探究球内接几何体的体积

任靖

[摘  要] 文章从2022年新高考全国Ⅰ卷第8题的多种解法出发，回归教材进行变式，探究球内接正四棱锥体积的范围，并且进一步探究球内接正四棱柱与正四棱台的体积的变化特征.

[关键词] 内接几何体;外接球;体积

[?]试题呈现与问题初探

2022年新高考全国Ⅰ卷第8题：

已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（  ）

上述四种解法思路主要是设边长为未知量或夹角为未知量，通过勾股定理及相应的公式表示出球内接正四面体的体积与侧棱长的关系，再通过求导或均值不等式得到体积的范围. 解题思路殊途同归，可以观察到这道高考题给我们的启示，即当外接球的半径确定时，可以用正四棱锥的侧棱长表示正四棱锥的体积;反过来，当正四棱锥的側棱长和体积确定时，可以表示其外接球的半径么？

[?]回归教材与问题再探

人教A版必修第二册第169页的第4题如下：

如图2所示，一块边长为10 cm的正方形铁片上有四块阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V（单位：cm3）表示为x（单位：cm）的函数.

通过教材中的这道题可知，在已知正四棱锥侧面的底边和高的情况下，可以在侧面的等腰三角形中通过勾股定理算出侧棱长，此时正四棱锥的体积就能表示出来了. 联系2022年的这道高考题，我们可否将外接球的半径表示出来呢？于是将题目改编如下，并进行解答：

变式1：如图2所示，一块边长为10 cm的正方形铁片上有四块阴影部分.裁下阴影部分后，用剩下的四个全等的等腰三角形组成一个正四棱锥，若正四棱锥的各顶点都在同一球面上，底面边长为x（单位：cm），且2≤x≤8，则该球的表面积的范围为________.

解：如图3可知，组成的正四棱锥满足BC=AB=AD=DC=x，取BC的中点M，则PM=5，过P作PQ⊥平面ABCD且交于点Q，则Q为正方形ABCD的中心，球心O在直线PQ上，设球的半径为R.

通过这道根据教材改编的题目可知，当正四棱锥的侧棱长确定时，可以表示出其外接球的半径，给定侧棱长的范围后也可以求出其外接球半径的范围. 那其他几何体是否也有类似的情况呢？接下来探究正四棱柱与正四棱台两种情况.

[?]触类旁通与相关探究

与球内接正四棱锥相比，由于球内接正四棱柱的对称性，体积表示起来会更加简单.

变式2：已知正四棱柱的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球体的半径为3，且2≤l≤4，则该四棱锥体积的取值范围是_______.

解：如图4所示，球心O在正四棱柱上下底面中心的连线PQ的中点上，则PQ=l，OQ=OP=，AO=R=3，则AQ==.

令f（x）=-+18l，则f′（x）=-l2+18，l∈[2，4]. 由导函数的图像可知，当l=2时（V）=24，当l=2时（V）=32. 所以该正四棱柱体积的取值范围为[32，24].

由于正四棱台有上底边长、下底边长和侧棱长等多个量，在已知球体半径的前提下，接下来的探究中，以知道正四棱台的高的情况进行讨论.

变式3：已知正四棱台的高为4，所有的顶点都在同一球面上，若该球的半径为3，则该正四棱台体积的取值范围是__________.

解：由图5可知，正四棱台ABCD-ABCD外接球的球心O在上底面与下底面的中心连线OO上，且OO=4，外接球的半径R=OB=OB=3.

我们知道，棱柱、棱台、棱锥这三个几何体在高与下底面的面积都相等的情况下，三者的体积从左往右是递减的. 而当正四棱台的高与其外接球的半径是一个定值时，可以想象这个正四棱台在球体内进行着上下移动，其上底面与下底面的面积在变化，那么这个正四棱台的体积又是如何变化的呢？通过变式，即当正四棱台的上底面和下底面的面积都在变化时，可以得到一个结论：当正四棱台运动（指上底面和下底面的面积在变化）到接近正四棱锥时体积最小，当正四棱台运动到接近正四棱柱时体积最大. 证明如下：

如图5所示，设正四棱台ABCD-ABCD的高为h，其外接球的半径为R，正四棱台外接球的球心为O，上底面的中心为O，下底面的中心为O，球心O在上底面与下底面的中心连线OO上.

>0，即当正四棱台的上底面的中心与球心的距离OO越接近时，t越接近最大值，体积也越大;当OO越远离时，t越接近最小值，体积也越小. 即当正四棱台的高与外接球半径为定值时，正四棱台运动到接近正四棱柱时体积越大，运动到接近正四棱锥时体积越小.

[?]结束语

球内接几何体的体积问题需要学生具备较好的空间想象能力与直观想象素养，分析并找到图形中的位置关系与数量关系是关键. 这不仅要求学生能够通过数量关系去刻画，更需要学生回归教材，足够了解课本中的基础知识，如线面垂直关系、几何体的结构特征、几何体表面积和体积的计算、不等式或导函数的应用，只有足够熟悉才能将知识点串联起来，水到渠成并更加自然地解决问题.

外接球的问题远远不止这一种，对于一个问题的解决我们可以思考多种方法和思路，对于一个问题我们可以探究多种相似的问题，这样才更容易理解问题的来龙去脉，更容易理解数学内容的本质，更容易培养出数学的思维习惯与眼光，这也是数学核心素养的体现.