相隔27年的公开课

龚卫东

2022年春季新冠肺炎疫情再度来袭，线上教学再次“披挂上阵”。想起多年前在湖北工作时上过的一节公开课，正好与现在高一教学进度一致，于是就在线上开放空间里上了一次“公开课”，讲同样的内容。这样就有了相隔27年的公开课，同一授课人，同一个课题，换了时空。方便起见，以下称95课、22课。

一、课堂再现

1995年，我教龄6年，算学校数学组的青年骨干，组里让我自己选题上一节“研究课”，希望给大家一些启发和触动。我选择了“锥体的体积”，课前让学生做了一点准备。学生4人一组，准备一个用萝卜或者红薯切好的三棱柱。课堂上，我引导学生将三棱柱切成3个等底面积等高的三棱锥，再证明体积相等，进而理解棱锥体积公式。这一新的课堂形式引发了学生极大的兴趣。评课时大家认为，这样的尝试有助于调动学生的学习兴趣，有利于学生理解知识发生的过程，能够将课本知识与实际生活相联系。虽然花在动手切割模型上的时间较多，导致课堂练习减少，但是学生自主探究比被动接受的印象更深，对割补法的思想和操作掌握得更好。当时一节课是45分钟，为了节省时间，我在小黑板上事先画好了切割过程的半成品。

27年后，我已是特级教师、正高级教师，学校要求我上一节“示范课”。我选择同样的内容，想进行一个对比研究。虽然内容相同，但是教材、理念、技术手段，特别是学生，都发生了变化。22课是在线上进行的，听课者有我班上的学生，还有同行、学生家长以及很多感兴趣的人。教学中有直播现场实验，有观看短视频，用到了几何画板、几何图霸等数学软件。跟95课相比，增加了数学史及数学文化的内容，但整个课堂学习时间反而变短，只用了37分钟。

二、回顾研究

27年沧海桑田，变是这个时代不变的主题。相隔27年的2节公开课里，隐藏着的高中数学教学的变迁轨迹值得梳理。对个人专业发展过程做一次回看，希望对青年教师有一点启示。

1. 时间与地点

1995年，湖北远安，嫘祖故里，一个山清水秀的地方，隐藏着一个建设了20多年的国防工业神秘单位—066基地。类似单位当年被称为“大三线”，级别高，体量大，企业办社会，基地里医院、学校一应俱全。我所工作的基地一中，是张爱萍将军题写的校名，对外联系也用代码—“湖北省远安县114信箱”。教室里，只有讲台和黑板，数学老师经常拎一块小黑板去上课，上面有为节省课堂时间预先准备好的文字、图表。老师偶尔也用幻灯机，幻灯片需要预先制作，不是很方便。

22课是在改革开放前沿的深圳上的。教室的“标配”是“大屏幕一体机+万向黑板”、智能广播和拾音扩音系统。一体机既是电脑，也是屏幕，还能在上面直接书写、作图。保留黑板是因为理科教学需要大量的板书，用粉笔在黑板上书写的过程，也是学生同步思考的需要。当然，现在的“黑板”大多是保护视力的墨绿色。27年的跨度中，教室教学设备的最大革命，无疑是接入了互联网，中国教育信息化正在进入2.0时代，师生具备了在教室里随时查阅、调用、传递互联网资源的能力。3月15日，受疫情影响校园封闭，我在家中进行了线上授课，所使用的设备是一台笔记本电脑，只要分享链接，所有网络用户都可以进入课堂学习。全体观众都可以看到我的电脑页面，还可以通过笔记本的摄像头同时看到我本人以及实验操作的过程。教具用到了家中的扑克牌，厨房的菜刀、萝卜等材料。

2. 教材与内容

1995年，高中数学全国只有一套教材：代数2本，立体几何、平面解析几何各1本。《立体几何》全书7.8万字，售价0.72元，32开本，1990年第1版。《立体几何》是一本非常经典的教材，编排体例清晰，逻辑严谨，每一道例题、习题都经过精挑细选，语句使用极为严谨。当时的学生，只要弄通教材上的全部题目，高考试卷上立体几何的分数稳拿。

22课用的教材是普通高中教科书《数学2（必修）》，定价19.49元，配有教学光盘，16开本，人民教育出版社2019年第1版。22课教材是根据新课标要求，配合新高考综合改革，在上一套教材基础上修订而成的。教材的编写借鉴了国外模块化的课程理念。与传统欧氏几何方法相比，降低了逻辑推理能力的要求，有些公式、结论直接给出，并不强调严格的逻辑证明。与95课教材的惜墨如金相比，增加了“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”等内容，延伸了课堂，体现了更多课程改革的新理念。

对比新旧教材中锥体体积部分的内容，95课教材有公式的推导证明过程，22课教材则直接给出结论，各有利弊。实际教学中，不同教师根据学生实际，有些会补充证明过程，这就对教师的基本功提出了较高要求。

