细剖结论 逆向构思

周贵胜

考题再现

例 （2020·辽宁·盘锦）如图1，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG.

（1）當点F在线段AD上时：

①求证：BE = DG;

②求证：CD - FD = [2]BE.

（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当[S2S1] =  [1325]时，请直接写出[S3S1]的值.

考点剖析

1.知识点：正方形相关性质、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、四边形面积.

2.思想方法：面积割补法、构造法、截长补短法.

3.基本图形：如图2，已知等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ECG，∠BCD = ∠ECG = 90°，连接DG，BE，则△BCE ≌ △DCG.

学情分析

一、执果索因探思路

第（1）题①问思路：证明两条线段相等，常见思路为找全等.在如图2的基本图形中，发现△BCE ≌ △DCG，问题得到解决.

第（1）题②问有两种思路.

思路1：由AD = CD，可得CD - FD = AD - FD = AF，只需证明AF = [2]BE，即得[AFBE=2]，因此寻找相似三角形（或构造相似三角形），由[FCEC=2]，联想[ACBC=2]，于是连接AC，如图3，证明△AFC∽△BEC即可.

思路2：构造[2]BE.由∠FDC = ∠FGC = 90°，可知D，G，C，F四点共圆，可证∠CBE = ∠CDG = ∠CFG = 45°，如图4，过点E作EH⊥BE，交BC于点H，得到△BEH为等腰直角三角形，所以BH = [2]BE，只需再证明△DFG ≌ △HCE即可.

第（2）问，注意到点F在射线AD上，仔细思考可知有两种情况：点F在线段AD上（如图1）和点F在线段AD的延长线上（如图5）. 用割补法求出题中相关图形的面积.

a. 当点F在线段AD上时：

思路1：S3 = S四边形CGDF = S△FCG + S△FDG;

思路2：S3 = S四边形CGDF = S△CDF + S△CDG;

思路3：如图6，过点F作FK⊥BC于点K，过点G作MN⊥BC于点M，交AD于点N，所以S3 = S四边形CGDF = S矩形FKMN - S△FKC - S△CMG - S△DGN.

b. 当点F在线段AD的延长线上时，思路同上.

二、思路落地仔细解

解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形，

∴∠BCD = ∠ECG = 90°，CB = CD，CE = CG，

∴∠BCE + ∠ECD = ∠ECD + ∠DCG = 90°，

∴∠BCE = ∠DCG，

∴△BCE ≌ △DCG（SAS），∴BE = DG.

②思路1：如图3，连接AC，

∵四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形，

∴∠BCD = ∠ECG = 90°，∠ABC = ∠FEC = 90°，CD = AD，

∴∠ACB = ∠ECF = 45°，

∴∠BCE + ∠ACE = ∠ACE + ∠ACF = 45°，

∴∠BCE = ∠ACF.

在等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形FEC中，

[ACBC=FCEC=2]，

∴△AFC ∽ △BEC，∴[AFBE=ACBC=2]，

∴AF = [2BE].

又∵AF = AD - FD = CD - FD，∴CD - FD =[2] BE.

思路2略，请同学们自己完成.

（2）①当点F在线段AD上时，

思路1：设S1 = 25k2（k > 0），

∵[S2S1] = [1325]，∴S2 = 13k2，

∴AB = CD = 5k，EF = [13]k，

∴FC = [2EF] = [26]k.

在Rt△CDF中，由勾股定理得：

FD = [FC2-CD2=26k2-25k2=k]，

∴AF = 5k - k = 4k，∴DG = BE = 2[2]k，

如图7，过点G作GT⊥AD，交AD的延长线于点T，

∵∠CDG = 45°，∴∠GDT = 45°，

∴GT = [DG2] = 2k，

∴S3 = S四边形CGDF = S△FCG + S△FDG = [152k2]，

∴[S3S1=152k225k2=310].

思路2与思路3略，请同学们自己完成.

②当点F在AD的延长线上时，如图5，

设S1 = 25k2（k > 0），

∵[S2S1] = [1325]，∴S2 = 13k2，

依然有DF = k，S3 = S四边形CGFD = S△CDF + S△CGF，

∴S3 = [12k·5k+1213k·13k] = 9k2，

∴[S3S1=9k225k2=925].

综上所述，[S3S1]的值为[310]或[925].

勤于积累

此题第（1）问考查三角形全等和相似来证明线段的数量关系，此类问题基本图形有以下4种情况.

[如图8，等边三角形ABC和等边三角形CDE有一个公共顶点C，连接BD，AE][如图9，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE有一个公共顶点C，连接BD，AE][如图10，△ABC与△CDE有一个公共顶点C，BC = AC，EC = DC，∠ACB = ∠ECD，连接BD，AE][如图11，△ABC与△CDE有一个公共顶点C，[BCAC] = [CDCE]，∠ACB = ∠ECD，连接BD，AE] [则△CBD [≌] △CAE] [则△CBD [?] △CAE][特殊到一般]

（作者单位：东北育才学校初中部）