细剖结论 逆向构思
2022-05-30周贵胜
周贵胜
考题再现
例 (2020·辽宁·盘锦)如图1,四边形ABCD是正方形,点F是射线AD上的动点,连接CF,以CF为对角线作正方形CGFE(C,G,F,E按逆时针排列),连接BE,DG.
(1)當点F在线段AD上时:
①求证:BE = DG;
②求证:CD - FD = [2]BE.
(2)设正方形ABCD的面积为S1,正方形CGFE的面积为S2,以C,G,D,F为顶点的四边形的面积为S3,当[S2S1] = [1325]时,请直接写出[S3S1]的值.
考点剖析
1.知识点:正方形相关性质、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、四边形面积.
2.思想方法:面积割补法、构造法、截长补短法.
3.基本图形:如图2,已知等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ECG,∠BCD = ∠ECG = 90°,连接DG,BE,则△BCE ≌ △DCG.
学情分析
一、执果索因探思路
第(1)题①问思路:证明两条线段相等,常见思路为找全等.在如图2的基本图形中,发现△BCE ≌ △DCG,问题得到解决.
第(1)题②问有两种思路.
思路1:由AD = CD,可得CD - FD = AD - FD = AF,只需证明AF = [2]BE,即得[AFBE=2],因此寻找相似三角形(或构造相似三角形),由[FCEC=2],联想[ACBC=2],于是连接AC,如图3,证明△AFC∽△BEC即可.
思路2:构造[2]BE.由∠FDC = ∠FGC = 90°,可知D,G,C,F四点共圆,可证∠CBE = ∠CDG = ∠CFG = 45°,如图4,过点E作EH⊥BE,交BC于点H,得到△BEH为等腰直角三角形,所以BH = [2]BE,只需再证明△DFG ≌ △HCE即可.
第(2)问,注意到点F在射线AD上,仔细思考可知有两种情况:点F在线段AD上(如图1)和点F在线段AD的延长线上(如图5). 用割补法求出题中相关图形的面积.
a. 当点F在线段AD上时:
思路1:S3 = S四边形CGDF = S△FCG + S△FDG;
思路2:S3 = S四边形CGDF = S△CDF + S△CDG;
思路3:如图6,过点F作FK⊥BC于点K,过点G作MN⊥BC于点M,交AD于点N,所以S3 = S四边形CGDF = S矩形FKMN - S△FKC - S△CMG - S△DGN.
b. 当点F在线段AD的延长线上时,思路同上.
二、思路落地仔细解
解:(1)①如图1中,∵四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形,
∴∠BCD = ∠ECG = 90°,CB = CD,CE = CG,
∴∠BCE + ∠ECD = ∠ECD + ∠DCG = 90°,
∴∠BCE = ∠DCG,
∴△BCE ≌ △DCG(SAS),∴BE = DG.
②思路1:如图3,连接AC,
∵四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形,
∴∠BCD = ∠ECG = 90°,∠ABC = ∠FEC = 90°,CD = AD,
∴∠ACB = ∠ECF = 45°,
∴∠BCE + ∠ACE = ∠ACE + ∠ACF = 45°,
∴∠BCE = ∠ACF.
在等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形FEC中,
[ACBC=FCEC=2],
∴△AFC ∽ △BEC,∴[AFBE=ACBC=2],
∴AF = [2BE].
又∵AF = AD - FD = CD - FD,∴CD - FD =[2] BE.
思路2略,请同学们自己完成.
(2)①当点F在线段AD上时,
思路1:设S1 = 25k2(k > 0),
∵[S2S1] = [1325],∴S2 = 13k2,
∴AB = CD = 5k,EF = [13]k,
∴FC = [2EF] = [26]k.
在Rt△CDF中,由勾股定理得:
FD = [FC2-CD2=26k2-25k2=k],
∴AF = 5k - k = 4k,∴DG = BE = 2[2]k,
如图7,过点G作GT⊥AD,交AD的延长线于点T,
∵∠CDG = 45°,∴∠GDT = 45°,
∴GT = [DG2] = 2k,
∴S3 = S四边形CGDF = S△FCG + S△FDG = [152k2],
∴[S3S1=152k225k2=310].
思路2与思路3略,请同学们自己完成.
②当点F在AD的延长线上时,如图5,
设S1 = 25k2(k > 0),
∵[S2S1] = [1325],∴S2 = 13k2,
依然有DF = k,S3 = S四边形CGFD = S△CDF + S△CGF,
∴S3 = [12k·5k+1213k·13k] = 9k2,
∴[S3S1=9k225k2=925].
综上所述,[S3S1]的值为[310]或[925].
勤于积累
此题第(1)问考查三角形全等和相似来证明线段的数量关系,此类问题基本图形有以下4种情况.
[如图8,等边三角形ABC和等边三角形CDE有一个公共顶点C,连接BD,AE][如图9,等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE有一个公共顶点C,连接BD,AE][如图10,△ABC与△CDE有一个公共顶点C,BC = AC,EC = DC,∠ACB = ∠ECD,连接BD,AE][如图11,△ABC与△CDE有一个公共顶点C,[BCAC] = [CDCE],∠ACB = ∠ECD,连接BD,AE] [则△CBD [≌] △CAE] [则△CBD [?] △CAE][特殊到一般]
(作者单位:东北育才学校初中部)