3. 理念与标准

课程标准不仅决定学科的课程设计、教材编写，也是学科教学的根本依据。1995年上课时，只有教学大纲，没有课标。教学大纲主要侧重于对教师教学的指导，规定了教学目标与要求。具体到每一个知识点上，一般提出“了解、理解、掌握”三个层次供教师处理和把握。现在想来，这三个要求，其实基本对应布鲁姆认知理论中的“记忆—理解—应用”这三个低级认知形式，而“分析—评价—创造”这三个高级认知形式，在大纲中没有对应的体现。大纲强调发展学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力。当时的数学教学理念高度重视“双基”，即基础知识、基本技能，具有鲜明的应试特征。教学大纲一直沿用多年，从2003年第1版课程标准颁布开始，二者并行使用。其间大纲有一些修订、调整和针对教学内容的增删，逐渐向课程标准靠拢，教学要求基本趋同。

今天，各学科的课程标准已经为教师，特别是青年教师所熟知。《普通高中数学课程标准（实验）》是2003年教育部制订的規定高中数学的课程性质、设计思路、课程目标、内容标准、实施建议的指导性文件，比教学大纲的内容更加丰富，提出了一些适应时代发展的新理念。如提供多样课程，适应个性选择;倡导积极主动、勇于探索的学习方式;体现数学的文化价值;注重信息技术与数学课程的整合等。由大纲到课标的实践过程，实际上是由重视“教”到倡导“学”的转变。自主、合作、探究的学习方式，是这一时期教学研究的热点，“学习”是其鲜明特征。2017年教育部公布了学科核心素养，随即修订了课程标准，核心理念是立德树人，培养学生发展所需要的必备品格和关键能力。教学理念由重视“双基”到“三基”，再到“四基”，即重视基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。教师教学价值取向的关键词是“素养”。突出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大学科核心素养。

4. 方法与手段

1995年时，教学方法还没有现在这样丰富，大都以讲授法为主。高中教育也在努力寻求突破，寻找新的教学方法，避免“满堂灌”。当时较为流行的“新”方法是练习法，提倡“精讲多练”，这实际上正是将课堂的主体从教师向学生转移，但是没想到多年后演变成“刷题”，值得深思。95课所用教学方法、理念还是较为超前的，当时备课组讨论认为：练习法虽然较讲授法有优点，但如果学生不明所以，盲目模仿，其实也是不符合学生认知规律和教学原则的，能不能把课堂放得更开一些，让学生参与知识的发现生成过程，尝试自己推导得到结论？

我事实上采用了尝试教学法，但是上课时并没有教学法方面的清晰规范和套路，只是根据教学规律和自己的理解，做了一些教法或者说学法上的探索。实际上，早在1988年邱学华先生就已经出版了专著《尝试教学法》，囿于当时信息资讯不发达，我们地处偏远，所以尚未知晓。尝试教学法认为尝试成功的主要因素取决于学生的主体作用、学生之间的互补作用、教师的主导作用、师生之间的情意作用、课本的示范作用、教学手段的辅助作用。虽然95课不如邱先生的尝试教学法这样系统，但还是契合了其中许多原则与做法。

22课的时候，已经有太多的教学方法可供选择。既有讲授法、讨论法、直观演示法、练习法、读书指导法、任务驱动法等常用方法，也有情境教学、复式教学、现场教学、主题教学等更侧重学生学科素养培养和发挥信息技术优势的教学方法。跨学科学习、深度学习、研究性学习、STEAM教育、项目式学习等方式，也已经在一些学校蓬勃开展，目的都是顺应时代发展，实现学习方式变革。

95课虽然用到了小组合作、动手探究等方法，但还是比较纯粹地围绕锥体体积公式展开猜想、分析、证明，而22课在此基础上增加了祖暅原理、数学史与数学文化等内容，是一个紧密关联的完整主题。22课能够在大致相同的授课时间内增加这么多内容，很大程度上得益于教学手段的更新。95课使用教具增加直观性，主要是棱柱、棱锥的塑料模型。22课有大量的网络资源动态展示几何体替代了模型。

5. 反思与成果

95课是研究课，课后学科组进行了认真的评课，我个人再结合大家的意见建议进行反思。名义上是集体研究教法创新，实际上更多的是对我的指导，收获最大的人是我。一节扎实的公开课经过多轮打磨，很多细节会令青年教师终生难忘，对其教学能力和理念的提升作用明显。我把这节课的设想、做法、体会整理成文—《錐体体积教学的一次尝试》投给《数学通讯》，并且顺利刊发，对当时的我是极大的激励。

22课叫示范课。我深知，教无定法，每位教师的教育背景、知识结构、性格特征都不尽相同，所以各人的教法也不尽相同。其实“示范”的是一位老教师对待工作的认真、对待教学的严谨、对学生的热爱、对其他教师的无私。课后组织评课，我要求每个人都发言，不能只说好的，必须提出不同观点，要求言之有据。27年前我受教于前辈，今天扶掖后辈，心中甚感欣慰。

27年弹指一挥，不经意间我们已经发生了太多的变化。即使是同一课题，相隔久远，自身的思想状况、业务能力、身份地位都已然不同，教学理念、方法乃至目标都发生了巨大变化。然而飞速变化的时代中，也有不变的内核：关爱学生的师者仁心，教育的基本规律，数学的思想方法……愿我们的数学教师，顺应时代潮流，永葆纯真初心，享受数学，享受数学教学。

（作者单位：广东省深圳市教育科学研究院）

责任编辑：胡玉敏