数学研究案例收集活动等教学策略。

【关键词】数学文化 高中数学 课程授课影响

【中图分類号】G63 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2022）17-0103-05

数学文化，从狭义上说，是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展;从广义上说，除了狭义上的内涵，还包括数学家、数学史、数学美、数学教育，以及数学所蕴含的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的联系等内容。在高中数学教学中融入数学文化元素，有利于学生学习热情的激发和学科核心素养的培养。但通过查阅大量论文和进行教学观察，笔者发现，在“三新”改革（新课程、新教材、新高考改革）大力推进的当下，仍有不少教师忽视数学文化这一重要教学元素。为此，笔者参加了百色市教育科学“十四五”规划2021年度立项课题“数学文化对于促进学生数学学习的研究”，对如何在高中数学教学中渗透数学文化进行了实践研究，取得了阶段性研究成果。

一、数学文化融入高中数学教学的三个实践研究阶段

在推进本课题研究过程中，笔者以百色市百色中学（以下简称我校）的学生为研究对象。经过前期的问卷调查、学情分析等工作，笔者设计了如下三个研究阶段，明晰了每个阶段的研究内容、设计原因、设计目的等内容（如表1所示）。

（一）实施课程授课影响的前期准备阶段

首先，选定研究对象。经过与我校领导沟通，笔者从我校高一、高二、高三三个年级中各选两个班级，平均每个班级50名学生，共计300名学生，作为本课题的研究对象。每个年级均设有1个实验组（A组）、1个对照组（B组），其中，高一年级对应A1组、B1组，高二年级对应A2组、B2组，高三年级对应A3组、B3组。为了确保两组学生的对比研究具有科学性、有效性，在选取研究对象时，我们保证两组学生的数学成绩相差不大。

其次，对研究对象进行限时测试。为了能够获得较为准确的数据和详尽可靠的研究结果，笔者针对三个年级的实验组、对照组学生设计了9份试卷，测试内容均来自新人教版高中数学教材。设计测试卷后，笔者对两组学生分别进行了连续3次闭卷限时测试，测试结果显示两组学生的成绩平均分相差在3分以内，说明实验组、对照组学生的成绩、水平等相差不大。进行此次测试的目的是，确保每个年级的实验组、对照组在实施实践研究前是两个差距不大的群体，以便在实施研究后进行有效差别比较。

再次，进行问卷调查和谈话调查。通过测试分析，获悉实验组、对照组两个群体大致相当。为了更加清楚地掌握学生学情，笔者进一步对两组学生开展了问卷调查和谈话调查。从问卷调查、谈话调查中，笔者发现，两组学生对相关问题的回答具有较高的一致性，这进一步证明了在没有进行具体、系统的数学文化课程授课影响前两组学生在能力、特点等方面的差异性不大，为下一阶段实施数学文化课程授课影响提供了较好的比较研究基础。

（二）系统实施课程授课影响的阶段

完成实验组、对照组的分组及前期调研工作后，笔者决定用三个月时间对实验组学生进行较为系统的数学文化介绍和课程授课影响;对照组学生则采用常规教学方法，开展常态教学。同时，为了获得有效的教学实践成果，笔者与实验组、对照组的数学学科任课教师共同商讨，对如何细化课堂教学、如何区别实验组和对照组的教学内容等进行了分析，然后做出了初步决定：针对实验组学生，每个星期开设两节数学文化课，主要介绍国内国外的数学名家、数学发展史等内容，构建较为系统的数学文化课程;对照组学生则不开设数学文化课，只进行常态化授课实践。我们还提出，高一年级、高二年级实验组的数学文化课，着重向学生讲述历史上各种运用数学知识的例子和数学现象，注重展示数学的应用性;高三年级实验组的数学文化课则侧重于数学历史和高考数学文化题的融合教学。

在实施课程授课影响的过程中，笔者除了对整个实践研究过程进行全面跟踪记录，每周还与相关任课教师进行沟通交流、总结反思，每个月对两组学生进行一次阶段性问卷调查和测试比较，及时总结实施课程授课影响过程中存在的问题和有效方法，并及时调整教学方案、教学方法，确保实践研究的有效性。

