多法探求坐标系内平行四边形存在性问题

卢宗凯

辽宁省实验學校赤山校区何晓明老师的直播课《平行四边形存在性》，选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科教研核心团队名师公益学堂”，旨在引领教师专业发展，服务学生自主学习，减轻学生学业负担。

转化思想与分类讨论思想在何晓明老师的直播课《平行四边形存在性问题》中体现得淋漓尽致，一题多法使课堂充满智慧. 平行四边形既是矩形、菱形、正方形的基础，又是全等三角形的延伸.

模型构建

如图1，AM = CN，DM = BN，则xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如图2，AM = CN，BM = DN，则xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如图3，AM = BN，CN = DM，则xD - xA = xC - xB， yD - yA = yC - yB.

如图4， 在?ABCD中，xE = [ xA+xC2 ] = [ xB+xD2]， [yE] = [ yA+yC2 ] = [ yB+yD2]，

[xA+xC=xB+xD]，[ yA+yC=yB+yD].

很多有关平行四边形的问题都可以构造全等三角形解决.

在平面直角坐标系内过平行四边形的顶点作坐标轴的平行线，“化斜为直”是解决问题的关键.

在分类讨论的基础上，通过全等三角形的对应边相等，在平面直角坐标系内寻找横坐标与纵坐标的差相等进行解题. 此外，还可以根据“平行四边形的对角线互相平分”的性质，利用中点公式进行无作图的“盲求”.

解决平面直角坐标系内平行四边形存在性问题，无论“三定一动”还是“两定两动”，常通过对角线分类.

方法一：通过画图构造全等，利用横、纵坐标差的关系解决问题;

方法二：利用中点公式，建立二元一次方程组，从而解决问题.

真题呈现

例1 如图5，直线[y=3x-63]与y轴和x轴分别交于点A，B，点P在直线AB上，且点P的横坐标为4，点D在直线[y=3x]上，如果以点O，P，B，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.

解析：易得B（6，0），P（4，[-23]）.

由于O，P，B是定点，D为动点，OD[?]BP，

则OD和BP是一组对边.

方法一：选择对角线为标准分类.

当OB为对角线时，如图6，

连接OP，过B作OP的平行线，构造三角形全等，

由xD - xO = xB - xP，得xD - 0 = 6 - 4， 解得xD = 2;

由yD - yO = yB - yP，得yD - 0 = 0 - （[-23]），解得yD = [23].

当OP为对角线时，如图7，连接OP，过点P作x轴的平行线，

由xO - xD = xB - xP，得0 - xD = 6 - 4，解得xD = -2;

由yO - yD = yB - yP，得0 - yD = 0 - （[-23]），解得yD = [-23].

因此，点D的位置有两种情况，D（2，[23]）或D（-2，[-23]）.

方法二：由于对边确定，即OD = BP，则OD2 = BP2.

设D（m， [3m]），∴m2 + [（3m）]2 = 42，解得m = ±2，从而可求出点D的坐标.

y = [3]x - 6[3]][y = [3]x][y][x][y][y = [3]x][y = [3]x - 6[3]][x]

变式延伸

例2 如图8，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1）. 点M为直线AB上的动点，点N为直线y = [-12x]上的动点，当以点O，B，M，N为顶点的四边形是菱形时，求出点M的坐标.

解析： 由题意可知直线AB的函数解析式为y = - [12]x + 1，

由条件可知BM[?]ON.

OB是定线段，可为菱形的边，也可为菱形的对角线.

方法一：当OB为边时，如图9，在直线AB上作BM = OB = 1，

可根据题意作四边形OBMN为菱形，

过点M作x轴的垂线，设点M为[m，-12m+1]，

由勾股定理得m2 + [1--12m+12] =1，解得m = [±255]，

则M [255，- 55+1]，M' [-255，55+1].

当OB为对角线时，如图10，MN也为对角线，

由“菱形的对角线互相垂直平分”得OB的中点为[0，12]，

所以点M的纵坐标为[12]，

将y = [12]代入y = - [12]x + 1，得M [1，12].

方法二：不画图即可得B（0，1），O（0，0），

设M [m，-12m+1]，N [n，-12n]，

用中点公式建立二元一次方程组求解.

（作者单位：辽宁省实验学校）