对一道高中数学课本习题的多种证法探究

董强

摘要：正方形和正三角形都是平面内的对称图形，证明一个三角形为正三角形有很多的方法，可证三角相等、三边相等、等腰三角形中有一个角为60°等.文章通过一道高中数学课本习题，探究了这些方法.

关键词：习题;构造;同一法;探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）19-0022-03

北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》章末复习题二B组有一道证明等边三角形的试题（第65页第2题），题目是在正方形中有一点，使得其到正方形两顶点连线与正方形一边均成15°角，来证明该点与正方形其他两顶点连线与正方形另一边形成正三角形.

1 试题呈现

试题如图1，P是正方形ABCD内的一点，且∠PBC=∠PCB=15°.

2 证法探究

分析考虑到正方形和正三角形的对称性，可以建立平面直角坐标系通过两点间距离相等证明，或用正余弦定理证明三边相等，或通过作辅助线利用三角函数证明三個角均为60°，或通过再构造等边三角形利用平面几何知识证明原三角形三内角相等，或通过设点或构造圆找点构造等边三角形，利用同一法证明等.

评析证法1和证法2的思路均为证明三角形的三边相等，证法1通过建立适当的平面直角坐标系，将点坐标化，则三角形三边长度相等问题转化为两点间的距离相等问题，利用两点间的距离公式或者向量的模长即可以求解，证法2将边长问题利用正余弦定理进行解决，从而证得了三角形的三边相等.这两种方法是学生最容易想到也是比较简单的证法.

评析证法6利用圆的性质给出了找到正方形内使得目标三角形为等边三角形的点，根据对称性，正方形内有这样的四个点，其中每两个点与正方形四个顶点中距这两点最近的一个顶点构成等边三角形，这四个点形成的四边形是一个小正方形.证法7对证法6的过程进行了简化，将理论中存在的点设出来，利用同一性证明了等边三角形.

参考文献：

[1] 严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）教师教学用书[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[责任编辑：李璟]