（三）数据收集分析和反思总结阶段

经过在第一阶段、第二阶段中陆续开展的四次问卷调查，笔者发现，通过实施数学文化课程授课影响，实验组学生的数学学习兴趣逐步得到了提高，而且比对照组学生的兴趣更加浓厚。具体表现为，根据四次调查问卷的结果来看，对照组学生对学习数学感兴趣的人数均在40人至60人之间，占比约为26.67%—40.00%，均未超过人数的一半。实验组学生的数据则有较大变化：在第一次课程授课影响前，笔者进行了第一次问卷调查，结果显示实验组学生对学习数学感兴趣的人数在40人至60人之间，通过第一次课程授课影响后，相关人数增加了20人左右，达到60人至80人;在进行第二次课程授课影响的三个月中，笔者在第一个月进行了问卷调查，显示相关人数又增加了10人左右，到了第三个月相关人数又再次增加了10人左右，实验组学生对学习数学感兴趣的人数增加到了90人至115人，占比为60.00%—76.67%。同时，笔者还对两组学生每天用于学习数学的时间进行了统计，发现实验组学生平均每人每天用于学习数学的时间比对照组学生所花的时间多0.5—1个小时，而在最后的测试中，实验组学生的平均分要高出对照组学生的平均分6—10分，个别学生甚至高出了13分。对比上述实验组、对照组的相关数据，可见通过在课堂教学过程中渗透数学文化，有效激发了学生的数学学习兴趣，提高了实验组学生的数学成绩。这就证明了数学文化对提高高中生学习数学的效果有显著作用。

二、在高中数学教学中渗透数学文化的策略

任何教育教学研究，最终都应落实到教育教学实践中。为了更好地将数学文化融入课堂教学，实现提高学生学习兴趣、发展学科核心素养的目标，在本课题研究中，笔者参考了浙江大学教授蔡天新的专著《数学简史》，该书介绍了国内外的数学发展史、数学家及其故事、数学理论等数学文化内容，这为课题实践研究的开展提供了大量素材。同时，笔者对人教A版高中数学教材进行了分析，发现在必修1至必修5和选修2-1、选修2-2、选修2-3中，设计了古今中外的数学现象、数学研究案例、数学理论和数学家成长故事等数学文化相关内容。据此，笔者将这些内容分为国内、国外两个大类，在这两个大类之下又分为数学研究内容和数学家成长故事两个小类，最后形成了一套比较完备的数学文化校本素材，大大增强了数学文化课程授课影响的效果，提高了实验组学生的数学学科核心素养。

（一）将我国历史中的数学问题引入课堂讨论

《周易》是我国古代“六经”之一，分为《经》和《传》两部分，主要阐述爻卦的内容和表征。在许多人眼里，《周易》是一本占卜之书，但事实上其中包含了许多数学问题，如《周易》64卦中就蕴含着排列组合的问题，历法推算中蕴含着函数周期的问题，星象观测中蕴含着概率统计的问题，等等。如64卦涉及的排列组合问题：64卦中每一个完卦都分为上卦、下卦，每卦从上到下由3个爻组成，爻又分为阴爻和阳爻，也即是说每个卦象都是由阴爻、阳爻按照不同的排列组合方式构成的。利用数学中的排列组合知识，可得：[C12C12C12C12C12C12=26=64]。这样的排列组合，不仅反映出了数学问题，同样也体现了古人对天地、阴阳、自然万物和人情事理的理解，蕴含着丰富的文化元素。

为此，笔者在A3组的数学教学中融入了《周易》包含的数学文化，让学生运用排列组合的数学知识，研究、讨论爻卦的排列问题。在课堂教学中，笔者首先抛出问题：“大家已经学习了排列组合的知识，请问同学们你们知道《周易》中也蕴含着排列组合的知识吗？”然后通过PPT呈现64卦的排列关系、变化关系，引导学生用排列组合知识重构64卦的组合过程，认识其中包含的数学知识，加深学生对排列组合知识的理解，提高知识的迁移运用能力。当学生对此有初步认识之后，笔者进一步向学生介绍各个卦象的组合原则、变化原理，以及这些组合、变化所蕴含的文化意义，并引导学生运用排列组合知识进一步推演64卦的组合关系。

在本课教学上，学生既学习了《周易》爻卦、爻卦排列及其含义等知识，扩大了文化知识视野，又学会了运用现代的排列组合知识解决古代的数学问题，提高了知识应用能力。而且，通过课后对学生进行谈心调研，笔者发现，在课堂教学中融入数学文化，能夠有效激发学生的学习兴趣，同时增强了学生的文化自信，落实了立德树人根本任务。

（二）将外国数学研究案例融入课堂教学

现代数学主要是从国外发展起来的，国外数学家对数学各领域进行了深入的研究，形成了许多内涵丰富、具有教育价值的数学研究案例，如：关于函数概念的生成和完善，这一概念由德国数学家莱布尼茨于1692年首次提出，1755年瑞士数学家莱昂哈德·欧拉对函数下了定义，1837年德国数学家狄利克雷在前人的基础上进一步完善了函数概念，直到19世纪70年代函数概念才有了严谨科学的表述;关于画法几何的研究与发展，首先是由法国数学家加斯帕尔·蒙日于1799年提出，最终发展为射影几何学;关于公理化方法的发展及其对数学发展的影响，首先是被称为“几何之父”的古希腊数学家欧几里得借助公理化方法研究数学取得了极大成功，树立了以公理化方法研究数学的典范，其后牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中对公理化方法做了进一步研究，德国数学家大卫·希尔伯特在《几何基础》一书中也深入参考了公理化方法，凸显出公理化方法在数学研究中具有重要作用。在数学教学中引入这些数学研究案例，不仅可以拓宽学生的知识视野、增长学科见识、激发学习兴趣，还有利于学生学科思维的发散、科学思想的形成、创新创造能力的发展。

如关于坐标系，虽然学生都认识到这一知识的重要性，但是对其如何产生、发展，以及适用于哪些领域、如何更好更快地使用等问题，仍然没有一个系统的认识，这就减弱了学生利用坐标系知识解决实际问题的能力。为此，笔者在教学中首先提出问题：“坐标系不是天然就有的，是哪位数学家提出来的？坐标系可以应用在哪些方面？在实际生活中，我们应该如何运用坐标系知识解决问题？”以问题为任务驱动，引导学生查阅、研读相关材料，并进行分类研究。通过这样的学习，学生了解了法国数学家笛卡尔的人生事迹，了解了笛卡尔提出坐标系的过程及其运用相关知识研究几何问题的方法，对坐标系的由来与发展、概念与应用有了更加深刻的理解。而且，笔者发现，学生对坐标系知识有深刻认知后，在处理函数、解析几何等问题和运数形结合思想解决数学问题更加得心应手了。

（三）在课堂教学中引入古今中外数学家的例子

数学家的成长故事、研究事迹是数学文化的重要组成部分，让学生对数学家的相关资料进行学习、分析、研究，不仅能够激发学生学习数学的兴趣，还能帮助学生培养科学思维、科学思想，树立刻苦钻研、创新创造的精神，有利于学生数学学科核心素养的形成。古今中外有许多数学名家，如我国古代数学家有刘徽、祖冲之、贾宪、秦九韶、杨辉等，又如上文提及的众多外国数学家，这些数学家不仅提出了众多影响科技发展的数学理论、概念，其人生故事也能激发学生的学习热情，激励学生成长。在教学相关数学概念时，笔者都会让学生了解与之相关的数学家的人生故事。如教学函数时，笔者会让学生在课前了解德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家莱昂哈德·欧拉、德国数学家狄利克雷等人的人生事迹，了解函数概念的提出、确定和发展的过程，既加深了学生对函数概念及其应用的理解，又有效落实了立德树人根本任务。如我国当代也出现了一些数学人才，如北京大学数学科学学院微分方程教研室研究员韦东奕，其成长经历对学生的发展有很大激励作用，因此，笔者会让学生了解韦东奕的成长过程，以此引导学生树立正确的学习目标、人生理想。

（四）开展国内外数学研究案例收集活动

展现数学研究案例可以让学生完整地了解某一数学知识的形成、发展过程，有助于学生深刻理解并灵活运用这一知识，是实现数学学科深度学习的有效路径。为此，在落实数学文化促进高中生数学学习的研究过程中，笔者设计了收集国内外数学研究案例的活动，即由笔者与实验组数学教师罗列出数学研究案例，然后让三个年级的实验组学生自由组成学习小组、自主选定某一案例，通过询问教师或利用网络、书籍等收集案例的相关材料，并对资料进行分类、整理、研读、分析，撰写研究小报告。实验组数学教师对实验组学生收集的案例、撰写的研究小报告等做收集整理，作为“数学研究案例专题讲座”的素材，定期开展跨年级的研讨活动。学生完成案例收集后，笔者将这一活动延伸至课堂教学，结合相关知识点的教学，让学生以收集到的案例作为学习的突破口，加深学生对相关知识的理解。

通过这样的活动，有效激发了学生进行数学研究的兴趣，同时也让学生在对数学研究案例内容和教材相关内容进行分类、对比研究的过程中，强化教材相应内容的消化吸收，进一步加深对教材内容的理解。此外，学生在收集资料过程中对数学文化有了更加深入的学习和了解，提高了学生个人的阅读和欣赏能力。

三、在数学教学中渗透数学文化的思考

在实施课题研究过程中，笔者通过观察发现，在开展研究前，高一年级、高二年级、高三年级实验组学生学习数学的兴趣并不高，主动安排学习数学的时间不多，数学作业完成率也不高。通过实施数学文化课程授课影响后，实验组学生的数学学习兴趣得到显著提高，主动投入数学学习的时间增加了，数学作业完成率也提高了。而通过对对照组学生进行调研，发现无论是研究前还是研究后，高一年级、高二年级、高三年级对照组学生在数学学习兴趣、每天数学学习时间、作业完成率、课间主动提问人数等方面基本保持不变。这就充分证明了在数学教学中渗透数学文化，能够较好地激发学生的数学学习兴趣，提高学习效率和效果。

但是，由于本课题研究历时比较短，目前所得结果也只是阶段性成果，课题研究中尚有不少问题需要做更加深入的探讨，开展更为广泛的实践研究，有些成果也还需时间的验证。为了确保今后研究工作的有效性、系统性，笔者对现阶段的研究做了如下思考。

（一）严选研究对象，提高研究科学性

研究对象的选择是否科学、合理，是课题研究能否有效推进的前提。因此，在实施本课题研究的过程中，教师一定要精选研究对象，确保所选择的研究对象在实施研究前具有较高的一致性、较多的共同点。所谓“一致性”，即作为对比研究的双方（实验组与对照组），在学习能力、成绩水平、学习效率等方面相差不大，如此才能确保开展研究后，对二者进行对比研究的科学性、合理性。在实施本课题研究前，笔者对学生进行问卷调查、谈心调研的目的也在于此。数学文化作为一种文化形态，其对学生的影响是隐性的、潜移默化的，而且促使其发挥影响力需要多方面条件，这就给教师判断其是否具有影响力、影响力发挥程度的高低带来一定的难度。所以，教师在开展相关研究的过程中，第一步首先要严选研究对象，确保研究对象具有較高的对比研究意义，才能保证研究的科学性。

（二）有规划地实施研究过程，严格过程管理

每一个课题研究都需要科学的管理做保障。在实施本课题研究过程中，笔者将整个研究过程划分为三个阶段，并对每个阶段需要完成的研究工作、研究任务、研究时间节点等做了详细划分和设计。研究过程中，笔者及其他数学教师按照每个时间节点的具体安排，开展相关研究工作，收集相关研究数据，对学生进行问卷调查、谈心调研，及时了解研究存在的问题，并及时调整研究策略、方向、内容和方法。另外，各学校应根据本校实际，加强本校学生的管理，尽量减少实验组、对照组学生进行关于数学文化渗透教学方面的交流，避免在研究过程中对照组学生也受到一定程度的数学文化影响，导致实验组、对照组学生对比研究意义的弱化。

（三）构建科学的数学文化体系，提高教学有效性

构建科学的数学文化体系，是提高数学文化课程授课影响效果的关键一步，也是目前本课题研究亟须解决的问题。数学文化体系包括内容体系、方法体系两个方面，其中，内容体系即需要教师充分研究国内外数学发展史、数学家的观点和人生经历、重要的数学研究案例、重要的数学发展节点和阶段，同时要关注数学方面的前沿知识、观点和研究成果，然后再系统分析教材的内容和结构、数学课程标准的要求，以及“三新”改革的具体要求、目标，逐步构建系统的数学文化内容体系，从而为学生提供更加科学、合适的学习内容。方法体系即教学方法体系，教师应结合学生学情、校情、教学目标和需求等实际，选择更加有效、更加生动的教学方法，可以是组织小课题研究，可以是开展情景剧表演，也可以是举办班级研讨辩论会，这样才能充分激发学生了解数学文化、学习数学文化的兴趣，促使数学文化育人功能的有效发挥。

通过开展本课题研究，可以有效证明一点：在高中数学教学中实施数学文化课程授课影响，不仅能够提高学生的学习积极性、学习效果，推动数学学科深度学习的实现，还有利于学生正确文化观、人生观、世界观等的培养，促使立德树人根本任务落到实处。总而言之，在“三新”改革、学科核心素养等备受关注的当下，高中数学教师应着力探索将数学文化融入学科教学的有效途径，促进学科教学的改革创新。

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注：本文系百色市教育科学“十四五”规划2021年度立项课题“数学文化对于促进高中学生数学学习的研究”（2021001）的阶段性研究成果。

作者简介：杨承翰（1990— ），广西乐业人，主要研究方向为高中数学教学、高考数学备考、高中数学联赛及高中物理奥林匹克竞赛;黄鸿义（1964— ），广西百色人，高级教师，主要研究方向为基础教育、高中数学教学。

（责编 蒙秀溪）